2.4: Cómo construir variables adimensionales

Tal vez se esté preguntando cómo podría haber construido la variable adimensional\(\rho U D / \mu\) por su cuenta en lugar de que se la presente. Comienza con un producto muy general\(\rho^{a} U^{b} D^{c} \mu^{d}\). Los exponentes\(a\) a través\(d\) tienen que ser ajustados para que las\(\mathrm{M}\),\(\mathrm{L}\), y\(\mathrm{T}\) dimensiones del producto se cancelen. Uno de los exponentes puede elegirse arbitrariamente, digamos, pero luego\(d=1\),\(a\)\(b\), y\(c\) tiene que ser ajustado resolviendo tres ecuaciones, una para cada una, y\(\mathrm{M}\)\(\mathrm{L}\)\(\mathrm{T}\), expresando la condición de que el producto sea adimensional. Usando la longitud como ejemplo, se puede ver en la lista de dimensiones por encima de que la longitud entra\(\rho\) en\(U\) el poder\(-3\), en el poder\(+1\), en\(D\) el poder\(+1\), y en el\(\mu\) poder\(-1\). Por lo que para que la dimensión de longitud se cancele fuera de\(\rho^{a} U^{b} D^{c} \mu\), se debe cumplir la siguiente condición:\(-3 a+b+c-1=0\). (Ten en cuenta que ya hemos optado por\(d\) serlo\(1\). Dos condiciones más, una para\(\mathrm{M}\) y otra para\(T\), dan tres ecuaciones lineales en las tres incógnitas\(a\)\(b\), y\(c\):

\[\begin{array}{rlrl}{-3 a} & {+b} & {+c} & {-1} & {=0} & {(\text { for } L)} \\ {+a} & {} & {}& {+1} & {=0} & {(\text { for } M)} \\ {} & {-b} & {} & {-1} & {=0} & {(\text { for } T)}\end{array} \label{lineq} \]

La solución es\(a = -1\),\(b = -1\),\(c = -1\), entonces el producto toma la forma\(\mu / \rho U D\). Esta es la inversa del número de Reynolds introducido anteriormente. De haberse\(d\) tomado como\(-1\) de inicio, el resultado habría sido el propio número de Reynolds.