5.6: Adición de Velocidades
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La Figura 5.4 muestra la línea mundial de un objeto en movimiento desde el punto de vista de dos marcos de referencia diferentes, con el marco imprimado (panel izquierdo) moviéndose hacia la derecha a la velocidad U relativa al marco no imprimado (panel derecho). El objetivo es calcular la velocidad del objeto en relación con el cuadro no cebado\(v\), asumiendo que\(v′\) se conoce su velocidad en el marco cebado. El resultado clásico es simplemente
\[v=U+v^{\prime} \quad \text { (classical result). }\label{5.6}\]
Sin embargo, esto es inconsistente con que la velocidad de la luz sea constante en todos los fotogramas de referencia, ya que si sustituimos c por v′, esta fórmula predice que la velocidad de la luz en el cuadro no cebado es U + c.
Podemos usar la geometría de la figura 5.4 para llegar a la fórmula relativista correcta. Del panel derecho de esta figura inferimos que
\[\frac{v}{c}=\frac{X+\Delta X}{c T+c \Delta T}=\frac{X /(c T)+\Delta X /(c T)}{1+\Delta T / T}\label{5.17}\]
Esto se deduce del hecho de que la pendiente de la línea mundial del objeto en este marco es\(c / v\). La pendiente se calcula como la relación de la subida,\(c(T+\Delta T)\) a la carrera,\(X+\Delta X\).
Desde el panel izquierdo de la figura 5.4 vemos de manera similar que
\[\frac{v^{\prime}}{c}=\frac{X^{\prime}}{c T^{\prime}}\label{5.18}\]
Sin embargo, podemos aplicar nuestros cálculos de contracción de Lorentz y dilatación temporal del capítulo anterior a los triángulos ABD y OAE en el panel derecho. La pendiente de AB se\(U∕c\) debe a que AB es horizontal en el panel izquierdo, entonces\(\mathrm{X}^{\prime}=\Delta \mathrm{X}\left(1-\mathrm{U}^{2} / \mathrm{c}^{2}\right)^{1 / 2}\). De igual manera, la pendiente de OA es\(\mathrm{c} / \mathrm{U}\) ya que OA es vertical en el panel izquierdo, y\(\mathrm{T}^{\prime}=\mathrm{T}\left(1-\mathrm{U}^{2} / \mathrm{c}^{2}\right)^{1 / 2}\). Sustituir estas fórmulas en la ecuación para\(\mathrm{v}^{\prime} / \mathrm{c}\) rendimientos
\[\frac{v^{\prime}}{c}=\frac{\Delta X}{c T}\label{5.19}\]
Nuevamente usando lo que sabemos de los triángulos ABD y OAE, vemos que
\[\frac{U}{c}=\frac{c \Delta T}{\Delta X}=\frac{X}{c T}\label{5.20}\]
Finalmente, calculamos\(\Delta T / T\) notando que
\[\frac{\Delta T}{T}=\frac{\Delta T}{T} \frac{c \Delta X}{c \Delta X}=\left(\frac{c \Delta T}{\Delta X}\right)\left(\frac{\Delta X}{c T}\right)=\frac{U}{c} \frac{v^{\prime}}{c}\label{5.21}\]
Sustituir las ecuaciones (\ ref {5.19}), (\ ref {5.20}) y (\ ref {5.21}) en la ecuación (\ ref {5.17}) y simplificar produce la fórmula de adición de velocidad relativista:
\[v=\frac{U+v^{\prime}}{1+U v^{\prime} / c^{2}} \quad \text { (special relativity) }\label{5.22}\]
Observe cómo se comporta esta ecuación en diversos límites. Si\(\left|U v^{\prime}\right| \ll c^{2}\), el denominador de la ecuación (\ ref {5.22}) es casi la unidad, y la fórmula relativista especial se reduce al caso clásico. Por otro lado, si\(\mathrm{v}^{\prime}=\mathrm{c}\), entonces la ecuación (\ ref {5.22}) se reduce a\(v = c\). Es decir, si el objeto en cuestión se mueve a la velocidad de la luz en un marco de referencia, se mueve a la velocidad de la luz en todos los marcos de referencia, es decir, para todos los valores posibles de\(U\). Así, hemos encontrado una fórmula de adición de velocidad que 1) reduce a la fórmula clásica para bajas velocidades y 2) da los resultados observados para velocidades muy altas también.
La ecuación (\ ref {5.22}) es válida aunque\(\mathrm{v}^{\prime}\) sea negativa, es decir, si el objeto se mueve hacia la derecha con menor rapidez que el marco de referencia cebado, o incluso si se mueve hacia la izquierda en el fotograma no cebado.