6.4: Portadores de Carga en Semiconductores - Estática y Cinética

Ahora permítanme demostrar la aplicación de los conceptos discutidos en la última sección para comprender las propiedades cinéticas básicas de los semiconductores y algunas estructuras semiconductoras clave, que son la base de la mayoría de los dispositivos electrónicos y optoelectrónicos modernos, y por lo tanto de toda nuestra civilización informática. Para eso, voy a necesitar tomar un desvío para discutir primero sus propiedades de equilibrio.

Utilizaré una imagen aproximada pero razonable en la que la energía del subsistema de electrones en un sólido pueda dividirse en la suma de energías efectivas\(\varepsilon\) de electrones independientes. La mecánica cuántica dice ³² que en estructuras periódicas como los cristales, la energía\(\varepsilon\) de estado estacionario de una partícula que interactúa con la red atómica sigue una\(\varepsilon_n (\mathbf{q})\) de las funciones periódicas del cuasimomentum\(\mathbf{q}\), oscilando entre dos valores extremos \(\varepsilon_{n|min}\)y\(\varepsilon_{n|max}\). Estas bandas de energía permitidas están separadas por bandgaps, de anchos\(\Delta_n \equiv \varepsilon_{n|min} – \varepsilon_{n-1|max}\), sin estados permitidos dentro de ellas. Los semiconductores y aislantes (dieléctricos) se definen como cristales tales que en equilibrio en\(T = 0\), todos los estados de electrones en varias bandas de energía (con la más alta de ellas llamada banda de valencia) están completamente llenos,\(\langle N(\varepsilon_v)\rangle = 1\), mientras que los de las bandas superiores, comenzando por las más bajas, banda de conducción, están completamente vacíos,\(\langle N(\varepsilon_c)\rangle = 0\). ³³ Dado que los electrones siguen las estadísticas de Fermi-Dirac (\(2.8.5\)), esto significa que at\(T \rightarrow 0\), la energía Fermi\(\varepsilon_F \equiv \mu (0)\) se ubica en algún lugar entre el máximo de la banda de valencia\(\varepsilon_{v|max}\) (generalmente llamado simplemente\(\varepsilon_V\)), y el mínimo de la banda de conducción\(\varepsilon_{c|min}\) (llamado \(\varepsilon_C\)) — ver Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Cálculo\(\mu\) en un semiconductor intrínseco.

\[\varepsilon = \begin{cases} \varepsilon_c + q^2 / 2m_c, \text{ for } \varepsilon \geq \varepsilon_c , & \text{ with } \varepsilon_c - \varepsilon_v \equiv \Delta. \\ \varepsilon_v + q^2 / 2m_v, \text{ for } \varepsilon \geq \varepsilon_c , & \text{ with } \varepsilon_c - \varepsilon_v \equiv \Delta. \end{cases} \label{53}\]

Las constantes positivas\(m_C\) y generalmente\(m_V\) se denominan las masas efectivas de, respectivamente, electrones y agujeros. (En un semiconductor típico,\(m_C\) es un par de veces menor que la masa de electrones libres\(m_e\), mientras que\(m_V\) está más cerca de mí.)

Debido a la similitud entre la línea superior de la Ecuación (\ ref {53}) y la ley de dispersión (\(3.1.3\)) de las partículas libres, podemos reutilizar la Ecuación (\(3.2.11\)), con la masa de partícula apropiada\(m\), el factor\(g\) de degeneración y el origen energético, para calcular la densidad espacial completa de estados poblados (en la física de semiconductores, llamados electrones en el sentido estricto de la palabra):

\[n \equiv \frac{N_c}{V} = \int^{\infty}_{\varepsilon_C} \langle N (\varepsilon ) \rangle g_3 ( \varepsilon ) d \varepsilon \equiv \frac{g_c m_c^{3/2}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \int^{\infty}_0 \langle N ( \tilde{\varepsilon} + \varepsilon_C ) \rangle \sim{E}^{1/2} d \tilde{\varepsilon} , \label{54}\]

donde\(\tilde{\varepsilon} \equiv \varepsilon – \varepsilon_C \geq 0\). De manera similar, la densidad\(p\) de las excitaciones “sin electrones” (llamadas agujeros) en la banda de valencia es el número de estados sin relleno en la banda, y por lo tanto puede calcularse como

\[p \equiv \frac{N_h}{V} = \int^{\varepsilon_v}_{-\infty} \left[ 1 - \langle N (\varepsilon ) \rangle \right] g_3 (\varepsilon ) d \varepsilon \equiv \frac{g_v m_v^{3/2}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3 } \int^{\infty}_0 \left[ 1 - \langle N ( \varepsilon_v - \tilde{\varepsilon} ) \rangle \right] \tilde{\varepsilon}^{1/2} d \tilde{\varepsilon} , \label{55}\]

donde en este caso,\(\tilde{\varepsilon} \geq 0\) se define como\((\varepsilon_V – \varepsilon )\). Si los electrones y los agujeros ³⁵ están en el equilibrio térmico y químico, las funciones\(\langle N(\varepsilon )\rangle\) en estas dos relaciones deben seguir la distribución Fermi-Dirac (\(2.8.5\)) con la misma temperatura\(T\) y el mismo potencial químico\(\mu \). Además, en nuestro caso actual de un semiconductor no dopado (intrínseco), estas densidades tienen que ser iguales,

\[n = p \equiv n_i , \label{56}\]

porque si se violara esta condición de electroneutralidad, el volumen adquiriría una densidad de carga eléctrica distinta de cero\(\rho = e(p – n)\), lo que resultaría, en una muestra a granel, en una energía de campo eléctrico extremadamente alta. De esta condición, obtenemos un sistema de dos ecuaciones,

\[n_{i}=\frac{g_{C} m_{c}^{3 / 2}}{\sqrt{2} \pi^{2} \hbar^{3}} \int_{0}^{\infty} \frac{\tilde{\varepsilon}^{1 / 2} d \tilde{\varepsilon}}{\exp \left\{\left(\tilde{\varepsilon}+\varepsilon_{c}-\mu\right) / T\right\}+1}=\frac{g_{V} m_{V}^{3 / 2}}{\sqrt{2} \pi^{2} \hbar^{3}} \int_{0}^{\infty} \frac{\tilde{\varepsilon}^{1 / 2} d \tilde{\varepsilon}}{\exp \left\{\left(\tilde{\varepsilon}-\varepsilon_{V}+\mu\right) / T\right\}+1} \label{57} \]

cuya solución da tanto la densidad\(n_i\) portadora de carga solicitada como el nivel Fermi\(\mu \).

Para una relación arbitraria\(\Delta /T\), esta solución se puede encontrar sólo numéricamente, pero en la mayoría de los casos prácticos, esta relación es muy grande. (Nuevamente, para Si a temperatura ambiente,\(\Delta \approx 1.14\) eV, mientras que\(T \approx 0.025\) eV.) En este caso, podemos usar la misma aproximación clásica que en la Ecuación (\(3.2.16\)), para reducir las Eqs. (\ ref {54}) y (\ ref {55}) a expresiones simples

\[n = n_c \exp \left\{ \frac{\mu - \varepsilon_c}{T} \right\}, \quad p = n_v \exp \left\{ \frac{\varepsilon_v - \mu}{T} \right\} , \quad \text{ for } T << \Delta , \label{58}\]

donde los parámetros dependientes de la temperatura

\[n_c \equiv \frac{g_c}{\hbar^3} \left( \frac{m_c T}{2\pi}\right)^{3/2} \text{ and } n_v \equiv \frac{g_v}{\hbar^3} \left( \frac{m_v T}{2\pi}\right)^{3/2} \label{59}\]

puede interpretarse como el número efectivo de estados (por unidad de volumen) disponibles para la ocupación, respectivamente, en las bandas de conducción y valencia, en equilibrio térmico. Para los semiconductores habituales (con\(g_C \sim g_V \sim 1\), y\(m_C \sim m_V \sim m_e\)), a temperatura ambiente, estos números son del orden de\(3 \times 10^{25}m^{-3} \equiv 3 \times 10^{19}cm^{-3}\). (Tenga en cuenta que todos los resultados se basan en las Eqs. (\ ref {58}) sólo son válidos si ambos\(n\) y\(p\) son mucho más bajos que, respectivamente,\(n_C\) y\(n_V\).)

Con la sustitución de Eqs. (\ ref {58}), el sistema de ecuaciones (\ ref {56}) permite una solución sencilla:

\[\mu = \frac{\varepsilon_v + \varepsilon_c}{2} + \frac{T}{2} \left( \ln \frac{g_v}{g_c} + \frac{3}{} \ln \frac{m_v}{m_c} \right) , \quad n_i = ( n_c n_v )^{1/2} \exp \left\{ - \frac{\Delta}{2T}\right\}. \label{60}\]

Dado que en todos los materiales prácticos los logaritmos en la primera de estas expresiones nunca son mucho mayores que 1, ³⁶ muestra que el nivel de Fermi en semiconductores intrínsecos nunca se desvía sustancialmente del llamado valor de entreespacio\((\varepsilon_V +\varepsilon_C)/2\) — ver la figura (esquemática)\(\PageIndex{1}\) . En el resultado para\(n_i\), el último factor (exponencial) es muy pequeño, por lo que el número de equilibrio de portadores de carga es mucho menor que el de los átomos —para el caso más importante del silicio a temperatura ambiente ,—\(n_i \sim 10^{10}cm^{-3}\). La dependencia exponencial de la temperatura\(n_i\) (y por lo tanto de la conductividad eléctrica\(\sigma \propto n_i\)) de los semiconductores intrínsecos es la base de varias aplicaciones, por ejemplo termómetros simples de resistencia al germanio, eficientes en todo el rango de\(\sim 0.5\) K a\(\sim 100 \) K. Otra aplicación útil del mismo hecho es la extracción de la banda prohibida de un semiconductor a partir de la medición experimental de la dependencia de la temperatura de\(\sigma \propto n_i\) — frecuentemente, en solo dos puntos de temperatura bien separados.

Sin embargo, la mayoría de las aplicaciones requieren una concentración mucho mayor de portadores. Se puede aumentar de manera bastante dramática al plantar en un semiconductor un número relativamente pequeño de átomos ligeramente diferentes, ya sea donantes (por ejemplo, átomos de fósforo para Si) o aceptores (por ejemplo, átomos de boro para Si). Analicemos la primera oportunidad, llamada\(n\) - dopaje, utilizando el mismo modelo de banda de energía simple (\ ref {53}). Si el átomo donante es solo ligeramente diferente de los de la red cristalina, puede ionizarse fácilmente, dando un electrón adicional a la banda de conducción, y por lo tanto convirtiéndose en un ion positivo. Esto significa que la energía efectiva del estado fundamental\(\varepsilon_D\) de los electrones adicionales está ligeramente por debajo del borde de la banda de conducción\(\varepsilon_C\) — ver Figura\(\PageIndex{2a}\). ³⁷

Figura\(\PageIndex{2}\): Los niveles de Fermi\(\mu\) en semiconductores\(n\) dopados (a) y (b)\(p\) dopados. La eclosión muestra los rangos de energías de estado no localizadas.

\[np = n^2_i . \label{61}\]

Sin embargo, para un semiconductor dopado, la condición de electroneutralidad se ve diferente a la Ecuación (\ ref {56}), porque la densidad total de cargas positivas en un volumen unitario no es\(p\)\((p + n_+)\), sino más bien, dónde\(n_+\) está la densidad de átomos donantes ionizados positivamente (“activados”), de modo que el condición de electroneutralidad se convierte

\[n=p+n_+. \label{62}\]

Si prácticamente todos los dopantes están activados, como es en la mayoría de los casos prácticos, ³⁹ entonces podemos tomar\(n_+ = n_D\), donde\(n_D\) está la concentración total de átomos donantes, es decir, su número por unidad de volumen, y la Ecuación (\ ref {62}) se convierte

\[n=p+n_D.\label{63}\]

Conectando la expresión\(p = n_i^2/n\), siguiendo la ecuación (\ ref {61}), obtenemos una ecuación cuadrática simple para\(n\), con la siguiente solución físicamente aceptable (positiva):

\[n = \frac{n_D}{2} + \left(\frac{n^2_D}{4} + n^2_i \right)^{1/2} . \label{64}\]

Este resultado muestra que el dopaje afecta\(n\) (y por tanto\(\mu = \varepsilon_C – T \ln ( n_C/n)\) y\(p = n_i^2/n\)) solo si la concentración de dopante\(n_D\) es comparable con, o mayor que la densidad intrínseca del portador\(n_i\) dada por la Ecuación (\ ref {60}). Para la mayoría de las aplicaciones,\(n_D\) se hace mucho mayor que\(n_i\); en este caso Ecuación (\ ref {64}) rinde

\[n \approx n_D >> n_i, \quad p = \frac{n_i^2}{n} \approx \frac{n_i^2}{n_D} << n, \quad \mu \approx \mu_p \equiv \varepsilon_C - T \ln \frac{n_C}{n_D} . \label{65}\]

Debido a las razones que se discutirán muy pronto, los dispositivos electrónicos modernos requieren densidades de dopaje superiores\(10^{18}cm^{-3}\), de manera que el logaritmo en la Ecuación (\ ref {65}) no es mucho mayor que 1. Esto significa que el nivel de Fermi se eleva desde el entrehierro a una posición solo ligeramente por debajo del borde de la banda de conducción\(\varepsilon_C\) — ver Figura\(\PageIndex{2a}\).

El caso opuesto de\(p\) dopaje puramente, con átomos\(n_A\) aceptores por unidad de volumen, y una pequeña energía de activación (ionización negativa)\(\varepsilon_A – \varepsilon_V << \Delta \), ⁴⁰ puede considerarse absolutamente similar, utilizando la condición de electroneutralidad en la forma

\[ n + n = p_− , \label{66}\]

donde\(n_–\) es el número de aceptores activados (y por lo tanto cargados negativamente). Para la concentración relativamente alta\((n_i << n_A << n_V)\), prácticamente todos los aceptores están activados, de manera que\(n_– \approx n_A\), la Ecuación (\ ref {66}) puede aproximarse como\(n + n_A = p\), y el análisis da los resultados duales a la Ecuación (\ ref {65}):

\[p \approx n_A >> n_i, \quad n = \frac{n_i^2}{p} \approx \frac{n_i^2}{n_A} << p, \quad \mu \approx \mu_n \equiv \varepsilon_V + T \ln \frac{n_V}{n_A} . \label{67}\]

de manera que en este caso, el nivel de Fermi está ligeramente por encima del borde de la banda de valencia (Figura\(\PageIndex{2b}\)), y el número de agujeros supera con creces al de los electrones —nuevamente, en el sentido estrecho de la palabra. Permítanme dejar el análisis del dopaje y\(p\) dopaje simultáneo\(n\) (que permite, en particular, los llamados semiconductores compensados con la diferencia de signo-variable\(n – p \approx n_D – n_A\)) para el ejercicio del lector.

\[\frac{d^2\phi}{dx^2} = -\frac{\rho (x) }{\kappa \varepsilon_0} . \label{68}\]

Aquí\(\kappa\) está la constante dieléctrica de la matriz semiconductora, excluyendo los dopantes y portadores de carga, que en este enfoque se tratan como cargas explícitas (“autónomas”), con la densidad volumétrica

\[\rho = e ( pn_- - n ) . \label{69}\]

(Como comprobación de cordura, Eqs. (\ ref {68}) - (\ ref {69}) muestran que si\(\mathscr{E} \equiv –d\phi /dx = 0\), entonces\(\rho = 0\), nos devuelve a la condición de electroneutralidad (\ ref {66}), y de ahí los diagramas de borde de banda “planos” mostrados en las Figs. \(\PageIndex{2b}\)y\(\PageIndex{3a}\).)

Figura\(\PageIndex{3}\): Los diagramas de borde de banda de la penetración del campo eléctrico en un semiconductor dopado p uniforme: (a)\(\mathscr{E} = 0\), (b)\(\mathscr{E} < 0\) y (c)\(\mathscr{E} > \mathscr{E}_c > 0\). Los puntos rojos sólidos representan cargas positivas; puntos azules sólidos, cargas negativas; y puntos azules rayados, posibles electrones en la capa de inversión, todos muy esquemáticamente.

\[ \frac{d\phi}{dx} (0) = - \mathscr{E} . \label{70}\]

Obsérvese que el potencial electroquímico\(\mu '\) (que, de acuerdo con la discusión en la Sec. 3, reemplaza al potencial químico en presencia del campo eléctrico), ⁴⁶ tiene que permanecer constante a través del sistema en equilibrio, manteniendo la corriente eléctrica igual a cero — ver Ecuación ( \(6.3.6\)). Para los parámetros de dopaje arbitrarios, el sistema de ecuaciones (\ ref {58}) (con los reemplazos\(\varepsilon_V \rightarrow \varepsilon_V – e\phi \), y\(\mu \rightarrow \mu '\)) y (\ ref {68}) - (\ ref {70}), más la relación entre\(n_–\) y\(n_A\) (describiendo la activación del aceptor), no permite una solución analítica. Sin embargo, como se discutió anteriormente, en los casos más prácticos\(n_A >> n_i\), podemos utilizar las relaciones aproximadas\(n_– \approx n_A\) y\(n \approx 0\) en prácticamente cualquier valor\(\mu '\) dentro de la banda prohibida desplazada localmente\([\varepsilon_V – e\phi (x), \varepsilon_C – e\phi (x)]\), de manera que la sustitución de estas relaciones, y la segunda de las Eq. (\ ref {58}), con los reemplazos mencionados, en Ecuación (\ ref {69}) rinde

\[\rho \approx en_V \exp \left\{ \frac{\varepsilon_V - e \phi - \mu '}{T} \right\} - en_A \equiv en_A \left[\left( \frac{n_V}{n_V}\exp \left\{\frac{\varepsilon_V - \mu '}{T} \right\} \right) \exp \left\{ - \frac{e\phi}{T}\right\} - 1 \right] . \label{71}\]

El potencial electroquímico\(x\) -independiente (también conocido como nivel de Fermi)\(\mu '\) en esta relación debe ser igual al valor del potencial químico\(\mu (x \rightarrow \infty )\) en el volumen del semiconductor, dado por la última de las Eq. (\ ref {67}), que convierte la expresión entre paréntesis en 1. Con estas sustituciones, la Ecuación (\ ref {68}) se convierte

\[\frac{d^2 \phi }{dx^2} = - \frac{en_A}{\kappa \varepsilon_0} \left[ \exp \left\{ - \frac{e\phi}{T}\right\} - 1 \right] , \quad \text{ for } \varepsilon_V - e \phi (x) < \mu ' < \varepsilon_C - e \phi (x) . \label{72}\]

Esta ecuación diferencial no lineal puede resolverse analíticamente, pero para evitar una distracción por esta solución (bastante voluminosa), permítanme primero considerar el caso cuando el potencial electrostático es suficientemente pequeño, ya sea porque el campo externo es pequeño, o porque nos enfocamos en las distancias suficientemente lejos de la superficie — ver Figura de\(\PageIndex{3}\) nuevo. En este caso, en la expansión Taylor del exponente en Ecuación (\ ref {72}), con respecto a small\(\phi \), podemos mantener solo dos términos iniciales, convirtiéndolo en una ecuación lineal:

\[\frac{d^2 \phi }{dx^2} = - \frac{e^2 n_A}{\kappa \varepsilon_0 T} \phi , \quad \text{ i.e. } \frac{d^2 \phi }{dx^2} = \frac{\phi}{\lambda^2_D}, \quad \text{ where } \lambda_D \equiv \left( \frac{\kappa \varepsilon_0 T}{e^2 n_A} \right)^{1/2} , \label{73}\]

con la conocida solución exponencial, satisfaciendo también la condición límite\(\phi \rightarrow 0\) en\(x \rightarrow \infty \):

\[\phi = C \exp \left\{ - \frac{x}{\lambda_D}\right\}, \quad \text{ at } e | \phi | << T. \label{74}\]

La constante\(\lambda_D\) dada por la última de las Eqs. (\ ref {73}) se llama longitud de cribado de Debye. Puede ser bastante sustancial; por ejemplo, a\(T_K = 300\) K, incluso para el dopaje relativamente alto,\(n_A \approx 10^{18}cm^{-3}\) típico de los circuitos\((\kappa \approx 12)\) integrados de silicio modernos, está cerca de 4 nm, todavía mucho más grande que la constante de la red cristalina\(a \sim 0.3\) nm, de modo que el análisis anterior es de hecho cuantitativamente válido. Tenga en cuenta también que\(\lambda_D\) no depende del signo de la carga; de ahí que no debería ser una gran sorpresa que repitiendo nuestro análisis para un semiconductor\(n\) dopado, podamos descubrir que Eqs. (\ ref {73}) - (\ ref {74}) son válidos para ese caso también, con el único reemplazo\(n_A \rightarrow n_D\).

Si el campo aplicado\(E\) es débil, la ecuación (\ ref {74}) es válida en toda la muestra, y la constante\(C\) en ella puede calcularse fácilmente usando la condición límite (\ ref {70}), dando

\[\left| \phi \right|_{x = 0} \equiv C = \lambda_D \mathscr{E} \equiv \left( \frac{\kappa \varepsilon_0 T}{e^2 n_A} \right)^{1/2} \mathscr{E} . \label{75}\]

Esta fórmula nos permite expresar la condición de validez de la aproximación lineal que conduce a la Ecuación (\ ref {74})\(e| \phi | << T\), en términos del campo aplicado:

\[|\mathscr{E}| << \mathscr{E}_{max} , \quad \text{ with } \mathscr{E}_{max} \equiv \frac{T}{e\lambda_D} \equiv \left( \frac{Tn_A}{\kappa \varepsilon_0}\right)^{1/2} ; \label{76}\]

en el ejemplo anterior,\(\mathscr{E}_{max} \sim 60\) kV/cm. A escala de laboratorio, dicho campo no es bajo en absoluto (es dos veces más alto que el umbral de avería eléctrica en el aire en condiciones ambientales), pero puede ser sostenido por muchos materiales de estado sólido que son mucho menos propensos a la descomposición. ⁴⁷ Es por ello que deberíamos interesarnos en lo que sucede si el campo aplicado es superior a este valor.

\[\lambda_{ef} (0) \sim \lambda_{TF} \equiv \left[ \frac{\kappa \varepsilon_0}{e^2 g_3 (\varepsilon_F ) } \right]^{1/2} . \label{77}\]

Los efectos que tienen lugar en la polaridad opuesta del campo,\(\mathscr{E} > 0\), son mucho más interesantes —y más útiles para aplicaciones. De hecho, en este caso, la banda que se agacha conduce a una disminución exponencial de tan pronto\(\rho (x)\) como el borde de la banda de valencia\(\varepsilon V – e\phi (x)\) desciende solo unos pocos por\(T\) debajo de su valor imperturbable\(\varepsilon V\). Si el campo aplicado es lo suficientemente grande,\(E > E_{max}\) (como es en la situación mostrada en la Figura\(\PageIndex{3c}\)), forma, a la izquierda de dicho punto\(x_0\) la llamada capa de agotamiento, de cierto ancho\(w\). Dentro de esta capa, no solo la densidad electrónica\(n\), sino\(p\) también la densidad del agujero, son insignificantes, de manera que la única contribución sustancial a la densidad de carga\(\rho\) viene dada por los aceptores completamente ionizados:\(\rho \approx –en_– \approx –en_A\), y la Ecuación (\ ref {72}) se vuelve muy simple:

\[\frac{d^2\phi}{dx^2} = \frac{en_A}{\kappa \varepsilon_0} = \text{const}, \quad \text{ for } x_0 - w < x < x_0 . \label{78}\]

Usemos esta ecuación para calcular el mayor ancho posible\(w\) de la capa de agotamiento, y el valor crítico,\(\mathscr{E}_c\), del campo aplicado necesario para ello. (Por definición, en\(\mathscr{E} = \mathscr{E}_c\), el límite izquierdo de la capa, donde, es decir\(\varepsilon_V – e\phi (x) = \varepsilon_C\)\(e\phi (x) = \varepsilon_V – \varepsilon_A \equiv \Delta \), solo toca la superficie del semiconductor:\(x_0 – w = 0\), i.e\(x_0 = w\). (La figura\(\PageIndex{3c}\) muestra el caso cuando\(\mathscr{E}\) es ligeramente mayor que\(\mathscr{E}_c\).) Para ello, la Ecuación (\ ref {78}) tiene que resolverse con las siguientes condiciones de contorno:

\[\phi (0) = \frac{\Delta}{e}, \quad \frac{d\phi}{dx} (0) = -\mathscr{E}_c , \quad \phi (w) = 0, \quad \frac{d\phi}{dx}(w) = 0. \label{79}\]

Tenga en cuenta que la primera de estas condiciones es estrictamente válida sólo si\(T << \Delta \), es decir, en la suposición que hemos hecho desde el principio, mientras que las dos últimas condiciones son asintóticamente correctas sólo si\(\lambda_D << w\) — la suposición no debemos olvidar verificar después de la solución.

Después de toda la experiencia de pregrado con problemas de movimiento proyectivo, el lector ciertamente sabe de memoria que la solución de la Ecuación (\ ref {78}) es una parábola cuadrática, así que me deja escribir inmediatamente su forma final satisfaciendo las condiciones límite (\ ref {79}):

\[\phi (x) = \frac{en_A}{\kappa \varepsilon_0} \frac{(w-x)^2}{2} , \quad \text{ with } w = \left( \frac{2\kappa \varepsilon_0 \Delta}{e^2 n_A} \right)^{1/2}, \text{ at } \mathscr{E}_c = \frac{2\Delta}{e\varepsilon_0 w} . \label{80}\]

Comparando el resultado para\(w\) con Ecuación (\ ref {73}), vemos que si\(T << \Delta\) se cumple nuestra condición básica, entonces\(\lambda D << w\), confirmando la validez cualitativa de toda la solución (\ ref {80}). Para los mismos parámetros particulares que en el ejemplo before (\(n_A \approx 10^{18}cm^{-3}, \kappa \approx 10\)), y\(\Delta \approx 1\) eV, Eqs. (\ ref {80}) dan\(w \approx 40\) nm y\(\mathscr{E}_c \approx 600\) kV/cm — sigue siendo un campo practicable. (Como\(\PageIndex{3c}\) muestra la Figura, para crearlo, necesitamos un voltaje de puerta solo ligeramente mayor que\(\Delta /e\), es decir, cercano a 1 V para semiconductores típicos).

La figura\(\PageIndex{3c}\) también muestra que si el campo aplicado supera este valor crítico, cerca de la superficie del semiconductor el borde de la banda de conducción cae por debajo del nivel Fermi. Se trata de la llamada capa de inversión, en la que los electrones con energías inferiores\(\mu '\) forman un gas Fermi degenerado altamente conductor. Sin embargo, las tasas típicas de tunelización de electrones desde la masa a través de la capa de agotamiento son muy bajas, de manera que después de que se haya creado la capa de inversión (digamos, por la aplicación de voltaje de puerta), solo puede ser poblada desde otra fuente, de ahí los puntos azules rayados en la Figura\(\PageIndex{3c}\). Este es exactamente el hecho utilizado en el dispositivo caballo de batalla de los circuitos integrados semiconductores —el transistor de efecto de campo (FET )— ver Figura\(\PageIndex{4}\).

Figura\(\PageIndex{4}\): Dos especies principales del\(n\) FET: (a) el FET a granel y (b) el FET finFET. Mientras que en el panel (a), el flujo de corriente desde la fuente al drenaje es paralelo al plano del dibujo, en el panel (b) es normal al plano, con la fuente dopada n y el drenaje contactando la delgada “aleta” desde dos lados de este plano.

En la variedad “a granel” de esta estructura (Figura\(\PageIndex{4a}\)), un electrodo de puerta solapa un hueco entre dos regiones similares altamente\(n\) dopadas cerca de la superficie, llamadas fuente y drenaje, formadas por\(n\) dopaje dentro de un semiconductor\(p\) dopado. Es más o menos obvio (y se mostrará en un momento) que en ausencia de voltaje de puerta, los electrones no pueden pasar por la región\(p\) dopada, de manera que prácticamente no fluye corriente entre la fuente y el drenaje, aunque se aplique un voltaje modesto entre estos electrodos. Sin embargo, si el voltaje de puerta es positivo y lo suficientemente grande como para inducir el campo eléctrico\(\mathscr{E} > \mathscr{E}_c\) en la superficie del semiconductor dopado p, crea la capa de inversión como se muestra en la Figura\(\PageIndex{3c}\), y la corriente electrónica entre los electrodos de fuente y drenaje puede fluir fácilmente a través de esta canal de superficie. (Muy desafortunadamente, en este curso no tendría tiempo/espacio para un análisis detallado de las propiedades de transporte de este dispositivo de electrones keystone, y tendría que referir al lector a literatura especial. ⁴⁹)

La figura\(\PageIndex{4a}\) hace evidente que otra estructura importante (y prácticamente inevitable) de los circuitos integrados de semiconductores es la famosa\(p-n\) unión, una interfaz entre\(p\) regiones\(n\) dopadas y dopadas. Analicemos su modelo simple, en el que la interfaz está en el plano\(x = 0\), y los perfiles de dopaje\(n_D(x)\) y\(n_A(x)\) son escalonados, haciendo un salto abrupto en la interfaz:

\[n_A (x) = \begin{cases} n_A = \text{const} & \text{ at } x<0, \\ 0, & \text{ at } x>0, \end{cases} \quad n_D (x) = \begin{cases} 0 & \text{ at } x<0, \\ n_D = \text{const} & \text{ at } x>0. \end{cases} \label{81}\]

(Este modelo es muy razonable para los circuitos integrados modernos, donde el dopaje se realiza mediante implantación, utilizando haces de iones de alta energía).

Para empezar, supongamos que no se aplica tensión alguna entre las\(n\) regiones\(p\) - y -para que el sistema pueda estar en equilibrio termodinámico. En el equilibrio, el nivel de Fermi\(\mu '\) debe ser plano a través de la estructura, y en\(x \rightarrow –\infty\) y\(x \rightarrow +\infty \), donde\(\phi \rightarrow 0\), la estructura de nivel tiene que acercarse a las posiciones mostradas, respectivamente, en los paneles (a) y (b) de la Figura\(\PageIndex{2}\). Además, la distribución del potencial eléctrico\(\phi (x)\), desplazando la estructura de nivel verticalmente\(–e\phi (x)\), tiene que ser continua para evitar campos eléctricos infinitos antifísicos. Con eso, inevitablemente llegamos al diagrama de borde de banda que se muestra (esquemáticamente) en la Figura\(\PageIndex{5}\).

Figura\(\PageIndex{5}\): Diagrama de borde de banda de una\(p-n\) unión en equilibrio termodinámico (\(T\)= const,\(\mu '\) = const). La notación es la misma que en las Figs. \(\PageIndex{2}\)y\(\PageIndex{3}\).

El diagrama muestra que el contacto de semiconductores dopados de manera diferente da lugar a una diferencia de potencial eléctrico incorporado\(\Delta \phi \), igual a la diferencia de sus valores de\(\mu\) en ausencia del contacto — ver Eqs. (\ ref {65}) y (\ ref {67}):

\[e\Delta \phi \equiv e \phi (+\infty ) - e \phi ( - \infty ) = \mu_n - \mu_p = \Delta - T \ln \frac{n_Cn_V}{n_Dn_A}, \label{82}\]

que suele ser un poco más pequeño que la brecha de banda. ⁵⁰ (Cualitativamente, esta es la misma diferencia de potencial de contacto que se discutió, para el caso de los metales, en la Sec. 3 — ver Figura\(6.3.1\).) El campo electrostático interno que surge\(\mathscr{E} = –d\phi /dx\) induce, en ambos semiconductores, capas de agotamiento similares a las inducidas por un campo externo (Figura\(\PageIndex{3c}\)). Sus anchuras\(w_p\) y también\(w_n\) pueden calcularse de manera similar, resolviendo el siguiente problema límite de la electrostática, en su mayoría similar al dado por las Eq. (\ ref {78}) - (\ ref {79}):

\[\frac{d^{2} \phi}{d x^{2}}= \frac{e}{\kappa \varepsilon_{0}} \times \begin{cases} n_{A}, & \text { for }-w_{p}<x<0, \\ \left(-n_{D}\right), & \text { for } 0<x<+w_{n}, \end{cases} \label{83}\]

\[\phi\left(w_{n}\right) = \phi\left(-w_{p}\right)+\Delta \phi, \frac{d \phi}{d x}\left(w_{n}\right)=\frac{d \phi}{d x}\left(-w_{p}\right)=0, \quad \phi(-0)=\phi(+0), \quad \frac{d \phi}{d x}(-0)=\frac{d \phi}{d x}(+0), \label{84}\]

también exacta sólo en el límite\(\tau << \Delta , n_i << n_D, n_A\). Su solución (fácil) da el resultado similar a la Ecuación (\ ref {80}):

\[\phi = \text{const}+\begin{cases} en_A (w_p + x)^2 / 2\kappa \varepsilon_0, & \text{ for } - q_p < x < 0, \\ \Delta \phi - en_D (w_n - x )^2 / 2\kappa \varepsilon_0, & \text{ for } 0 < x < +w_n, \end{cases} \label{85}\]

con expresiones para\(w_p\) y\(w_n\) dando la siguiente fórmula para el ancho de capa de agotamiento completo:

\[w \equiv w_p + w_n = \left( \frac{2\kappa \varepsilon_0 \Delta \phi }{en_{ef} } \right)^{1/2} , \quad \text{ with } n_{ef} \equiv \frac{n_An_D}{n_A + n_D}, \text{ i.e.} \frac{1}{n_{ef}} = \frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_D}. \label{86}\]

Esta expresión es similar a la dada por la Ecuación (\ ref {80}), de manera que para los semiconductores típicos altamente dopados (\(n_{ef} \sim 10^{18}cm^{-3}\)) da para\(w\) una estimación similar de unas pocas decenas nm. ⁵¹ Volviendo a la Figura\(\PageIndex{4a}\), vemos que esta escala impone un límite esencial a la reducción de FET a granel (cuya reducción está en el corazón de la conocida ley de Moore), ⁵² explicando por qué es necesario un dopaje tan alto. A principios de la década de 2010, los problemas con la implementación de dopaje aún mayor, más los problemas con la administración de energía disipada, han motivado la transición de la tecnología avanzada de circuitos integrados de silicio de los FET masivos al FinFET (también llamado “doble puerta”, o “tri-puerta” o “puerta envolvente”) variedad de estos dispositivos, mostrados esquemáticamente en la Figura\(\PageIndex{4b}\), a pesar de su estructura esencialmente 3D y por lo tanto una tecnología de fabricación más compleja. En los FinFET, se reduce el papel de\(p-n\) las uniones, pero estas estructuras siguen siendo una característica importante de los circuitos integrados semiconductores.

Ahora echemos un vistazo a la\(p-n\) unión en equilibrio desde el punto de vista de la Ecuación (\(6.3.19\)). En el modelo simple que estamos considerando ahora (en particular, at\(T << \Delta \)), esta ecuación es aplicable por separado a los subsistemas de electrones y huecos, ya que en este modelo los gases de estos portadores de carga son clásicos en todas las partes del sistema, y los procesos de generación-recombinación ⁵³ acoplamientos estos subsistemas tienen tasas relativamente pequeñas — ver más abajo. Por lo tanto, para el subsistema de electrones, podemos reescribir la ecuación (\(6.3.19\)) como

\[j_n = n\mu_m q \mathscr{E} - D_n \frac{\partial n}{\partial x}, \label{87}\]

donde\(q = –e\). Discutamos cómo cada término de la mano derecha de esta igualdad depende de los parámetros del sistema. Debido al\(n\) dopaje at\(x > 0\), hay muchos más electrones en esta parte del sistema. Según la distribución de Boltzmann (\ ref {58}), algunos de ellos,

\[n_> \propto \exp \left\{-\frac{e\Delta \phi}{T} \right\}, \label{88}\]

Figura\(\PageIndex{6}\): Electrones en la banda de conducción de una\(p-n\) unión en: (a)\(\mathscr{V} = 0\) y (b)\(\mathscr{V} > 0\). Para mayor claridad, no se muestran otras cargas (de los agujeros y todos los átomos dopantes ionizados).

\[ e\Delta \phi \rightarrow e\Delta \phi + \Delta \mu ' \equiv e\Delta \phi + q\mathscr{V} \equiv e(\Delta \phi −\mathscr{V} ). \label{89}\]

Este cambio da como resultado un cambio exponencial del número de electrones capaces de difundirse en el\(p\) -lado de la unión — cf. Ecuación (\ ref {88}):

\[n_> ( \mathscr{V} ) \approx n_> (0) \exp \left\{\frac{e\mathscr{V}}{T}\right\}, \label{90}\]

y por lo tanto en un cambio proporcional del flujo\(j_n\) de difusión de electrones desde el\(n\) lado -al\(p\) lado -del sistema, es decir, de la densidad dirigida opuestamente de la corriente de electrones\(j_e = –ej_n\) — ver Figura\(\PageIndex{6b}\).

Por otro lado, el contraflujo de deriva de electrones no se ve alterado demasiado por el voltaje aplicado: aunque sí cambia el campo electrostático\(\mathscr{E} = –\nabla \phi\) dentro de la capa de agotamiento, y también el ancho de la capa de agotamiento, ⁵⁷ estos cambios son incrementales, no exponenciales. Como resultado, la densidad neta de la corriente transportada por los electrones puede expresarse aproximadamente como

\[j_e (\mathscr{V} ) = j_{diffusion} - j_{drift} \approx j_e (0) \exp \left\{\frac{e\mathscr{V}}{T}\right\} - \text{const.} \label{91a}\]

Como se discutió anteriormente, at\(\mathscr{V} = 0\), la corriente neta tiene que desaparecer, de manera que la constante en la Ecuación (\ ref {91a}) tiene que ser igual\(j_e(0)\), y podemos reescribir esta igualdad como

\[j_e(\mathscr{V}) = j_e (0) \left(\exp\left\{\frac{e\mathscr{V}}{T}\right\}-1\right). \label{91b}\]

\[j(\mathscr{V})\equiv j_e (\mathscr{V})+j_h(\mathscr{V}) = j(0)\left(\exp \left\{\frac{e\mathscr{V}}{T}\right\}-1\right), \text{ with } j(0) \equiv j_e (0) + j_h (0), \label{92}\]

describiendo la propiedad de la\(p-n\) unión principal como un diodo eléctrico, un dispositivo de dos terminales que pasa la corriente más “fácilmente” en una dirección (del terminal\(p\) - al\(n\) -terminal) que en la opuesta. ⁵⁹ Además de numerosas aplicaciones prácticas en ingeniería eléctrica y electrónica, dichos diodos tienen propiedades estadísticas muy interesantes, en particular realizando transformaciones muy no triviales de los espectros de señales deterministas y aleatorias. Muy desgraciadamente, no tendría tiempo para su discusión y tendría que remitir al lector interesado a la literatura especial. ⁶⁰

Aún así, antes de pasar a nuestro siguiente (¡y último!) topic, permítanme dar para la referencia del lector, sin pruebas, la expresión para el factor de escalado\(j(0)\) en la Ecuación (\ ref {92}), que se desprende de un modelo simple, pero ampliamente utilizado del proceso de recombinación:

\[j(0) = en^2_i \left(\frac{D_e}{l_en_A} + \frac{D_h}{l_hn_D}\right).\label{93}\]

Aquí\(l_e\) y\(l_h\) están las longitudes características de difusión de electrones y huecos antes de su recombinación, las cuales pueden ser expresadas por la Ecuación (\(5.6.8\)),\(l_e = (2D_e\tau_e)^{1/2}\) y\(l_h = (2D_h\tau_h)^{1/2}\), con\(\tau_e\) y\(\tau_h\) siendo los tiempos característicos de recombinación de los llamados portadores minoritarios — de electrones en la parte\(p\) dopada y de agujeros en la parte\(n\) dopada de la estructura. Dado que la recombinación es un proceso inelástico, sus tiempos suelen ser bastante largos —del orden de\(10^{-7}\) s, es decir, mucho más largos que los tiempos típicos de dispersión elástica de los mismos portadores, que definen sus coeficientes de difusión— ver Ecuación (\(6.3.16-6.3.18\)).