5.7: Problemas
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- Esboce los frentes de onda y el cuatro vector k en un diagrama de espacio-tiempo para el caso donde\(\omega / k=2 c\). Etiquete sus ejes y espacie los frentes de onda correctamente para la caja\(\mathrm{k}=4 п \mathrm{~m}^{-1}\).
- Si el cuatro vector\(\mathrm{k}=\left(0,1 \mathrm{nm}^{-1}\right)\) en el resto del cuadro, encuentre los componentes de espacio y tiempo de\(k\) en un cuadro moviéndose hacia la izquierda a velocidad\(\mathrm{c} / \mathrm{2}\).
- Examinemos los cuatro vectores\(\underline{\mathrm{u}}=\left(\mathrm{u}_{9}, \mathrm{c}\right)\left(1-\beta^{2}\right)^{1 / 2}\) donde\(\beta=\mathrm{u}_{g} / \mathrm{c}, \mathrm{u}_{\mathrm{g}}\) está la velocidad de algún objeto. El cuatro vector\(u\) se llama la velocidad de cuatro.
- Espectáculo que\(u\) es paralelo a la línea mundial del objeto.
- \(\mathrm{u} \cdot \mathrm{u}=-\mathrm{c}^{2}\)Demuéstralo.
- Si\(\mathrm{u}_{\mathrm{g}}\) es la velocidad de grupo de un paquete de onda relativista, muéstrelo\(\mathrm{k}=\left(\mu / \mathrm{c}^{2}\right) \mathrm{u}\), donde\(k\) está la onda central de cuatro vectores del paquete de ondas.
- Encuentra el desplazamiento Doppler para una fuente de luz móvil de la figura 5.5, siguiendo aproximadamente el procedimiento utilizado en el texto para encontrar el desplazamiento de un observador en movimiento. (Supongamos que la fuente se mueve hacia la izquierda a velocidad U.) ¿El resultado es el mismo que para el observador en movimiento, como lo exige el principio de relatividad?
- Encuentre el desplazamiento Doppler para una fuente estacionaria de sonido (\(c \approx 380 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\)en una atmósfera estacionaria) medida por un observador en movimiento. Siga el procedimiento como para la luz en la sección 5.5 excepto tenga en cuenta que el tiempo apropiado τ es prácticamente el mismo que el tiempo T′ en la figura 5.3 ya que las velocidades son mucho menores que la velocidad de la luz.
- Supongamos que haces brillar un láser con frecuencia\(\omega\) y número de onda k en un espejo que se mueve hacia ti a velocidad\(v\), como se ve en la figura 5.6. ¿Cuál es la frecuencia\(\omega^{\prime}\) y el número de onda\(\mathrm{k}^{\prime}\) del haz reflejado? Pista: Encuentra la frecuencia del haz incidente en el marco de referencia del espejo. La frecuencia del haz reflejado será la misma que la del haz incidente en este marco. Después transforma de nuevo al marco de referencia del láser.
Figura 5.6: Haz láser que se refleja en un espejo en movimiento.
- Supongamos que haces brillar un láser con frecuencia\(\omega\) y número de onda k en un espejo que se mueve hacia ti a velocidad\(v\), como se ve en la figura 5.6. ¿Cuál es la frecuencia\(\omega^{\prime}\) y el número de onda\(\mathrm{k}^{\prime}\) del haz reflejado? Pista: Encuentra la frecuencia del haz incidente en el marco de referencia del espejo. La frecuencia del haz reflejado será la misma que la del haz incidente en este marco. Después transforma de nuevo al marco de referencia del láser.
- Supongamos que el gemelo en movimiento en la paradoja de los gemelos tiene un poderoso telescopio para que pueda ver a su hermano gemelo de regreso a la tierra durante todo el viaje. Describa cómo el gemelo terrestre parece envejecer al gemelo itinerante en comparación con su propia tasa de envejecimiento. Use un diagrama de espacio-tiempo para ilustrar su argumento y considere por separado las etapas de salida y retorno. ¡Recuerda que la luz viaja a la velocidad de la luz! Pista: ¿El concepto de cambio Doppler ayuda aquí?
- Encuentre la velocidad de un objeto con respecto al fotograma de reposo si se mueve a una velocidad de\(0.1c\) con respecto a otro marco que a su vez se mueve en la misma dirección en\(0.1c\) relación con el marco de descanso usando
- la fórmula galilea y
- la fórmula de la relatividad especial. Determine el error fraccionario realizado al usar la fórmula galilea.
- Cada etapa de un cohete de 3 etapas de alto rendimiento puede acelerar a una velocidad de 0.9c desde el reposo. Si el cohete parte del reposo, ¿qué tan rápido va finalmente la etapa final?
- la fórmula galilea y
- la fórmula de la relatividad especial. Determine el error fraccionario realizado al usar la fórmula galilea.
- Una nave espacial interestelar va de la Tierra a Sirio con velocidad U = 0.8c relativa al resto del marco. Pasa una nave espacial que va de Sirio a la Tierra a una velocidad de 0.95c en el marco de referencia de la primera nave espacial. ¿Cuál es la velocidad (dirección y velocidad) de la segunda nave espacial en el marco de descanso?
- Una nave espacial interestelar va de la Tierra a Sirio con velocidad U = 0. 8 c relativo al resto del marco. Pasa una nave espacial que va de Sirio a la Tierra a una velocidad de 0. 95 c en el marco de referencia de la primera nave espacial. ¿Cuál es la velocidad (dirección y velocidad) de la segunda nave espacial en el marco de descanso?