7.6: Principio de incertidumbre de Heisenberg

Clásicamente, consideramos que la ubicación de una partícula es una pieza de información conocible. En mecánica cuántica la posición de una partícula es bien conocida si el paquete de onda que la representa es de tamaño pequeño. Sin embargo, la mecánica cuántica impone un precio al conocer con precisión la posición de una partícula en términos de la previsibilidad futura de su posición. Esto se debe a que un paquete de ondas pequeñas, que corresponde a un conocimiento preciso de la posición de la partícula correspondiente, implica la superposición de ondas planas correspondientes a una amplia distribución de números de onda. Esto se traduce en una gran incertidumbre en el número de onda, y de ahí el impulso de la partícula. En contraste, un paquete de onda ancha corresponde a una distribución más estrecha de números de onda, y correspondientemente menos incertidumbre en el momento.

Refiriéndose de nuevo a los capítulos 1 y 2, recordemos que tanto las dimensiones longitudinal (a lo largo de la dirección del movimiento) como transversal (normal a la dirección del movimiento) de un paquete de ondas\(\Delta \mathrm{x}_{\mathrm{L}} \text { and } \Delta \mathrm{x}_{\mathrm{T}}\),, pueden estar relacionadas con la propagación de números de onda longitudinales y transversales,\(\Delta \mathrm{k}_{\mathrm{L}} \text { and } \Delta \mathrm{k}_{\mathrm{T}} \text { : }\):

\[\Delta k_{L} \Delta x_{L} \approx 1\label{7.16}\]

\[\Delta k_{T} \Delta x_{T} \approx 1\label{7.17}\]

Hemos omitido constantes numéricas que son de unidad de orden en estas relaciones aproximadas para mostrar su similitud esencial.

Las ecuaciones anteriores se pueden interpretar de la siguiente manera. Dado que el cuadrado absoluto de la función de onda representa la probabilidad de encontrar una partícula,\(\Delta \mathrm{x}_{\mathrm{L}}\) y\(\Delta \mathrm{x}_{\mathrm{T}}\) representa la incertidumbre en la posición de la partícula. Del mismo modo,\(\Delta \mathrm{k}_{\mathrm{L}} \text { and } \Delta \mathrm{k}_{\mathrm{T}}\) representar la incertidumbre en los componentes del vector de onda longitudinal y transversal de la partícula. Esta última incertidumbre conduce a la incertidumbre en el movimiento futuro de la partícula: k longitudinal mayor o menor da como resultado respectivamente una velocidad de partícula mayor o menor, mientras que la incertidumbre en el número de onda transversal da como resultado incertidumbre en la dirección del movimiento de la partícula. Así, las incertidumbres en cualquier componente de k resultan en incertidumbres en el componente correspondiente de la velocidad de la partícula, y por lo tanto en su posición futura.

Las ecuaciones (\ ref {7.16}) y (\ ref {7.17}) muestran que la incertidumbre en las posiciones presente y futura de una partícula son complementarias. Si la posición actual se conoce con precisión debido al pequeño tamaño del paquete de ondas asociado, entonces la posición futura no es muy predecible, porque el paquete de ondas se dispersa rápidamente. Por otro lado, un paquete de onda inicial a gran escala significa que la posición actual es poco conocida, pero la incertidumbre en la posición, pobre como es, no aumenta rápidamente con el tiempo, ya que el paquete de ondas tiene una pequeña incertidumbre en el vector de onda y así se dispersa lentamente. Esta es una declaración del principio de incertidumbre de Heisenberg.

El principio de incertidumbre también se aplica entre la frecuencia y el tiempo:

\[\Delta \omega \Delta t \approx 1\label{7.18}\]

Esto se manifiesta en la ecuación de frecuencia de latido\(1 / \mathrm{T}_{\text {beat }}=\Delta \mathrm{f}=\Delta \omega / 2 \pi\). El periodo de latido\(\mathrm{T}_{\text {beat }}\) puede considerarse como el tamaño de un “paquete de onda en el tiempo”. La ecuación de frecuencia de latido se puede reescribir como\(\Delta \omega \mathrm{T}_{\text {beat }}=2 \pi\), que es lo mismo que la ecuación (\ ref {7.18}) si\(2 \pi\) se ignora el factor de y\(\mathrm{T}_{\text {beat }}\) se identifica con\(\Delta t\).

Las formas anteriores del principio de incertidumbre no son relativisticamente invariantes. Una forma invariante útil se puede obtener transformando al sistema de coordenadas en el que una partícula es estacionaria. En este marco de referencia el tiempo t se convierte en el tiempo apropiado τ asociado a la partícula. Además, la frecuencia ω se convierte en la frecuencia de reposo\(\mu\). El principio de incertidumbre se convierte así

\[\Delta \mu \Delta \tau \approx 1\label{7.19}\]

en este marco de referencia. Sin embargo, dado que\(\Delta \mu \text { and } \Delta \mathrm{T}\) son invariantes relativistas, esta expresión del principio de incertidumbre es válida en cualquier marco de referencia.

Es más común expresar el principio de incertidumbre en términos de masa, impulso y energía multiplicando ecuaciones (\ ref {7.16}) - (\ ref {7.19}) por\(\hbar\). Agrumeando las ecuaciones de impulso, encontramos

\[\Delta \Pi \Delta x \approx \hbar\label{7.20}\]

\[\Delta E \Delta t \approx \hbar\label{7.21}\]

y

\[\Delta\left(m c^{2}\right) \Delta \tau \approx \hbar\label{7.22}\]

La mecánica clásica es el reino de la mecánica cuántica en la que las dimensiones del sistema de interés son mucho mayores que las longitudes de onda de las ondas correspondientes a las partículas que constituyen el sistema. En este caso las incertidumbres inducidas por el principio de incertidumbre no son importantes. Este límite es análogo al límite de óptica geométrica para la luz. Así, podemos decir que la mecánica clásica es el límite de la óptica geométrica de la mecánica cuántica.