7.5: Masa, Momentum y Energía

En esta sección relacionamos las ideas clásicas de masa, impulso y energía con lo que hemos hecho hasta ahora. Históricamente, estas conexiones fueron hechas por primera vez por Max Planck y Louis de Broglie con la ayuda de Albert Einstein. Se invoca la difracción de electrones de Bragg como prueba experimental de las relaciones Planck y de Broglie.

Técnicamente, no necesitamos las ideas de masa, impulso y energía para hacer física; las nociones de número de onda, frecuencia y velocidad de grupo son suficientes para describir y explicar todos los fenómenos observados. Sin embargo, la masa, el impulso y la energía están tan firmemente incrustados en la física que ¡uno no podría hablar con otros físicos sin comprender estas cantidades!

Planck, Einstein y de Broglie

Max Planck fue el primero en desarrollar una teoría explicando la densidad de energía de la radiación electromagnética en una caja a una temperatura fija. Albert Einstein extendió las ideas de Planck postulando que la energía de la radiación electromagnética se cuantifica en trozos llamados fotones. La energía E de un fotón se relaciona con la frecuencia de la radiación electromagnética por la ecuación

\[E=h f=\hbar \omega \quad \text { (Planck-Einstein relation) }\label{7.2}\]

donde\(f\) es la frecuencia rotacional de la onda electromagnética asociada y\(\omega\) es su frecuencia angular. A la constante\(\mathrm{h}=6.63 \times 10^{-34} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}\) se le llama constante de Planck. La constante relacionada también\(\hbar=h / 2 \pi=1.06 \times 10^{-34} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}\) se conoce como la constante de Planck, pero para evitar confusiones con la constante original, generalmente nos referiremos a ella como “h bar”.

Observe que ha aparecido una nueva dimensión física, a saber, la masa, con el kilogramo unitario, abreviado “kg”. El significado físico de la masa es muy parecido a nuestra comprensión intuitiva del concepto, es decir, como una medida de la resistencia de un objeto a que se cambie su velocidad. El significado científico preciso surgirá en breve.

Einstein demostró que la idea de Planck podría ser utilizada para explicar la emisión de electrones que ocurre cuando la luz incide en la superficie de un metal. Esta emisión, que se denomina efecto fotoeléctrico, sólo puede ocurrir cuando los electrones se suministran con cierta energía mínima\(\mathrm{E}_{\mathrm{B}}\) requerida para desprenderlos del metal. El experimento muestra que esta emisión se produce sólo cuando la frecuencia de la luz excede un cierto valor mínimo. Este valor resulta igual\(\omega_{\min }=\mathrm{E}_{\mathrm{B}} / \hbar\), lo que sugiere que los electrones ganan energía al absorber un solo fotón. Si la energía fotónica,\(\hbar \omega\), excede\(\mathrm{E}_{\mathrm{B}}\), entonces se emiten electrones, de lo contrario no lo son. Es mucho más difícil explicar el efecto fotoeléctrico a partir de la teoría clásica de la luz. El valor de\(\mathrm{E}_{\mathrm{B}}\), llamado la energía de unión o función de trabajo, es diferente para diferentes metales.

Louis de Broglie propuso que la relación energía-frecuencia de Planck se extendiera a todo tipo de partículas. Además planteó la hipótesis de que el impulso\(\Pi\) de la partícula y el vector\(\mathbf{k}\) de onda de la onda correspondiente estaban relacionados de manera similar:

\[\boldsymbol{\Pi}=\hbar \mathbf{k} \quad \text { (de Broglie relation) }\label{7.3}\]

Tenga en cuenta que esto también se puede escribir en forma escalar en términos de la longitud de onda como\(\Pi=\mathrm{h} / \lambda\). (Usamos\(\Pi\) en lugar de lo más común\(p\) para el impulso, porque como veremos, hay dos tipos diferentes de momento, uno relacionado con el número de onda, el otro relacionado con la velocidad de una partícula. En muchos casos son iguales, pero hay ciertas situaciones importantes en las que no lo son.)

La hipótesis de De Broglie se inspiró en el hecho de que la frecuencia de onda y el número de onda son componentes del mismo cuatro vectores según la teoría de la relatividad, y por lo tanto están estrechamente relacionados entre sí. Así, si la energía de una partícula está relacionada con la frecuencia de la onda correspondiente, entonces debería haber alguna cantidad similar que esté relacionada correspondientemente con el número de onda. Resulta que el impulso es la cantidad apropiada. El significado físico del ímpetu quedará claro a medida que avancemos.

También encontraremos que la frecuencia de reposo,\(\mu\), de una partícula está relacionada con su masa,\(m\):

\[E_{r e s t} \equiv m c^{2}=\hbar \mu .\label{7.4}\]

A la cantidad\(\mathrm{E}_{\text {rest }}\) se le llama energía de reposo de la partícula.

Desde nuestra perspectiva, la energía, el impulso y la energía de descanso son solo versiones escaladas de frecuencia, vector de onda y frecuencia de reposo, con un factor de escala\(\hbar\). Por lo tanto, podemos definir un cuatro-momento como una versión escalada de la onda de cuatro vectores:

\[\underline{\Pi}=\hbar \underline{k} .\label{7.5}\]

El componente espacial de\(\underline{\Pi}\) es justo\(\Pi\), mientras que la parte como tiempo lo es\(\text { E/c }\).

Planck, Einstein y de Broglie tenían amplios antecedentes en la mecánica clásica, en la que los conceptos de energía, impulso y masa tienen un significado preciso. En este texto no presuponemos tal trasfondo. Quizás la mejor estrategia en este punto es pensar en estas cantidades como versiones escaladas de frecuencia, número de onda y frecuencia de reposo, donde está el factor de escala\(\hbar\). El significado de estas cantidades para la mecánica clásica surgirá poco a poco.

Cantidades de partículas

Ahora recapitulemos lo que sabemos sobre las ondas relativistas, y cómo este conocimiento se traduce en conocimiento sobre la masa, la energía y el impulso de las partículas. En las siguientes ecuaciones, la forma de la izquierda se expresa en términos de onda, es decir, en términos de frecuencia, número de onda y frecuencia de reposo. La forma de la derecha es la ecuación idéntica expresada en términos de energía, impulso y masa. Dado que estas últimas variables son solo formas escaladas de las primeras, las dos formas de cada ecuación son equivalentes.

Comenzamos con la relación de dispersión para las ondas relativistas:

\[\omega^{2}=k^{2} c^{2}+\mu^{2} \quad E^{2}=\Pi^{2} c^{2}+m^{2} c^{4}\label{7.6}\]

Cálculo de la velocidad del grupo,\(\mathrm{u}_{\mathrm{g}}=\mathrm{d} \omega / \mathrm{dk}\), a partir de los rendimientos de relación de dispersión

\[u_{g}=\frac{c^{2} k}{\omega} \quad u_{g}=\frac{c^{2} \Pi}{E}\label{7.7}\]

Estos dos conjuntos de ecuaciones representan lo que sabemos sobre las ondas relativistas, y lo que este conocimiento nos dice sobre las relaciones entre la masa, la energía y el impulso de las partículas relativistas. En caso de duda, refiérase de nuevo a estas ecuaciones, ya que funcionan en todos los casos, ¡incluso para partículas con masa cero!

Es útil dar vuelta a las ecuaciones (\ ref {7.6}) y (\ ref {7.7}) para expresar la frecuencia en función de la frecuencia de reposo y la velocidad de grupo,

\[\omega=\frac{\mu}{\left(1-u_{g}^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}} \quad E=\frac{m c^{2}}{\left(1-u_{g}^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}}\label{7.8}\]

y el número de onda como una función similar de estas cantidades:

\[k=\frac{\mu u_{g} / c^{2}}{\left(1-u_{g}^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}} \quad \Pi=\frac{m u_{g}}{\left(1-u_{g}^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}}\label{7.9}\]

¡Tenga en cuenta que las ecuaciones (\ ref {7.8}) y (\ ref {7.9}) funcionan solo para partículas con masa distinta de cero! Para las partículas de masa cero tanto los numeradores como los denominadores de ecuaciones (\ ref {7.8}) y (\ ref {7.9}) son cero, haciendo que estas ecuaciones sean indefinidas, y es necesario usar ecuaciones (\ ref {7.6}) y (\ ref {7.7}) con\(\mathrm{m}=0 \text { and } \mu=0\) en su lugar.

La cantidad\(\omega-\mu\) indica cuánto excede la frecuencia de reposo. Observe que si\(\omega=\mu\), entonces de la ecuación (\ ref {7.6}) k = 0. Así, los valores positivos de\(\omega_{k} \equiv \omega-\mu\) indican\(|\mathrm{k}|>0\), lo que significa que la partícula se mueve según la ecuación (\ ref {7.7}). Llamemos a\(\omega_{k}\) la frecuencia cinética:

\[\omega_{k}=\left[\frac{1}{\left(1-u_{g}^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}}-1\right] \mu \quad K=\left[\frac{1}{\left(1-u_{g}^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}}-1\right] m c^{2}\label{7.10}\]

Llamamos a K la energía cinética por razones similares. Nuevamente, la ecuación (\ ref {7.10}) solo funciona para partículas con masa distinta de cero. Para partículas de masa cero, la energía cinética es igual a la energía total.

Obsérvese que los resultados de esta sección son válidos únicamente para partículas libres, es decir, partículas a las que no se aplica fuerza alguna. La fuerza en la mecánica clásica y cuántica se trata en el siguiente capítulo.

Límites no relativistas

Cuando la masa es distinta de cero y la velocidad de grupo es mucho menor que la velocidad de la luz, es útil calcular formas aproximadas de las ecuaciones anteriores válidas en este límite. Usando la aproximación\((1+\epsilon)^{X} \approx 1+x \epsilon\), encontramos que la relación de dispersión se convierte

\[\omega=\mu+\frac{k^{2} c^{2}}{2 \mu} \quad E=m c^{2}+\frac{\Pi^{2}}{2 m},\label{7.11}\]

y la ecuación de velocidad de grupo toma la forma aproximada

\[u_{g}=\frac{c^{2} k}{\mu} \quad u_{g}=\frac{\Pi}{m}\label{7.12}\]

Los límites no relativistas para las ecuaciones (\ ref {7.8}) y (\ ref {7.9}) se convierten

\[\omega=\mu+\frac{\mu u_{g}^{2}}{2 c^{2}} \quad E=m c^{2}+\frac{m u_{g}^{2}}{2}\label{7.13}\]

y

\[k=\mu u_{g} / c^{2} \quad \Pi=m u_{g}\label{7.14}\]

mientras que la ecuación de energía cinética aproximada es

\[\omega_{k}=\frac{\mu u_{g}^{2}}{2 c^{2}} \quad K=\frac{m u_{g}^{2}}{2}\label{7.15}\]

Solo un recordatorio — ¡las ecuaciones de esta sección no son válidas para partículas sin masa!

Prueba Experimental

¿Cómo podemos probar las predicciones anteriores contra el experimento? El punto clave es poder relacionar los aspectos de onda con los aspectos de partícula de una partícula de onda mecánica cuántica. La ecuación (\ ref {7.9}), o ecuación (\ ref {7.14}) en el caso no relativista, relaciona el número de onda de una partícula\(k\) con su velocidad\(\mathrm{u}_{\mathrm{g}}\). Ambas cantidades se pueden medir en un experimento de la ley de Bragg con electrones. En este experimento los electrones se disparan a un cristal con dimensiones atómicas conocidas a una velocidad conocida, que identificamos con la velocidad del grupo\(\mathrm{u}_{\mathrm{g}}\). El ángulo de Bragg que produce interferencia constructiva se puede utilizar para calcular la longitud de onda de la onda electrónica correspondiente y, por lo tanto, el número de onda y el momento. Si el momento se grafica contra la velocidad del grupo en el caso no relativista, se debe encontrar una línea recta, cuya pendiente es la masa de la partícula. En el caso completamente relativista se necesita trazar momentum versus\(\mathrm{u}_{\mathrm{g}} /\left(1-\mathrm{u}_{\mathrm{g}}^{2} / \mathrm{c}^{2}\right)^{1 / 2}\). Nuevamente, una línea recta indica concordancia con la teoría y la pendiente de la línea es la masa de la partícula. Este experimento en particular es difícil de hacer, pero las teorías correspondientes lo verifican en muchos otros experimentos.