2.5: Procesos adiabáticos - El camino de menor resistencia

Proceso adiabático

Hasta el momento, hemos cubierto procesos de volumen constante (isocóricos) y presión constante (isobáricos). Hay un tercer proceso que es muy importante en la atmósfera: el proceso adiabático. Adiabático significa que no hay intercambio de energía entre la parcela aérea y su entorno: Q = 0. Nota: adiabático no es lo mismo que isotérmico.

Considera la Ley de Gas Ideal:

\ [
p v=n R^ {*} T
\]

Si una parcela aérea sube, la presión cambia, pero ¿cómo cambia la temperatura? Tenga en cuenta que el volumen puede cambiar así como la presión y la temperatura, y así, si especificamos un cambio de presión, no podemos encontrar el cambio de temperatura a menos que sepamos cómo cambió el volumen. Sin alguna otra ecuación, no podemos decir cuánto subirá la temperatura por un cambio de presión.

Cambios de volumen y temperatura a medida que una parcela aérea asciende y disminuye la presión. Crédito: W. Brune, después de Lamb y Verlinde

Sin embargo, podemos utilizar la Primera Ley de Termodinámica para relacionar los cambios de temperatura con los cambios de presión y volumen para procesos adiabáticos.

Derivación de las relaciones de Poisson

No espero que puedas hacer esta derivación, pero debes pasar por ella para asegurarte de entender todos los pasos como una forma de seguir mejorando tus habilidades matemáticas. Comience con la siguiente forma específica de la ^1ª Ley para el aire seco:

\ [
q=c_ {p}\ frac {d T} {d t} -\ alfa\ frac {d p} {d t}
\]

\ [
q=0=c_ {p}\ frac {d T} {d t} -\ alfa\ frac {d p} {d t}
\]

Divida ambos lados por\(T\) y tenga en cuenta que Esta ecuación no se está renderizando correctamente debido a un navegador incompatible. Consulte Requisitos Técnicos en la Orientación para obtener una lista de navegadores compatibles. (\(α\)se llama el volumen específico):

\ [
\ frac {c_ {p}} {T}\ frac {d T} {d t} -\ frac {R_ {d} T} {p T}\ frac {d p} {d t} =0=\ frac {c_ {p}} {T}\ frac {d T} {d t} -\ frac {R_ {d}} {p}\ frac {d p} {d t} =c_ {p}\ frac {d\ ln (T)} {d t} -R_ {d}\ frac {d\ ln (p)} {d t}
\]

donde nos dimos cuenta de que los dos términos eran solo derivados del registro natural de\(T\) y\(p\).

\ [
\ frac {d} {d t}\ izquierda (c_ {p}\ ln (T) -R_ {d}\ ln (p)\ derecha) =0
\]

Pero d/dt = 0 solo significa que el valor es constante:

\ [
\ izquierda (c_ {p}\ ln (T) -R_ {d}\ ln (p)\ derecha) =\ texto {constante}
\]

Dividir por c _p:

\ [
\ ln (T) -\ frac {R_ {d}} {c_ {p}}\ ln (p) =\ ln (T) +\ ln\ izquierda (p^ {\ izquierda (-R_ {d}/c_ {p}\ derecha)}\ derecha) =\ ln\ izquierda (T p^ {\ izquierda (-R_ {d}/c_ {p} derecha\)}\ derecha) =\ texto {constante}
\]

Si el logaritmo natural de una variable es constante entonces la variable misma debe ser constante:

\ [
T p^ {\ izquierda (-R_ {d}/c_ {p}\ derecha)} =\ texto {constante}
\]

Podemos reescribir R _d /c _p como un nuevo término denotado por la letra griega gamma,\(γ\)

\ [
\ gamma\ equiv\ frac {c_ {p}} {c_ {v}} =\ frac {c_ {v} +R_ {d}} {c_ {v}} =1.4
\]\ [
\ frac {R_ {d}} {c_ {p}} =\ frac {\ gamma-1} {\ gamma} =0.286
\]

Podemos usar la Ley del Gas Ideal para obtener relaciones entre p, V y T, llamadas Relaciones de Poisson:

\ [
T p^ {\ izquierda (-R_ {d}/\ sigma_ {p}\ derecha)} =T p^ {((1-n)/r)} =\ texto {constante}
\]

\ [
\ alpha^ {\ gamma} p=\ texto {constante}
\]

\ [
T\ alfa^ {\ gamma-1} =\ texto {constante}
\]

Temperatura Potencial

La Relación de Poisson que más utilizamos es la relación de presión y temperatura porque estas son dos variables que podemos medir fácilmente sin tener que definir un volumen de aire:

\[\frac{T}{\theta}=\left(\frac{p}{p_{o}}\right)^{\left(-R_{d} / c_{p}\right)}\]

o

\[\theta=T\left(\frac{p_{o}}{p}\right)^{R_{d} / c_{p}}=T\left(\frac{1000}{p}\right)^{0.286}\]

Llamamos θ la temperatura potencial, que es la temperatura que tendría una parcela aérea si el aire se lleva a una presión de p _o = 1000 hPa. La temperatura potencial es una de las cantidades termodinámicas más importantes en meteorología.

Los procesos adiabáticos son comunes en la atmósfera, especialmente en la atmósfera seca. Además, los procesos adiabáticos suelen ser los mismos que los procesos isentrópicos (sin cambios en la entropía).

Ejercicio

El aire que viene sobre las tierras altas de Laurel desciende de unos 700 m (p ~ 932 hPa) a 300 m (p ~ 977 hPa) en State College. Supongamos que la temperatura en las Tierras Altas Laurel es de 20 ^o C. ¿Cuál es la temperatura en State College?

Haga clic para obtener la respuesta.

Podemos encontrar la temperatura en State College debido únicamente a cambios adiabáticos por la siguiente ecuación:

\(T_{700} p_{700}-0.286=T_{300} p_{300}-0.286\)
\(T_{300=} T_{700}\left(\frac{p_{300}}{p_{700}}\right)^{0.286}=(273+20)\left(\frac{977}{932}\right)^{0.286}=297 K=24 C\)

Este cambio de temperatura es de 4 ^o C, o 7 ^o F solo por compresión adiabática.

Podemos trazar superficies adiabáticas (isentrópicas) en la atmósfera. Una parcela aérea no necesita energía para moverse a lo largo de una superficie adiabática. Además, se necesita energía para que una parcela aérea se mueva de la superficie potencial a otra superficie de energía potencial.

Temperatura potencial (líneas continuas, K) en función de la latitud y altitud. Obsérvese que la disminución de la temperatura potencial con la altura es pequeña en la troposfera y grande en la estratosfera. Crédito: W. Brune, después de Andews, Holton y Leovy

Ejercicio

Supongamos que una parcela aérea tiene p = 300 hPa y T = 230 K. ¿Cuánto calentamiento por unidad de volumen de aire seco se necesitaría para aumentar la temperatura potencial en 10 K?

Haga clic para obtener la respuesta.

El calentamiento eleva la temperatura, y la cantidad de calentamiento requerida depende de la capacidad calorífica, presión constante, que depende de la masa de aire, o la densidad por el volumen. Hagamos el cálculo para un volumen de aire; de esa manera podemos usar la densidad.

Primero necesitamos encontrar el aumento de temperatura que sea lo mismo que un aumento potencial de temperatura de 10 K a una presión de 300 hPa.

\(d \theta=d T\left(\frac{1000}{p}\right)^{0.286} \quad d T=10\left(\frac{300}{1000}\right)^{0.286}=7.1 K\)

Entonces necesitamos encontrar la densidad para que podamos calcular la capacidad calorífica:

\(\rho=\frac{p}{R_{d} T}=\frac{3 \times 10^{4}}{287 \cdot 230}=0.45 \mathrm{kg} m^{-3}\)

Ahora podemos juntarlo todo:

\(\frac{Q \Delta t}{V}=\frac{\rho \cdot V \cdot c_{p} \cdot \Delta T}{V} \Rightarrow \frac{Q \Delta t}{V}=\rho \cdot c_{p} \cdot \Delta T=0.45 \cdot 1005 \cdot 7.1=3.2 x 10^{3} J m^{-3}\)

Tenga en cuenta que se nos pidió que proporcionáramos el calentamiento total por unidad de volumen, que es solo el tiempo de la velocidad de calentamiento dividido por el volumen de la unidad. Entonces la cantidad de la izquierda es lo que queremos. ¿Esta calefacción es grande? ¡Sí! Por lo que se necesita mucho calentamiento o enfriamiento el subir o bajar una temperatura potencial de paquete de aire solo 10 K.

Tasa de Lapso Adiabático Seco

El cambio de temperatura con el cambio en la presión (y por lo tanto el cambio de altitud) es una de las principales razones del clima. Para el aire seco, el efecto principal es la flotabilidad. Entonces, debido a que el cambio de presión generalmente sigue la ecuación hidrostática, el cambio de altura se traduce en un cambio en la presión que se traduce en un cambio de temperatura debido a la expansión adiabática. Tenga en cuenta que a medida que la parcela aérea sube, su presión se ajusta rápidamente a la presión del aire circundante. Así podemos determinar la tasa de lapso adiabático seco comenzando con la relación de Poisson entre presión y temperatura:

\[T p^{\left(^{-R_{d}} / c_{p}\right)}= constant\]

Toma la derivada w.r.t. z:

\[\frac{d T}{d z} p^{\left(-R_{d} / c_{p}\right)}+T\left(-R_{d} / c_{p}\right) p^{\left(-R_{d} / c_{p}\right)-1} \frac{d p}{d z}=\frac{d T}{d z}+T\left(-R_{d} / c_{p}\right) p^{-1} \frac{d p}{d z}=0\]

Pero también sabemos por la ecuación hidrostática que:

\[\frac{d p}{d z}=-\rho g\]

Sustituyendo — ρg por dp/dz en la ecuación y reordenando los términos:

\[\frac{d T}{d z}=T\left(^{-R_{d}} / c_{p}\right) p^{-1} \rho g=-T\left(R_{d} / c_{p}\right) p^{-1} g\left(\frac{p}{R_{d} T}\right)\]

\[-\frac{d T}{d z} \equiv \Gamma_{d}=\frac{g}{c_{p}}=\frac{9.8 \frac{m}{s}}{1005 J k g^{-1} K^{-1}}=9.8 K k m^{-1}\]

\(Γ_d\)se llama tasa de lapso adiabático seco. Tenga en cuenta que la temperatura disminuye con la altura, pero la tasa de lapso adiabático seco se define como positiva.

Ejercicio

El aire que viene sobre las tierras altas de Laurel desciende de unos 700 m a 300 m en State College. Supongamos que la temperatura en las Tierras Altas Laurel es de 20 ^o C. ¿Cuál es la temperatura en State College?

Haga clic para obtener la respuesta.

Podemos encontrar la temperatura en State College debido solo a cambios adiabáticos usando la tasa de lapso adiabático seco multiplicada por el cambio de altura:

\(d T=-\Gamma_{d}(300-700)=9.8 K k m^{-1} \cdot 0.4=4^{\circ} C\)

Este cambio de temperatura es de 4.0 ^o C, o 7 ^o F solo por compresión adiabática. Esta respuesta es muy similar a la respuesta que obtuvimos usando el cambio en la temperatura potencial.