8.2: Es por ello que los derivados parciales son tan fáciles...

En tu primera clase de cálculo aprendiste sobre derivados. Supongamos que tenemos una función f que es una función de x, que podemos escribir como f (x). ¿Cuál es la derivada de f con respecto a x?

\[\dfrac{d f(x)}{d x}\]

¿Qué pasa con una nueva función que depende de dos variables, h (x, y)? Esta función podría, por ejemplo, dar la altura h del terreno montañoso para cada punto horizontal (x, y). Entonces, ¿cuál es la derivada de h con respecto a x? Una forma en que determinamos esta derivada es fijar el valor de y = y ₁, que es lo mismo que asumir que y es una constante, y luego tomar la derivada ordinaria de h con respecto a x. En cierto sentido, estamos tomando una rebanada a través de la montaña en la dirección x a un valor fijo de y = y ₁. Así,

\[\left(\frac{d h}{d x}\right)_{y=\text { constant }} \equiv \frac{\partial h}{\partial x}\]

A esto se le llama la derivada parcial de h con respecto a x. Es bastante fácil de determinar porque no necesitamos preocuparnos por cómo y podría depender de x.

Ejercicio

Vamos\(h=(x-3)^{2} \cos (y)\). ¿Cuál es la derivada parcial de h con respecto a x?

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\[\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial\left((x-3)^{2} \cos (y)\right)}{\partial x}=2(x-3) \cos (y) \nonumber\]

También podemos encontrar la derivada parcial de h con respecto a y. ¿Puedes hacer esto?

Haga clic para responder

\[\frac{\partial h}{\partial y}=\frac{\partial\left((x-3)^{2} \cos (y)\right)}{\partial y}=-(x-3)^{2} \sin (y) \nonumber\]

Por lo que puedes ver que el h/xh/x puede ser diferente para cada valor de y y h/y puede ser diferente para cada valor de x. Así, aunque no estés del todo familiarizado con las derivadas parciales y su notación, puedes ver que no son diferentes de las derivadas ordinarias sino que tomas la derivada por solo de una variable a la vez.

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Derivadas parciales

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¡Hola a todos! ¡Bienvenido de nuevo! Hoy vamos a estar haciendo algunos problemas Derivados Parciales. El primero que vamos a hacer es f de (x, y, z) es igual a x al cuadrado veces y cubos veces z a los cuatro, y todo lo que significa derivadas parciales es que vamos a estar tomando la derivada por cada variable en el problema. Entonces, como hay tres variables, en realidad vamos a tener que tomar la derivada tres veces, una vez por cada variable, y va a ser una ecuación separada cuatro cada una. Entonces iremos en orden. El primero que veremos es x y la notación para derivada parcial se ve así. Esta extraña cosa squiggly f, la cosa extraña squiggly x, así que f, se obtiene de aquí, entonces esto es, ya sabes, h de (x, y, z) entonces esto se convierte en una h y luego x es la primera variable que vamos a hacer... vamos a hacer. Entonces, vamos a seguir adelante y decir... ahora, cuando estamos tomando y... y cuando... cuando tomamos la derivada parcial aquí con x, decimos que estamos tomando la derivada parcial con respecto a x, así es como la gente la llama, entonces tomaremos la derivada parcial con respecto a y luego con respecto a z. Entonces, mirando x, la forma en que tomamos la derivada parcial con respecto a x sin dejar de tener estas otras variables en la ecuación es que tratamos a las otras variables como si fueran constantes. Y, lo que me gusta hacer, y obtienes... vas a llegar cada vez más rápido en tu cabeza, pero la forma en que me gusta hacerlo solo para que sea realmente obvio porque a veces es difícil entender cómo mantener esas constantes especialmente cuando... cuando estás empezando por primera vez, me gusta poner realmente una constante en ahí para esos números y luego simplificar la ecuación y luego tomar la derivada parcial para que pueda verla. Entonces... entonces, lo que haría aquí, por ejemplo, estamos hablando de mantener constantes y y z, como si fueran un número constante como dos o tres, así que sigamos adelante y pongamos dos en para... para... para y z aquí. Si lo hiciéramos, tendríamos... habríamos x cuadriculado por dos veces dos al cuarto, bien, porque nosotros... enchufamos dos para y y para z. ¿Bien? Entonces, como estamos manteniendo esto constante, así es como la ecuación simplificaría. Entonces si... si tú... si multiplicas esto, veamos, esto en realidad sería x cuadrado por ocho y esto sería por dieciséis, entonces esto sería ochenta y cuarenta y ocho, así que esto sería x cuadrado por ciento veintiocho, cierto, si simplificas eso. Entonces, qué sería si nosotros... si estuviéramos tomando la derivada de esto normalmente, estaríamos mirando ciento veintiocho x al cuadrado. Tomaríamos la derivada de esto y si multiplicaríamos dos veces el coeficiente que es ciento veintiocho así que eso sería, ¿qué? Doscientos cincuenta y seis, entonces la derivada de esto sería doscientos cincuenta y seis x, ¿verdad? Entonces, lo que espero que puedas ver de esto es que es... es... es exactamente lo mismo. Vamos a mantener constantes estas dos cosas y van a ser como un coeficiente y... y esto doscientos cincuenta y seis se queda. Entonces, esto en realidad va a ser un... Sigamos adelante y escribamos la respuesta y luego las compararemos. Vas a multiplicar estos dos por delante aquí así que van a ser dos x y luego y cubos z a los cuatro. Esa va a ser la respuesta para la derivada parcial y yo que puedes ver la relación aquí. Multiplicamos los dos en la x al cuadrado afuera de frente tal como lo hicimos aquí, nosotros... sacamos estos dos al frente, y terminamos con una sola x igual que terminamos con una sola x aquí y dejamos y en cubos y z a la cuarta porque fueron absorbidos en el coeficiente aquí. Son como... porque son constantes y se multiplican juntas, son parte del coeficiente, son como parte de estos dos por lo que... por eso... por eso se quedan en... en esta ecuación. Sigamos adelante y hagámoslo para que veamos en otro ejemplo y ojalá empecemos a entender. Entonces, cuando nosotros... cuando tomamos la derivada parcial con respecto a y como cabría esperar, va a ser una derivada parcial de f con respecto a y, tal como hicimos para x aquí. Entonces ahora, con y, en realidad vamos a estar sosteniendo... Oh, espero que no puedan oír ese camión de bomberos. Entonces con... con y, vamos a estar manteniendo constantes x y z así van a ser como el coeficiente también, podrías enchufar números para ellos y... y pasar por el mismo ejercicio. Pero, son como el coeficiente así que van a quedar exactamente igual porque están... se multiplican aquí con la y así que ni siquiera los vamos a tocar. Recuerda, no tocamos y cubos, no tocamos z a la cuarta así que x y z, esta vez, se van a quedar también. Entonces, todo lo que realmente estamos viendo es... es la y y vamos a... vamos a hacer lo mismo que hicimos con x, tomar la derivada de y Entonces vamos a sacar esos tres al frente y luego y al cuadrado, a la derecha, tres y al cuadrado es el derivado de y en cubos. Entonces tomamos la derivada y luego la x al cuadrado y la z a la cuarta apenas se van a quedar. Entonces, esa es la derivada con respecto a y. dejé el espacio porque cuando tomas la... la derivada parcial, siempre te gusta mantener las variables en orden alfabético. Entonces, podría haber escrito tres y cuadrado x cuadrado z al cuarto pero nos gusta mantenerlos siempre x, y, z en orden. Entonces, vamos a seguir adelante y... y hacer lo mismo aquí para z. Así que va a ser la derivada parcial de f con respecto a z y vamos a seguir adelante y dejar x al cuadrado e y en cubos. No los estamos tocando porque son como parte del coeficiente, se quedan. Entonces vamos a seguir adelante y decir x al cuadrado y al cubo y luego nosotros... tomamos la derivada de z aquí. Entonces el derivado... Por supuesto, restamos uno al exponente, así que cuatro menos uno son tres y los cuatro se multiplican al frente así que sale aquí. Entonces nuestra respuesta con respecto a z es en realidad cuatro x al cuadrado y en cubos z en cubos. Y, su respuesta final es... es una respuesta de tres partes si se le pide que tome la... la... la derivada de esta función o la derivada parcial. Debido a que hay tres variables, necesitas cada una de estas ecuaciones y te gustaría anotar las tres en la tarea o en tu prueba porque... porque tu respuesta es en realidad las tres. Entonces, ahí lo tienes.