8.3: ¡Lo que no sabes de vectores puede sorprenderte!

Recuerda que un escalar solo tiene una magnitud mientras que un vector tiene tanto una magnitud como una dirección. El siguiente video (12:33) deja clara esta diferencia.

Escalares y Vectores

Haga clic aquí para ver la transcripción del video Escalares y Vectores.

Hola soy el señor Andersen y ahora mismo estoy jugando a Angry Birds. Angry Birds es un videojuego donde puedes lanzar Angry Birds a estos personajes tipo cerdo. A mí me gusta por dos razones. El número uno es adictivo, pero el número dos se ocupa de la física y muchos de mis juegos favoritos tratan de la física. Entonces vayamos al nivel dos. Y entonces, de lo que voy a hablar hoy son vectores y escalares, y vectores y escalares son formas en que medimos cantidades en física. Angry Birds sería un juego realmente aburrido si solo uso escalares porque si solo uso escalares ingresaría la velocidad del pájaro y luego simplemente lo dejaría ir, y sería aburrido porque no podría variar la dirección. Y así Angry Birds puedo variar la dirección y dejarme tratar de saltarme esto de... agradable. Puedo intentar saltarlo y matar suficientes de estos cerdos a la vez. Ahora podría jugar esto durante los 10 minutos completos pero eso probablemente sería una pérdida de tiempo. Entonces, lo que quiero hacer es hablar de escalares y cantidades vectoriales. Cantidades escalares y vectoriales Quería comenzar con ellas al principio de la física porque a veces obtenemos dos vectores y la gente se confunde y no entiende de dónde vienen. Entonces, tenemos cantidades que medimos en ciencia especialmente en física y le damos números y unidades a esas, pero vienen en dos tipos diferentes y esas son escalares y vectoriales. Para hablar de la diferencia entre los dos, una cantidad escalar va a ser una cantidad donde solo medimos la magnitud, y así un ejemplo de una cantidad escalar podría ser la velocidad. Entonces cuando mides la velocidad de algo y yo digo qué tan rápido va tu auto, podrías decir que mi auto va 109 millas por hora. O bien, si eres profesor de física podrías decir que mi moto va, no sé como nueve puntos seis metros por segundo, y así esto va a ser la velocidad y la razón por la que es una cantidad escalar es que simplemente me da una magnitud. Qué rápido, qué tan lejos, qué tan grande, qué rápido. Todas esas cosas son cantidades escalares. Lo que falta en una cantidad escalar es dirección, y así las cantidades vectoriales te van a decir no solo la magnitud, sino que también te van a decir en qué dirección está esa magnitud. Entonces, déjame usar un color diferente tal vez. Ejemplo de una cantidad vectorial sería la velocidad, y así en la ciencia es muy importante que hagamos esta distinción entre velocidad y velocidad. La velocidad es lo rápido que va algo, pero la velocidad también va a contener la dirección. En otras palabras, podría decir que mi bicicleta va 9.08 m/s Oeste. O bien, podría decir que esta pluma está siendo lanzada con una velocidad inicial de dos puntos ocho metros por segundo hacia arriba o en el positivo. Y así, una vez que añadimos dirección a una cantidad ahora tenemos un vector. Ahora podrías pensar para ti mismo que eso es un poco quisquilloso. ¿Por qué nos importa en qué dirección estaban fluyendo eso y tengo una demostración que como que te mostrará la importancia de eso, pero un buen ejemplo sería la aceleración? Entonces, ¿qué es la aceleración? La aceleración es simplemente el cambio de velocidad a lo largo del tiempo y así la aceleración va a ser el cambio de velocidad con el tiempo. y así podría hacerte una pregunta como esta. digamos que un auto está conduciendo por una carretera y va 23 metros por segundo y se queda a 23 metros por segundo. ¿Se está acelerando? Y dirías que no por supuesto que no lo es. Digamos que da la vuelta de una esquina y durante ese movimiento a la vuelta de la esquina se queda a 23 millas por hora. Bueno, ¿qué pasaría con la cantidad escalar de velocidad a la vuelta de la esquina? Seguirían siendo 23 metros por segundo, y así si estás usando cantidades escalares tendríamos que decir que no está acelerando, pero como la velocidad es un vector si vas 23 millas por hora y vas a la vuelta de una esquina estás acelerando. Sí, porque no estás cambiando la magnitud de tu velocidad, pero claramente estás cambiando la dirección y así un cambio en la velocidad va a ser aceleración. Y así estás acelerando cuando das la vuelta de una esquina. Y para que ese sea un ejemplo de por qué en física, no estoy tratando de ser quisquilloso solo estoy diciendo que hay que entender la diferencia entre una cantidad escalar y luego que es solo magnitud, y un vector que es magnitud y dirección. Hay una reseña al final de este minuto video, y así voy a hacer que revises un montón de estos y así identificaremos algunos de ellos, pero por ahora quiero darte una pequeña demostración. Para mostrarte la importancia de unas cantidades escalares y vectoriales. Entonces lo que tengo aquí es un peso de mil gramos o un kilogramo de peso. Está suspendido de una báscula y no sé si puedes leer eso ahí pero la báscula mide el número de gramos. Y entonces, si esto es mil gramos y esto mide el número de gramos y se escala bien debería decir y hace cerca de mil gramos es, es el peso de esto. Ahora una pregunta que podría hacerte es esta, digamos que traigo otra escala y así voy a adjuntarle otra escala. Y entonces si tuviéramos una masa que tuviera una masa de mil gramos, y ahora tengo dos básculas que están soportando el peso de eso y las levanto directamente hacia arriba, qué debería de leer qué debería leer cada una de las básculas. Y si estás pensando bien es de mil gramos así que cada uno debería leer 500 gramos déjame probarlo. La respuesta correcta es, sí. Cada una de las escalas radian justo a unos quinientos grands y así eso debería tener sentido para ti. En otras palabras 500 + 500 es mil así que tenemos la fuerza hacia abajo del peso fuerza de tensión que los está manteniendo en posición, y así deberíamos estar bien para ir. El problema se vuelve cuando empiezo a cambiar el ángulo y entonces lo que voy a hacer y estoy seguro de que esto va a salir de la pantalla, es que voy a empezar a sostener estos en un ángulo diferente. y así que ¿y si miran justo aquí y ahora encuentran que es un seiscientos y así esta está a 600 también. y así como yo aumente la ángulo como este va a encontrar que eso va a aumentar también y así cuando lo lleve a un ángulo como este tengo un peso de mil gramos y está siendo soportado por dos escalas ahora que están leyendo mil. y va a variar a medida que vuelva a aquí y si haces algún levantamiento de pesas entiendes tipo de cómo eso obras. Entonces la pregunta es ¿cómo hacemos las matemáticas? El problema con esto entonces es que los números no suman. Y entonces, si tengo una forma de 500 gramos discúlpeme un peso de mil gramos siendo soportado por dos básculas tenía sentido que pesara quinientos cada una. Pero ahora de repente tenemos un peso de mil gramos siendo apoyados por dos escalas que están leyendo mil y así esto no tiene sentido o las matemáticas no tienen sentido. Y la razón es que estás tratando de resolver el problema desde una perspectiva escalar, y nunca podrás obtener la respuesta correcta porque va a cambiar su va a cambiar dependiendo del ángulo en el que los levantemos. Entonces, para entender esto en un método a vector, y vamos a entrar en detalle así que solo quería tocarlo por solo un segundo. Lo que teníamos era un peso así que vamos a decir que hay un peso como este y vamos a decir que es un peso de mil gramos y luego tenemos dos básculas y cada una de esas básculas están jalando a 500 gramos. Entonces, si se suman los vectores hacia arriba, entonces este es 1 vector y este es otro vector, entonces cada uno de estos son 500 gramos así que los hago 500 de longitud. Entonces equilibramos en otras palabras tienes el equilibrio de este peso con estos dos pesos que están encima de él. Ahora si vamos al problema del vector el problema del vector otra vez teníamos mil pesos de gramo mil gramos en el medio, y luego tuvimos una fuerza en esta dirección de mil y una fuerza en esa dirección de los mil. Entonces tuvimos la fuerza abajo de mil, pero teníamos una fuerza de mil en esta dirección y una fuerza de mil en esa dirección. Y entonces, si empiezas a mirarlo como una cantidad vectorial imagina esto que tenemos que ponderar aquí mismo pero hay que tener a dos personas tirando de él y así es como este tira y afloja donde no es solo en una dirección sino en realidad es en dos. Y así se puede empezar a ver cómo se van a equilibrar estas fuerzas, pero sólo si lo miramos desde la perspectiva vectorial. Déjame mostrarte cómo sería eso en realidad. Entonces, si metemos estas colas arriba esta sería esa fuerza abajo de mil gramos. Esta sería la fuerza del peso, pero también teníamos una fuerza en esta dirección así que estoy haciendo la misma regla donde estoy alineando mi vector desde la cola hasta la punta y la cola hasta la punta. Y así ese diagrama que tuve en la última diapositiva en realidad estoy moviendo esta fuerza y se puede ver que todos suman hasta 0. y así la razón por la que me gusta empezar a hablar de vectores y escalares con este problema es que nunca se puede resolver el problema si vas a ir a él desde una perspectiva escalar. y nosotros vamos a hacer algunos problemas realmente geniales digamos que estoy deslizando una caja por el piso, pero ¿con qué frecuencia deslizas una caja por el piso y realmente la tiras de esa manera? si eres como yo estás tirando de un trineo o algo lo haces normalmente tirando de él en ángulo y una vez que empezamos a jugar en un ángulo se convierte en un totalmente diferente para nosotros y no podemos resolver problemas de la manera escalar tenemos que ir y resolverlo desde la perspectiva vectorial y así esa es la importancia de los vectores. en ahora es una cosa enorme. Entonces hay muchas cosas que podemos medir en física y entonces lo que voy a tratar de hacer ojalá pueda hacer esto bien es pasar y rodear todas las cantidades escalares y luego volver y rodear todas las cantidades vectoriales. Y así que si estás viendo este video algo bueno que hacer sería hacer una pausa ahora mismo y luego vas a través y haces un círculo a los que crees que son escalares y vectoriales, y luego veremos si coincidimos hasta el final. Cantidades escalares recordar simplemente va a ser magnitud. Y entonces la pregunta que siempre me hago cuando estoy haciendo esto es, ok ¿tiene una dirección? La longitud es simplemente la longitud de un lado de algo, así que lo pondría en la perspectiva escalar. Esto es algo filosófico, ¿el tiempo tiene una dirección? Yo diría que no. Aceleración ya hablamos de eso. Eso está cambiando en velocidad. ¿Qué pasa con la densidad, la densidad de algo? Eso definitivamente es una cantidad escalar. Si digo que la densidad de eso es de 12.8 gramos por centímetro cúbico Norte eso no tiene ningún sentido. ¿Cuáles son algunas otras cantidades escalares? La temperatura sería una cantidad escalar. Es solo lo rápido que se mueven las moléculas, pero no está en una dirección determinada. La presión sería otra que sea escalar. No es direccional. No es en una dirección, la presión es recordar, presión aire presión es la que siempre pienso va a ser en toda dirección, así que no diríamos eso. A ver, misa. La masa de algo va a ser una cantidad escalar también para que no cambie. Ahora espera y hablaremos más de eso más tarde y en realidad sería una cantidad a vector. veamos si me falta alguna. Ahora creo que esto estaría bien así que cambiemos de color por un segundo. Entonces, el desplazamiento es lo lejos que te mueves de una ubicación y eso es en una dirección. Entonces llamamos a eso una aceleración de cantidad vectorial que mencioné antes. La fuerza va a ser un vector y hará estos diagramas de fuerza que son muy divertidos más adelante en el año. El arrastre es algo que te ralentiza, así que si tu auto es lo que te está ralentizando en la dirección opuesta a tu movimiento, entonces la dirección es importante. El impulso es un producto de la velocidad en la masa de un objeto, y la elevación que obtenemos como un ala de un avión. Eso sería una cantidad vectorial porque está en una dirección. Entonces estas son todas las cantidades vectoriales, las que hice un círculo en rojo, pero hay mucho más que vamos a averiguar ahí. Y las cantidades escalares recuerdan que es simplemente magnitud o lo grande que es. Y así a medida que avanzamos por la física estar pensando para ti mismo ¿es esto una cantidad escalar o vector? Y si es vector, mi problema es un poco más difícil, pero como Angry Birds es más divertido cuando vas por la ruta vectorial. Y entonces, espero que sea de ayuda y que tengas un gran día!

Normalmente los vectores utilizados en meteorología y ciencias atmosféricas tienen dos o tres dimensiones. Pensemos en dos vectores tridimensionales de alguna variable (por ejemplo, viento, fuerza, impulso):

\[\vec{A}=\vec{i} A_{x}+\vec{j} A_{y}+\vec{k} A_{z}\]

\[\vec{B}=\vec{i} B_{x}+\vec{j} B_{y}+\vec{k} B_{z}\]

En ocasiones designamos vectores con letras en negrita, especialmente si el procesador de textos no permite flechas en el texto. Cuando las Ecuaciones [8.3] se escriben con vectores en negrita, son:

\[\mathbf{A}=\mathbf{i} A_{x}+\mathbf{j} A_{y}+\mathbf{k} A_{z}\]

\[\mathbf{B}=\mathbf{i} B_{x}+\mathbf{j} B_{y}+\mathbf{k} B_{z}\]

Estar cómodo con ambas anotaciones para representar vectores.

En las ecuaciones para vectores, A _x y B _x son las magnitudes de los dos vectores en la dirección x (este-oeste), para lo cual\(\vec{i}\) o i es el vector unitario; A _y y B _y son las magnitudes de los dos vectores en la dirección y (norte-sur), para lo cual\(\vec{j}\) o j es el vector unitario; y A _z y _Bz son las magnitudes de los dos vectores en la dirección z (arriba—abajo), para lo cual\(\vec{k}\) o k es el vector unitario. Los vectores unitarios a veces se denominan vectores de dirección.

A veces queremos saber la magnitud (longitud) de un vector. Por ejemplo, es posible que queramos saber la velocidad del viento pero no la dirección del viento. La magnitud de\(\vec{A}\), o A, viene dada por:

\[|\vec{A}|=\sqrt{\left(A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}\right)}\]

A menudo necesitamos saber cómo dos vectores se relacionan entre sí en la cinemática y dinámica atmosférica. Las dos operaciones vectoriales más comunes que nos permiten encontrar relaciones entre vectores son el producto punto (también llamado producto escalar o producto interno) y el producto cruzado (también llamado producto vectorial).

El producto puntual de dos vectores A y B que tienen un ángulo\(β\) entre ellos viene dado por:

\[ \begin{align} \vec{A} \cdot \vec{B} &= A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z} \\[4pt] &=|\vec{A}||\vec{B}| \cos \beta \label{eq5}\end{align}\]

Podemos identificar dos extremos

\ [
\ vec {A}\ cdot\ vec {B} =\ comenzar {casos}
|\ vec {A} ||\ vec {B} | &\ texto {si}\ vec {A}\ paralelo\ vec {B}\\
0 &\ texto {si}\ vec {A}\ perp\ vec {B}
\ fin {casos}
\]

El producto punto es simplemente la magnitud de uno de los vectores, por ejemplo A, multiplicado por la proyección del otro vector, B, sobre A, que es solo B cosβ A y B son paralelos entre sí, entonces su producto puntual es AB. Si son perpendiculares entre sí, entonces su producto punto es 0. El producto punto es un escalar y por lo tanto tiene magnitud pero no dirección.

También tenga en cuenta que los vectores unitarios (también conocido como vectores de dirección) tienen las siguientes propiedades:

\[\vec{i} \cdot \vec{i}=\vec{j} \cdot \vec{j}=\vec{k} \cdot \vec{k}=1\]

\[\vec{i} \cdot \vec{j}=\vec{i} \cdot \vec{k}=\vec{j} \cdot \vec{k}=\vec{j} \cdot \vec{i}=\vec{k} \cdot \vec{i}=\vec{k} \cdot \vec{j}=0\]

\[\vec{i} \cdot \vec{A}=A_{x}\]

\[\vec{B} \cdot \vec{A}=\vec{A} \cdot \vec{B}\]

Tenga en cuenta que el producto de punto del vector unitario con un vector simplemente selecciona la magnitud del componente del vector en esa dirección\(\left.\overrightarrow{(i} \cdot \vec{A}=A_{x}\right)\) y que el producto de punto es conmutativo\((\vec{A} \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vec{A})\)

La ecuación\ ref {eq5} se puede reorganizar para producir una expresión\(\cos β\) en términos de los componentes del vector y las magnitudes del vector:

\[\cos \beta=\frac{A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z}}{|\vec{A}||\vec{B}|}\]

El producto cruzado de dos vectores A y B que tienen un ángulo ββ entre ellos viene dado por:

\[\vec{A} \times \vec{B}=\left(\begin{array}{ccc}{\vec{i}} & {\vec{j}} & {\vec{k}} \\ {A_{x}} & {A_{y}} & {A_{z}} \\ {B_{x}} & {B_{y}} & {B_{z}}\end{array}\right)\]

\[\vec{A} \times \vec{B}=\left(A_{y} B_{z}-A_{z} B_{y}\right) \vec{i}-\left(A_{x} B_{z}-A_{z} B_{x}\right) \vec{j}+\left(A_{x} B_{y}-A_{y} B_{x}\right) \vec{k}\]

La magnitud del producto cruzado viene dada por:

\[|\vec{A} \times \vec{B}|=|\vec{A}||\vec{B}| \sin \beta\]

Podemos identificar dos extremos

\ [
|\ vec {A}\ veces\ vec {B} | =\ comenzar {casos}
0 &\ texto {si}\ vec {A}\ paralelo\ vec {B}\\
|\ vec {A} ||\ vec {B} | &\ texto {si}\ vec {A}\ vec {A}\ perp\ vec {B}
\ fin {casos}
\]

donde\(β\) está el ángulo entre A y B, con\(β\) el incremento de A a B.

Tenga en cuenta que el producto cruzado es un vector. La dirección del producto transversal es en ángulo recto con A y B, en el sentido de la mano derecha. Es decir, usa la regla de la mano derecha (ten la mano abierta, rizarla de A a B, y A x B estará en la dirección de tu pulgar derecho). La magnitud del producto cruzado se puede visualizar como el área del paralelogramo formado a partir de los dos vectores. La dirección es perpendicular al plano formado por los vectores A y B. Así, si A y B son paralelos entre sí, la magnitud de su producto cruzado es 0. Si A y B son perpendiculares entre sí, la magnitud de su producto cruzado es AB.

El siguiente video (2:06) te recuerda la regla de la mano derecha para productos cruzados.

Regla derecha para producto de cruz vectorial

Haga clic aquí para ver la transcripción del producto Regla de la mano derecha para Vector Cross

Vamos a hacer un par de ejemplos más de encontrar producto cruzado vectorial. Supongamos que te doy estos dos vectores a y B, que ambos se encuentran en el plano de, mira sus mis manos, que ambos se encuentran en el plano de la página. Ok, entonces hay a y B. Quieres encontrar la dirección de una cruz B. Para encontrar la magnitud haces a veces B veces el seno del ángulo entre ellos, pero solo queremos encontrar la dirección ahora mismo, y para ello vamos a usar la regla de la mano derecha, pero primero podemos usar un poco de lógica. Entonces, antes que nada la lógica dice esto, cualquiera que sea la dirección de una cruz B que llamemos a eso c, a cruz b la llamaremos a eso c. Tiene que ser perpendicular tanto a a como a B o perpendicular al plano de la página. Bueno sólo hay dos direcciones que eso podría ser, correcto. Lo que eso significa es que c o bien debe apuntar directamente fuera de la página o debe apuntar directamente a la página. Y, para averiguar cuál de esas dos direcciones es, lo que vamos a tener que hacer es que vamos a tener que poner los dedos a lo largo de a. entonces hay dos formas de hacerlo. Puedes o poner tus dedos a lo largo de una de esta manera, o podrías poner tus dedos por una de esta manera, y tienes que hacerlo de la manera que te permita balancear a hacia abajo en b como si fuera una pequeña bisagra. Entonces, si intentas ese aviso si lo haces de esta manera, sí, es el camino equivocado, bien. Tendrías que balancearte todo el camino largo. Si quieres simplemente doblar a en b la forma de hacerlo es poner tus dedos de esta manera entonces puedes curvarlos de esta manera. Observe cuando haga que su pulgar está apuntando a la página, entonces por lo tanto, la respuesta es que c está en la página... y en realidad tengo marcador en mi pared. En realidad, la forma en que representamos que es la que está representada en la página está representada por una pequeña X con un círculo alrededor de ella. Se supone que debes pensar en ello como las plumas de la cola de una flecha que apunta a la página.

De ello se deduce que los productos cruzados de los vectores unitarios vienen dados por:

\[\vec{i} \times \vec{j}=\vec{k} \quad \vec{j} \times \vec{k}=\vec{i} \quad \vec{k} \times \vec{i}=\vec{j}\]

\[\vec{i} \times \vec{j}=-\vec{j} \times \vec{i}\]

Tenga en cuenta finalmente que\[\vec{A} \times \vec{B}=-\vec{B} \times \vec{A}\]

A veces necesitamos tomar derivados de vectores en todas las direcciones. Para eso podemos usar un derivado de vector especial llamado el operador Del,\(\vec{\nabla}\)

Del es un operador diferencial vectorial que nos dice el cambio en una variable en las tres direcciones. Supongamos que colocamos sensores de temperatura en una montaña para que obtengamos la temperatura, T, en función de x, y y z. Entonces\(\vec{\nabla}\) T nos daría el cambio de T en las direcciones x, y y z.

\[\vec{\nabla}=\vec{i} \frac{\partial}{\partial x}+\vec{j} \frac{\partial}{\partial y}+\vec{k} \frac{\partial}{\partial z}\]

El operador Del puede ser utilizado como un vector en productos de punto y productos cruzados pero no en sumas y diferencias. No conmuta con vectores y debe ser la derivada parcial de alguna variable, ya sea un escalar o un vector. Por ejemplo, podemos tener lo siguiente con del y un vector A:

\(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}=\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z},\)que es un escalar

\(\vec{\nabla} T=\vec{i} \frac{\partial T}{\partial x}+\vec{j} \frac{\partial T}{\partial y}+\vec{k} \frac{\partial T}{\partial z},\)que es un vector aunque\(T\) sea un escalar

\(\vec{A} \cdot \vec{\nabla} T=A_{x} \frac{\partial T}{\partial x}+A_{y} \frac{\partial T}{\partial y}+A_{z} \frac{\partial T}{\partial z},\)que es un escalar