2.6: Rejillas de difracción

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Dado que el espaciado angular\(\Delta \theta\) de los picos de interferencia en la caja de dos ranuras depende de la longitud de onda de la onda incidente, el sistema de dos ranuras se puede usar como un dispositivo crudo para distinguir entre las longitudes de onda de diferentes componentes de una onda no sinusoidal que incide en las ranuras. Sin embargo, si se agregan más ranuras, manteniendo un espaciado uniforme d entre ranuras, obtenemos un dispositivo más sofisticado para distinguir los componentes de la viga. Esto se llama rejilla de difracción.

Figura\(\PageIndex{2}\): .17: Intensidad del patrón de interferencia de una rejilla de difracción con 2 ranuras en la pantalla en la figura 2.16. La posición x en la pantalla es proporcional al ángulo\(\theta\) en la aproximación del ángulo pequeño.

Figura\(\PageIndex{2}\): .18: Intensidad del patrón de interferencia de una rejilla de difracción con 4 ranuras.

Figura\(\PageIndex{2}\): .19: Intensidad del patrón de interferencia de una rejilla de difracción con 16 ranuras.

Las figuras 2.17-2.19 muestran la intensidad del patrón de difracción en función de la posición x en la pantalla de visualización (ver figura 2.16) para rejillas con 2, 4 y 16 ranuras respectivamente, con el mismo espaciado de rendijas. Observe cómo los picos de interferencia permanecen en el mismo lugar pero aumentan en nitidez a medida que aumenta el número de ranuras.

El ancho de los picos está realmente relacionado con el ancho total de la rejilla\(w = nd\),, donde n es el número de ranuras. Pensando en este ancho como la dimensión de una sola hendidura grande, la ecuación de hendidura única\(\mathrm{a}_{\max }=\lambda /(2 \mathrm{w})\),, nos dice el ancho angular de los picos.

Mientras que el ancho angular de los picos de interferencia se rige por la ecuación de hendidura única, sus posiciones angulares están gobernadas por la ecuación de dos rendijas. Supongamos por simplicidad que para que\(|\theta|<1\) podamos hacer la aproximación de ángulo pequeño a la ecuación de dos rendijas,\(\mathrm{m} \lambda=\mathrm{d} \sin \theta \approx \mathrm{d} \theta\), y hacer la siguiente pregunta: ¿Qué tan diferentes\(\Delta \lambda\) tienen que ser dos longitudes de onda que difieren por para que los picos de interferencia de las dos ondas no se superpongan? Para que los picos sean distinguibles, deben estar separados\(\theta\) por un ángulo\(\Delta \theta=m \Delta \lambda / d\), que es mayor que el ancho angular de cada pico, α _max:

\[\Delta \theta>\alpha_{\max }\label{2.23}\]

Sustituyendo en las expresiones anteriores por\(\Delta \theta \text { and } \alpha_{\max }\) y resolviendo\(\Delta \lambda, \text { we get } \Delta \lambda>\lambda /(2 m n)\), donde\(\lambda\) está el promedio de las dos longitudes de onda y\(n = w ∕ d\) es el número de ranuras en la rejilla de difracción. Así, la diferencia fraccionaria entre longitudes de onda que pueden distinguirse mediante una rejilla de difracción depende únicamente del orden de interferencia m y del número de ranuras n en la rejilla:

\[\frac{\Delta \lambda}{\lambda}>\frac{1}{2 m n}\label{2.24}\]