2.7: Problemas

1. El punto A está en el origen. El punto B está a 3 m de distancia de A a ^30° en sentido antihorario del eje x. El punto C está a 2 m del punto A a 100 ^° en sentido antihorario desde el eje x.
   1. Obtener los componentes cartesianos del vector D ₁ que va de A a B y el vector D ₂ que va de A a C.
   2. Encuentra los componentes cartesianos del vector D ₃ que va de B a C.
   3. Encuentra la dirección y magnitud de D ₃. Figura 2.20: Croquis de onda moviéndose a ^45° con respecto al eje x.
2. Para los vectores en el problema anterior, encuentra D ₁ ⋅ D ₂ usando tanto la forma coseno del producto punto como la forma cartesiana. Comprueba si las dos respuestas son iguales.
3. Mostrar gráficamente o de otra manera que | A + B |≠ | A | + | B | excepto cuando los vectores A y B son paralelos.
4. Una onda en el plano x-y se define por h = h ₀ sin (k ⋅ x) donde k = (1, 2) cm ^-1.
   1. En un trozo de papel cuadriculado dibuja los ejes x e y y luego traza una línea que pasa por el origen que es paralela al vector k.
   2. En la misma gráfica grafica la línea definida por k ⋅ x = k _x x + k _y = 0, k ⋅ x = π, y k ⋅ x = 2π. Verifique si estas líneas son perpendiculares a k.
5. Una onda plana en dos dimensiones en el plano x - y se mueve en la dirección 45 ^o en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje x como se muestra en la figura 2.20. Determinar qué tan rápido se mueve la intersección entre un frente de onda y el eje x hacia la derecha en términos de la velocidad de fase c de la ola. Pista: ¿Cuál es la distancia entre frentes de onda a lo largo del eje x en comparación con la longitud de onda?
6. Dos olas oceánicas de plano profundo con la misma frecuencia ω se mueven aproximadamente hacia el este. Sin embargo, una ola está orientada a un pequeño ángulo β al norte del este y la otra está orientada β al sur de este.
   1. Determinar la orientación de las líneas de interferencia constructiva entre estas dos ondas.
   2. Determinar el espaciado entre líneas de interferencia constructiva.
7. Un ejemplo de ondas con una relación de dispersión en la que la frecuencia es una función tanto de la magnitud como de la dirección del vector de onda se muestra gráficamente en la figura 2.21.
   1. ¿Cuál es la velocidad de fase de las ondas para cada uno de los tres vectores de onda? Pista: Es posible que desee obtener la longitud de cada vector de onda gráficamente.
   2. Para cada uno de los vectores de onda, ¿cuál es la orientación de los frentes de onda?
   3. Para cada uno de los vectores de onda ilustrados, dibuje otros dos vectores de onda cuyo valor promedio es aproximadamente el vector ilustrado, y cuyas puntas se encuentran en la misma línea de contorno de frecuencia. Determinar la orientación de las líneas de interferencia constructiva producidas por los pares superpuestos de ondas planas para las cuales cada uno de los pares vectoriales son los vectores de onda.
8. Dos ondas gravitacionales tienen la misma frecuencia, pero longitudes de onda ligeramente diferentes.
   1. Si una onda tiene un ángulo de orientación θ = π4 radianes, ¿cuál es el ángulo de orientación de la otra? (Véase la figura 2.6.)
   2. Determinar la orientación de las líneas de interferencia constructiva entre estas dos ondas.
9. Una onda plana incide en una sola hendidura, extendiendo un ángulo α de medio ángulo después de la hendidura. Si todo el aparato está sumergido en un líquido con índice de refracción n = 1.5, ¿cómo cambia el ángulo de dispersión de la luz? (Pista: Recordemos que el índice de refracción en un medio transparente es la relación entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en el medio. Además, cuando la luz pasa de un vacío a un medio transparente, la frecuencia de la luz no cambia. Por lo tanto, ¿cómo cambia la longitud de onda de la luz?) Figura 2.21: Representación gráfica de la relación de dispersión para olas de aguas poco profundas en un río que fluye en la dirección x. Las unidades de frecuencia son hercios, las unidades de número de onda son metros inversos.
10. Determinar el diámetro del telescopio necesario para resolver un planeta 2 × 10 a ⁸ km de una estrella que está a 6 años luz de la tierra. (Supongamos luz azul que tiene una longitud de onda λ ≈ 4 × 10 ^-7 m = 400 nm. Además, no te preocupes por la gran diferencia de brillo entre los dos a los efectos de este problema.)
11. Un rayo láser de un láser en la tierra es rebotado a la tierra por un reflector de esquina en la luna.
    1. Los ingenieros encuentran que la señal devuelta es más fuerte si el rayo láser es inicialmente extendido por el expansor de haz que se muestra en la figura 2.22. Explique por qué esto es así.
    2. El haz tiene un diámetro de 1 m saliendo de la tierra. ¿Qué tan amplio es cuando llega a la luna, que está a 4 × 10 a ⁵ km de distancia? Supongamos que la longitud de onda de la luz es de 5 × 10 ^-7 m.
    3. ¿Qué tan amplio sería el rayo láser en la luna si inicialmente no se pasara a través del expansor de haz? Supongamos que su diámetro inicial es de 1 cm.
12. Supongamos que una onda plana incide en dos rendijas en una barrera en ángulo, de tal manera que la fase de la onda en una hendidura retarda la fase en la otra hendidura en media longitud de onda. ¿Cómo cambia el patrón de interferencia resultante del caso en el que no hay retraso?
13. Supongamos que una pieza delgada de vidrio de índice de refracción n = 1.33 se coloca frente a una hendidura de una configuración de difracción de dos hendiduras.
    1. ¿Qué tan grueso tiene que ser el vidrio para ralentizar la onda entrante para que quede rezagada la onda que pasa por la otra hendidura por una diferencia de fase de π? Tomar la longitud de onda de la luz para que sea λ = 6 × 10 ^-7 m.
    2. Para la situación anterior, describa cualitativamente cómo cambia el patrón de difracción con respecto al caso en el que no hay vidrio frente a una de las rendijas. Explica tus resultados. Figura 2.22: Croquis de un expansor de haz para un láser.
14. Una fuente de luz produce dos longitudes de onda, λ ₁ = 400 nm (azul) y λ ₂ = 600 nm (rojo).
    1. Dibuje cualitativamente el patrón de difracción de dos hendiduras de esta fuente. Dibuje el patrón para cada longitud de onda por separado.
    2. Esboce cualitativamente el patrón de difracción de 16 hendiduras de esta fuente, donde el espaciado de las ranuras es el mismo que en la caja de las dos ranuras
15. Una fuente de luz produce dos longitudes de onda, λ ₁ = 631 nm y λ ₂ = 635 nm. ¿Cuál es el número mínimo de hendiduras necesarias en un espectrómetro de rejilla para resolver las dos longitudes de onda? (Supongamos que está viendo el pico de difracción de primer orden.) Dibuje el pico de difracción de cada longitud de onda e indique qué tan estrechos deben ser los picos para resolverlos.