12.4: Soluciones Exponenciales Complejas

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Las funciones exponenciales complejas de la forma\(\mathrm{x}=\exp (\pm \mathrm{i} \omega \mathrm{t})\) también constituyen soluciones al oscilador armónico libre gobernado por la ecuación (12.2.1). Esto tiene sentido, ya que el exponencial complejo es la suma de senos y cosenos. Sin embargo, para el oscilador armónico sin fricción, las soluciones exponenciales no proporcionan ninguna ventaja particular sobre los senos y los cosenos. Además, los desplazamientos de osciladores son reales, no cantidades complejas.

El principio de superposición resuelve el problema de las soluciones complejas frente a las reales. Para una ecuación como (12.2.1) que tiene coeficientes reales, si\(\exp (i \omega t)\) es una solución, entonces así es\(\exp (-\mathrm{i} \omega \mathrm{t})\), entonces la superposición de estas dos soluciones también es una solución. Además

\[\exp (i \omega t)+\exp (-i \omega t)=2 \cos (\omega t)=2 \operatorname{Re}[\exp (i \omega t)]\label{12.13}\]

Esto muestra un atajo para obtener la parte física de una solución exponencial compleja a ecuaciones como la ecuación del oscilador armónico; simplemente tomar la parte real.

Las soluciones exponenciales complejas se hacen propias para ecuaciones más complicadas. Por ejemplo, supongamos que la fuerza sobre la masa en el sistema masa-resorte toma la forma

\[F=-k x-b \frac{d x}{d t}\label{12.14}\]

El término que contiene b representa un efecto de amortiguación por fricción en el oscilador armónico y la ecuación diferencial gobernante se convierte en

\[\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\frac{b}{M} \frac{d x}{d t}+\frac{k}{M} x=0\label{12.15}\]

Probar la función exponencial\(\exp (\sigma t)\) en esta ecuación da como resultado

\[\sigma=\frac{1}{2}\left[-\frac{b}{M} \pm\left(\frac{b^{2}}{M^{2}}-\frac{4 k}{M}\right)^{1 / 2}\right]=-\beta \pm i\left(\omega_{0}^{2}-\beta^{2}\right)^{1 / 2}\label{12.16}\]

donde hemos establecido

\[\beta=\frac{b}{2 M} \quad \omega_{0}=\left(\frac{k}{M}\right)^{1 / 2}\label{12.17}\]

La cantidad\(\omega \equiv\left(\omega_{0}^{2}-\beta^{2}\right)^{1 / 2}\) es la frecuencia real de oscilación del oscilador amortiguado, que se puede ver es menor que la frecuencia de oscilación ω ₀ que ocurre con la amortiguación apagada. La solución física para el oscilador amortiguado es así

\[x(t)=\operatorname{Re}[\exp (\sigma t)]=\operatorname{Re}[\exp (i \omega t) \exp (-\beta t)]=\cos (\omega t) \exp (-\beta t)\label{12.18}\]

siempre y cuando\(\omega_{0}^{2}>\beta^{2}\). Observe que esta solución está en la forma de una oscilación\(\cos (\omega t)\) multiplicada por una exponencial en decadencia\(\exp (-\beta t)\). Esto confirma que el\(b\) término disminuye la amplitud de la oscilación con el tiempo.