9.2: Simetría y Mecánica Cuántica

La idea de simetría juega un papel muy importante en la física. Ya hemos utilizado argumentos de simetría en la teoría de la relatividad —aplicar el principio de relatividad para obtener la relación de dispersión para las ondas relativistas de materia es precisamente un argumento así. En esta sección comenzamos a explorar cómo se puede utilizar la simetría para aumentar nuestra comprensión de la mecánica cuántica.

Partícula

Para nuestro primer ejemplo tomamos el caso de una partícula libre en mecánica cuántica, es decir, una partícula sujeta a ninguna fuerza. La función de onda para una partícula libre de impulso definido\(\Pi\) y energía\(E\) viene dada por

\[\psi=\exp [i(k x-\omega t)]=\exp [i(\Pi x-E t) / \hbar] \quad \text { (free particle) }\label{9.8}\]

Para esta onda funcionan\(|\Psi|^{2}=1\) en todas partes, por lo que la probabilidad de encontrar la partícula en cualquier lugar del espacio y el tiempo es uniforme. Esto contrasta con la distribución de probabilidad que surge si asumimos que una partícula libre tiene la función de onda\(\Psi=\cos [(\Pi \mathrm{x}-\mathrm{Et}) / \hbar]\). En este caso\(|\Psi|^{2}=\cos ^{2}[(\Pi x-E t) / \hbar]\), que varía con la posición y el tiempo, y es inconsistente con una distribución de probabilidad uniforme.

Simetría y definición

La mecánica cuántica es una teoría probabilística, en el sentido de que las predicciones que hace nos dicen, por ejemplo, la probabilidad de encontrar una partícula en algún lugar del espacio. Si no sabemos nada sobre la historia previa de una partícula, y si no hay restricciones físicas que hagan más probable que una partícula esté en un punto a lo largo del eje x que en cualquier otro, entonces la distribución de probabilidad debe ser P (x) = constante.

Este es un ejemplo de un argumento de simetría. Expresado de manera más formal, establece que si se aplican las condiciones anteriores, entonces la distribución de probabilidad debería estar sujeta a la condición P (x + D) = P (x) para cualquier valor constante de D. El único P (x) posible en este caso es P = constante. En el lenguaje de la física, si no hay nada que le dé a la partícula una mayor probabilidad de estar en un punto más que en otro, entonces la probabilidad es independiente de la posición y el sistema es invariante bajo desplazamiento en la dirección x.

El argumento anterior no basta para la mecánica cuántica, ya que como hemos aprendido, la cantidad fundamental que describe una partícula no es la distribución de probabilidad, sino la función de onda\(\Psi(\mathrm{x})\). Por lo tanto, la función de onda más que la distribución de probabilidad debería ser la cantidad que es invariante bajo desplazamiento, es decir,. e\(\psi(x+D)=\Psi(x)\).

Esta condición resulta ser demasiado restrictiva, porque implica que\(\Psi(\mathrm{x})=\text { constant }\), mientras que sabemos que una onda plana unidimensional, que describe una partícula con una probabilidad uniforme de ser encontrada en cualquier parte a lo largo del eje x, tiene la forma\(\psi(\mathrm{x})=\exp (\mathrm{ikx})\). (Por simplicidad ignoramos temporalmente la dependencia del tiempo). Si hacemos la sustitución x → x + D en una onda plana, obtenemos\(\exp [\mathrm{ik}(\mathrm{x}+\mathrm{D})]=\exp (\mathrm{ikx}) \exp (\mathrm{ikD})\). Por lo tanto, la función de onda no es técnicamente invariante bajo desplazamiento, ya que la función de onda desplazada se multiplica por el factor\(\exp (\mathrm{ikD})\). Sin embargo, la distribución de probabilidad de la función de onda desplazada sigue siendo igual a una en todas partes, por lo que no hay cambio en lo que observamos. Así, al determinar la invarianza bajo desplazamiento, se nos permite ignorar los cambios en la función de onda que consisten únicamente en multiplicarla por una constante compleja con un valor absoluto de uno. Tal constante multiplicativa se llama factor de fase.

Es fácil convencerse a sí mismo por ensayo y error o por medios más sofisticados de que la única forma de onda funciona\(\psi(\mathrm{x})\) que satisface la condición\(\Psi(\mathrm{x}+\mathrm{D})=\Psi(\mathrm{x}) \times(\text { phase factor }) \text { is } \psi(\mathrm{x})=\mathrm{A} \exp (\mathrm{ikx})\) donde A es una constante (posiblemente compleja). Esto es solo en forma de una onda plana exponencial compleja con número de onda\(k\). Así, no sólo la función de onda exponencial compleja es invariante bajo desplazamientos de la manera definida anteriormente, sino que es la única función de onda que es invariante a los desplazamientos. Además, el factor de fase que aparece para un desplazamiento D de tal onda plana toma la forma\(\exp (\mathrm{i} \mathrm{C})=\exp (\mathrm{ikD})\), donde k es el número de onda de la onda plana.

Como experimento, veamos si un paquete de ondas es invariante bajo desplazamiento. Definamos un paquete de ondas que consta de dos ondas planas:

\[\psi(x)=\exp \left(i k_{1} x\right)+\exp \left(i k_{2} x\right)\label{9.9}\]

Hacer la sustitución\(x \rightarrow x+D\) en este caso da como resultado

\ [\ begin {ecuación}
\ begin {alineada}
\ psi (x+d) &=\ exp\ izquierda [i k_ {1} (x+D)\ derecha] +\ exp\ izquierda [i k_ {2} (x+d)\ derecha]\\
&=\ exp\ izquierda (i k_ {1} x\ derecha)\ exp\ izquierda (i k_ {1} D\ derecha) +\ exp\ izquierda (i k_ {2} x\ derecha)\ exp\ izquierda (i k_ {2} D\ derecha)\\
&\ neq\ izquierda [\ exp\ izquierda (i k_ {1} x\ derecha) +\ exp\ izquierda (i k_ {2} x\ derecha)\ derecha]\ veces (\ texto {factor de fase})
\ final {alineado}
\ final {ecuación}\ etiqueta {9.10}\]

La imposibilidad de escribir\(\psi(x+D)=\psi(x) \times(\text { phase factor })\) da plausibilidad a la afirmación de que un único exponencial complejo es la única forma posible de la función de onda que es invariante bajo desplazamiento.

Observe que el paquete de ondas no tiene número de onda definido, y por lo tanto, impulso. En particular, el paquete de ondas es una suma de exponenciales complejos con números de onda k ₁ y k ₂, lo que significa que la partícula asociada puede tener cualquier impulso\(\Pi_{1}=\hbar \mathrm{k}_{1} \text { or } \Pi_{2}=\hbar \mathrm{k}_{2}\). Esto tiene sentido desde el punto de vista del principio de incertidumbre —para una sola onda plana la incertidumbre en la posición es completa y la incertidumbre en el impulso es cero. Para un paquete de onda se reduce la incertidumbre en la posición y la incertidumbre en el impulso es distinta de cero. Como hemos visto, esta idea se puede llevar más allá: Un valor definido de impulso debe asociarse a una distribución de probabilidad completamente indefinida en posición, es decir, con P = constante. Esto corresponde a una función de onda que tiene la forma de una onda plana exponencial compleja. Sin embargo, dicha onda plana es invariante bajo desplazamiento D, excepto por el factor de fase multiplicativo\(\text { exp(ikD), }\), el cual no tiene consecuencias físicas ya que desaparece cuando se obtiene la distribución de probabilidad. Así, vemos que la invarianza bajo desplazamiento de la función de onda y un valor definido del impulso están ligadas, en que cada una implica la otra:

\[\text { invariance under displacement } \Longleftrightarrow \text { definite momentum }\label{9.11}\]

La idea de energía potencial se introdujo en el capítulo anterior. En particular, encontramos que si la energía total es constante, entonces el impulso no puede ser constante en presencia de energía potencial espacialmente variable. Esto significa que el número de onda, y por lo tanto la longitud de onda de las oscilaciones en la función de onda también varían con la posición. La falta de homogeneidad espacial de la energía potencial da lugar a una inhomogeneidad espacial en la función de onda y, por lo tanto, a un impulso indefinido.

El argumento anterior se puede extender a otras variables además del momentum. En particular dado que la dependencia temporal de una onda plana exponencial compleja es\(\exp (-i \omega t)=\exp (-\mathrm{iEt} / \hbar)\), donde E es la energía total, tenemos por analogía con el argumento anterior que

\[\text { invariance under time shift } \Longleftrightarrow \text { definite energy }\label{9.12}\]

Así, la invarianza de la función de onda bajo un desplazamiento en el tiempo implica un valor definido de la energía de la partícula asociada.

En el capítulo anterior asumimos que la frecuencia (y por lo tanto la energía) era definida y constante para una partícula que pasaba por una región de energía potencial variable. Ahora vemos que esta suposición sólo se justifica si la energía potencial no cambia con el tiempo. Esto se debe a que una energía potencial variable en el tiempo elimina la posibilidad de invarianza bajo el cambio de tiempo.

Invarianza

Hemos visto algunos ejemplos de invarianza en la mecánica cuántica. Ahora es el momento de definir este concepto con mayor precisión. Se dice que una función de onda mecánica cuántica es invariante bajo alguna transformación si la función de onda transformada es observacionalmente indistinguible de la original.

En los ejemplos anteriores, la transformación se logra reemplazando x por\(x+D\) en el caso de desplazamiento en el espacio y de manera similar reemplazando t por\(\mathrm{t}+\mathrm{T}\) para desplazamiento en el tiempo. No obstante, la idea de una transformación es mucho más general; se discutirán otros ejemplos a medida que vayan surgiendo.

La idea de “observacionalmente indistinguible” puede ser complicada. Por ejemplo, si alguna transformación da como resultado una función de onda nueva que es la función de onda antigua multiplicada por un factor de fase constante, entonces la función de nueva onda es observacionalmente indistinguible de la anterior. Esto se debe a que las mediciones físicas capturan diferencias de fase entre diferentes partes de las funciones de onda (piense en cómo funcionan los interferómetros), pero no fases absolutas. El factor de fase constante desaparece en este cálculo de diferencia. Sin embargo, si el factor de fase multiplicativo creado por alguna transformación es una función de la posición, entonces la diferencia de fase entre diferentes partes de una función de onda cambia como resultado de la transformación. La función de onda no es invariante bajo esta transformación.

Variables compatibles

Ya sabemos que los valores definidos de ciertos pares de variables no se pueden obtener simultáneamente en la mecánica cuántica. Por ejemplo, la indefinición de la posición y el impulso están relacionados por el principio de incertidumbre —un valor definido de posición implica un valor indefinido del impulso y viceversa. Si se pueden obtener simultáneamente valores definidos de dos variables, entonces llamamos a estas variables compatibles. Si no, las variables son incompatibles.

Si la función de onda de una partícula es invariante bajo los desplazamientos asociados a ambas variables, entonces las variables son compatibles. Por ejemplo, la onda plana exponencial compleja asociada a una partícula libre es invariante bajo desplazamientos tanto en el espacio como en el tiempo. Dado que el impulso está asociado con los desplazamientos espaciales y la energía con los desplazamientos temporales, el impulso y la energía son variables compatibles para una partícula libre.

Compatibilidad y Conservación

Las variables compatibles con la energía tienen un estatus especial. La función de onda que corresponde a un valor definido de tal variable es invariante a los desplazamientos en el tiempo. En otras palabras, la función de onda no cambia bajo este desplazamiento excepto por un factor de fase trivial. Así, si la función de onda también es invariante a alguna otra transformación en un momento determinado, es invariante a esa transformación para siempre. Por lo tanto, la variable asociada a esa transformación conserva su valor definido para siempre, es decir, se conserva.

Por ejemplo, la onda plana implica un valor definido de energía, y por lo tanto es invariante bajo desplazamientos temporales. En el tiempo t = 0, también es invariante bajo x desplazamientos, lo que corresponde a que representa una partícula con un valor conocido de impulso. Sin embargo, dado que el impulso y la energía son compatibles para una partícula libre, la función de onda representará el mismo valor de impulso en todos los demás momentos. En otras palabras, si el impulso es definido en t = 0, será definido en todo momento posterior, y además tendrá el mismo valor. Es así como la conservación del impulso (y por extensión, la conservación de cualquier otra variable compatible con la energía) se expresa en la mecánica cuántica.

Simetrías y Variables

En la física cuántica moderna, el descubrimiento de nuevas simetrías conduce a nuevas variables dinámicas. En los problemas mostramos cómo se produce eso para las simetrías de paridad\((x \rightarrow-x)\)\(\mathrm{t} \rightarrow-\mathrm{t})\), inversión de tiempo y conjugación de carga (el intercambio de partículas con antipartículas). Uno de los ejemplos clave de esto fue el desarrollo de la teoría quark de la materia, que vino de la observación de que el intercambio de ciertos grupos de partículas elementales dejó el universo aproximadamente sin cambios, lo que significa que el universo era (aproximadamente) simétrico bajo estos intercambios.