5.1: Olas en el espacio-tiempo
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Ahora nos fijamos en las características de las olas en el espacio-tiempo. Recordemos que una onda sinusoidal que se mueve hacia la derecha en una dimensión espacial puede ser representada por
\[A(x, t)=A_{0} \sin (k x-\omega t)\label{5.1}\]
donde\(\mathrm{A}_{0}\) está la amplitud (constante) de la onda, k es el número de onda, y\(\omega\) es la frecuencia angular, y que la cantidad\(\phi=k x-\omega t\) se llama la fase de la onda. Para una onda plana en tres dimensiones espaciales, la onda se representa de manera similar,
\[A(\mathbf{x}, t)=A_{0} \sin (\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}-\omega t)\label{5.2}\]
donde\(k\) está ahora el vector de posición y\(k\) es el vector de onda. La magnitud del vector de onda,\(|\mathbf{k}|=\mathrm{k}\) es solo el número de onda de la onda y la dirección de este vector indica la dirección en la que se mueve la onda. La fase de la ola en este caso es\(\phi=\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}-\omega t\).
En el caso de una onda unidimensional que se mueve hacia la derecha\(\phi=k x-\omega t\). Un frente de onda tiene fase constante\(\phi\), por lo que resolver esta ecuación para\(t\) y multiplicar por\(c\), la velocidad de la luz en un vacío, nos da una ecuación para la línea mundial de un frente de onda:
\[c t=\frac{c k x}{\omega}-\frac{c \phi}{\omega}=\frac{c x}{u_{p}}-\frac{c \phi}{\omega} \quad(\text { wave front })\label{5.3}\]
La pendiente de la línea mundial en un diagrama de espacio-tiempo es el coeficiente de x, o\(c / \mathrm{u}_{\mathrm{p}}, \text { where } \mathrm{u}_{\mathrm{p}}=\omega / \mathrm{k}\) es la velocidad de fase. Las líneas mundiales de los frentes de onda de una ola se ilustran en la figura 5.1.