5.2: Tutorial de Matemáticas — Cuatro Vectores
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También se muestra en la figura 5.1 un vector espacio-tiempo o cuatro vectores que representa la frecuencia y número de onda de la onda, a la que nos referimos como el cuatro vector de onda. Se llama cuatro vectores porque tiene 3 componentes espaciales y un componente tipo tiempo cuando hay 3 dimensiones espaciales. En el caso mostrado, solo hay una dimensión espacial única. El componente espacial del cuatro vector de onda es solo k (o k cuando hay 3 dimensiones espaciales), mientras que el componente temporal es\(\omega / \mathrm{c}\). El\(c\) está en el denominador para darle al componente timelike las mismas dimensiones que el componente espacial. De la figura 5.1 es claro que la pendiente de la línea que representa el cuatro vector es\(\omega / \mathrm{ck}\), que es solo la inversa de la pendiente de los frentes de ola.
Definamos alguna terminología. Indicamos un cuatro vector subrayando y escribiendo los componentes de la siguiente manera:\(\underline{k}=(k, \omega / c)\), donde k es el cuatro vector de onda, k es su componente espacial y\(\omega / \mathrm{c}\) es su componente temporal. Para tres dimensiones espaciales, donde tenemos un vector de onda en lugar de solo un número de onda, escribimos\(\underline{\mathrm{k}}=(\mathbf{k}, \omega / \mathrm{c})\).
Otro ejemplo de cuatro vectores es simplemente el vector de posición en el espacio-tiempo,\(\underline{x}=(x, c t), \text { or } \underline{x}=(\mathbf{x}, \mathrm{ct})\) en tres dimensiones espaciales. El c multiplica el componente timelike en este caso, porque eso es lo que se necesita para darle las mismas dimensiones que el componente espacial.
En tres dimensiones definimos un vector como una cantidad con magnitud y dirección. Extendiendo esto al espacio-tiempo, un cuatro vector es una cantidad con magnitud y dirección en espacio-tiempo. Implícita en esta definición está la noción de que la magnitud del vector es una cantidad independiente del sistema de coordenadas o marco de referencia. Hemos visto que el intervalo invariante en el espacio-tiempo desde el origen hasta el punto\((\mathrm{x}, \mathrm{ct})\) es\(I=\left(x^{2}-c^{2} t^{2}\right)^{1 / 2}\) así que tiene sentido identificarlo como la magnitud del vector de posición. Esto lleva a una forma de definir un producto punto de cuatro vectores. Dados dos cuatro vectores\(\underline{A}=\left(\mathbf{A}, A_{t}\right) \text { and } \underline{B}=\left(\mathbf{B}, B_{t}\right)\), el producto punto es
\[\underline{A} \cdot \underline{B}=\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}-A_{t} B_{t} \quad \text { (dot product in spacetime). }\label{5.4}\]
Esto es consistente con la definición de intervalo invariante si establecemos\(\underline{A}=\underline{B}=\underline{x}, \text { since then } \underline{x} \cdot \underline{x}=x^{2}-c^{2} t^{2}=I^{2}\)
En la extraña geometría del espacio-tiempo no es obvio lo que significa “perpendicular”. Por lo tanto, definimos dos cuatro vectores A y B para que sean perpendiculares si su producto puntual es cero\(\underline{A} \cdot \underline{B}=0\),, en analogía con los vectores ordinarios.
El producto punto de dos cuatro vectores es un resultado escalar, es decir, su valor es independiente del sistema de coordenadas. Esto se puede utilizar a nuestro favor en ocasiones. Por ejemplo, considere el producto de punto de un cuatro vectores A que se resuelve\(\left(A_{x}, A_{t}\right)\) en el fotograma no cebado. Supongamos además que el componente espacial es cero en algún fotograma cebado, de modo que los componentes en este marco lo son\(\left(0, A_{t}^{\prime}\right)\). El hecho de que el producto punto sea independiente del sistema de coordenadas significa que
\[\underline{A} \cdot \underline{A}=A_{x}^{2}-A_{t}^{2}=-A_{t}^{\prime 2}\label{5.5}\]
Esto constituye una extensión del teorema de Pitágoras espacio-tiempo a cuatro vectores distintos del vector de posición cuatro. Así, por ejemplo, el número de onda para alguna onda puede ser cero en la trama cebada, lo que significa que el número de onda y la frecuencia en la trama no cebada están relacionados con la frecuencia en la trama cebada por
\[k^{2}-\omega^{2} / c^{2}=-\omega^{\prime 2} / c^{2}\label{5.6}\]