4.4: Esfuerzo de cizallamiento turbulento

Uno de los efectos más significativos de la turbulencia es el transporte de cosas tales como calor, impulso, soluto o materia suspendida, material o propiedades que pueden verse transportadas pasivamente por el fluido, a través de planos paralelos al flujo medio por los movimientos aleatorios de las masas de fluido de ida y vuelta a través de estos aviones. La velocidad media de normal a límite a través de dichos planos es por definición cero, por lo que la masa neta de fluido transferido de esta manera debe equilibrarse a cero en promedio. Pero si el material o propiedad asociada pasivamente con el fluido está en promedio distribuido de manera desigual, si su valor promedio varía en una dirección normal al movimiento medio, entonces la transferencia turbulenta equilibrada de fluido a través de los planos provoca un transporte difusivo o “flujo” de esta propiedad, generalmente referida a como un flujo, en la dirección del valor promedio decreciente. Este tipo de transporte se llama difusión turbulenta.

Para ver la difusión turbulenta de algún material o propiedad transportada por el fluido, piense en el resultado de un intercambio de dos parcelas de fluido o remolinos con igual masa a través de un plano de cizallamiento medio paralelo al límite en una capa límite turbulenta (Figura\(\PageIndex{1}\)). El remolino que viaja desde el costado del plano con mayor valor promedio de alguna propiedad\(\text{P}\) tiende a llegar al otro lado con un valor mayor\(\text{P}\) que su nuevo entorno, y a la inversa el remolino que viaja desde el lado con menor valor promedio tiende a llegar con un valor menor que su alrededores. El intercambio tiende así a igualar la distribución de\(\text{P}\) por medio de un transporte neto de\(\text{P}\) en la dirección del valor promedio decreciente.

Figura\(\PageIndex{1}\): Transporte de un material o una propiedad por difusión turbulenta en una capa límite turbulenta.

Una distribución irregular o no uniforme de la propiedad\(\text{P}\) a escala de remolinos individuales es de esperar por la naturaleza misma del proceso de difusión. Así que no todo remolino que cruza el plano de cizallamiento medio mostrado en la Figura\(\PageIndex{1}\) desde el lado con mayor promedio\(\text{P}\) llega al otro lado con un valor de\(\text{P}\) mayor que el nuevo entorno, y a la inversa no todos los cruces de Foucault en la otra dirección llegan con un valor menor de \(\text{P}\). Pero el punto importante es que hay una tendencia a que esto suceda porque existe una correlación estadística entre los valores de\(\text{P}\) y posición normal al plano, y por lo tanto un gradiente promedio de\(\text{P}\) en esa dirección. Ese gradiente promedio se mantiene por algún proceso no relacionado con la difusión.

Un ejemplo sencillo pero importante es el de los sedimentos transportados en suspensión por un río o una corriente de marea o la atmósfera. (Veremos este problema con más detalle en la Parte II.) Sabes que si un flujo de fluido es lo suficientemente fuerte puede recoger partículas de arena o polvo del límite inferior del flujo y llevarlas en lo alto hacia el flujo, de donde eventualmente se asientan de nuevo al lecho o al suelo. La concentración del sedimento suspendido disminuye hacia arriba, debido a la tendencia del sedimento a asentarse a través de su fluido circundante. Existe un equilibrio entre la sedimentación descendente y la difusión turbulenta ascendente a lo largo del gradiente de concentración (Figura\(\PageIndex{2}\)). La correlación entre la concentración de sedimentos suspendidos y la distancia por encima del fondo es clara en la Figura\(\PageIndex{2}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Equilibrio entre el transporte ascendente de sedimentos suspendidos por difusión turbulenta y el transporte descendente por sedimentación.

Podemos apelar a la idea de difusión del momento del fluido para dar cuenta de las diferencias en la distribución de la velocidad en el flujo laminar y turbulento hacia abajo de un plano inclinado, discutido en una sección anterior de este capítulo. En el flujo laminar no hay remolinos que se intercambien a través de planos de corte paralelos al fondo, pero las moléculas mismas se lanzan o tejen aleatoriamente de un lado a otro a través de estos planos en analogía suelta con la imagen descrita anteriormente para los movimientos aleatorios de remolinos turbulentos. Debido a que en promedio las moléculas tienen una mayor velocidad de canal descendente en la región por encima de un plano de cizallamiento dado que por debajo de él, el intercambio molecular a través del plano tiende a igualar la distribución del momento del fluido y por lo tanto también de la velocidad del fluido. El impulso del fluido se crea continuamente, ya sea por las fuerzas de gravedad de la pendiente descendente o por un gradiente de presión descendente (o una combinación de los dos), luego se transporta hacia el límite inferior por difusión molecular, y en el proceso es “consumido” por la fuerza de resistencia en el límite inferior.

La tendencia de los movimientos moleculares a igualar la distribución de la velocidad en un fluido cizallado es en parte la causa física de la resistencia de un fluido al cizallamiento. En los líquidos el efecto de las atracciones moleculares transitorias en la resistencia al cizallamiento es más importante, pero en los gases el efecto difusivo es el dominante. La viscosidad de un fluido es simplemente una medida de la efectividad de los movimientos moleculares y/o atracciones moleculares para suavizar una distribución de velocidad desigual o en mantener la distribución de velocidad contra la tendencia del fluido a acelerar la pendiente descendente e intensificar el cizallamiento. La hipótesis del continuo nos permite ignorar los detalles de las fuerzas moleculares y la difusión y considerar el esfuerzo cortante resultante como una cantidad puntual.

En el flujo turbulento, por otro lado, existe un mecanismo de difusión adicional para el transporte del impulso del fluido hacia el límite: el intercambio de remolinos de fluidos macroscópicos a través de los planos de cizallamiento medio paralelos al fondo tiende a igualar la distribución de velocidad por difusión del momento hacia la parte inferior (Figura\(\PageIndex{3}\)). Según la segunda ley de Newton, esta tasa de transporte de impulso por movimientos turbulentos es equivalente a una tensión cortante a través del plano. A esto se le llama el esfuerzo de cizallamiento turbulento o, generalmente, el esfuerzo de Reynolds. Tiene exactamente el mismo efecto físico que una fuerza de fricción real ejercida directamente entre las dos capas de fluido a cada lado del plano: el fluido que se mueve más rápido sobre el plano ejerce una fuerza de aceleración sobre el fluido de movimiento más lento debajo del plano, y a la inversa el fluido de abajo ejerce una igual y fuerza de retardo opuesta sobre el fluido de arriba. Es cierto que el “rango de operación” de esta fuerza se mancha indefinidamente por cierta distancia a cada lado del plano, pero el resultado es el mismo que el de una fuerza ejercida directamente a través del plano.

Figura\(\PageIndex{3}\): El origen del esfuerzo de cizallamiento turbulento.

El esfuerzo cortante total a través de un plano de cizallamiento en el flujo es la suma del esfuerzo de cizallamiento turbulento, causado por la difusión macroscópica del momento del fluido, y el esfuerzo de cizallamiento viscoso, causado en parte por la difusión molecular del momento del fluido y en parte por las fuerzas de atracción entre las moléculas en el plano de cizallamiento. Debido a su naturaleza macroscópica, el esfuerzo de cizallamiento turbulento puede asociarse con un punto dado en un plano de cizallamiento solo de manera formal; el esfuerzo cortante viscoso, aunque tiene un significado físico real de punto a punto, debe considerarse como un promedio sobre el área del plano de cizallamiento, porque en flujo turbulento tanto la magnitud como la orientación del cizallamiento varían (continuamente, y en la escala de remolinos) de punto a punto.

En una sección anterior de este capítulo derivamos expresiones (Ecuación 4.2.3) para el esfuerzo cortante a través de planos de cizallamiento en flujo laminar en una tubería o un canal. El esfuerzo cortante en esas dos ecuaciones es la suma del esfuerzo de cizallamiento turbulento y el esfuerzo de cizallamiento viscoso. Puede protestar que los resultados de la Ecuación 4.2.3 se obtuvieron únicamente para flujo laminar. Pero al derivar las ecuaciones no asumimos nada en absoluto sobre la naturaleza interna del flujo, sólo que el flujo es constante y uniforme en promedio. Esto contrasta con los resultados para la distribución de velocidad, Ecuación 4.2.7, que implican la suposición de que el esfuerzo cortante a través de un plano de cizallamiento viene dado por la Ecuación 1.3.6, una suposición que es inadmisible para el flujo turbulento debido a la importancia de la turbulencia adicional esfuerzo cortante. La distribución lineal del esfuerzo cortante de cero en la superficie a un máximo en la parte inferior, por lo tanto, debe mantenerse tan bien para el flujo turbulento como para el flujo laminar, siempre que el flujo sea constante y uniforme en promedio.

Excepto muy cerca del límite sólido, donde el componente de normal a límite de la velocidad turbulenta debe ir a cero, el esfuerzo de cizallamiento turbulento es mucho mayor que el esfuerzo de cizallamiento viscoso. Esto se debe a que el intercambio turbulento de masas de fluido actúa a una escala mucho mayor que los movimientos moleculares involucrados en el esfuerzo de cizallamiento viscoso y, por lo tanto, transporta el momento de manera mucho más eficiente. La Figura\(\PageIndex{4}\) es una gráfica de la distribución de la tensión de cizalladura turbulenta y la tensión de cizallamiento viscoso en flujo uniforme constante hacia abajo de un plano. El esfuerzo cortante total viene dado por la línea recta, y el esfuerzo cortante turbulento viene dado por la curva que es casi coincidente con la línea recta desde la superficie hasta muy cerca del fondo, pero luego se rompe bruscamente para convertirse en cero justo en la parte inferior. La diferencia entre la línea recta para el esfuerzo cortante total y la curva para el esfuerzo cortante turbulento representa el esfuerzo cortante viscoso; esto es importante solo muy cerca del límite.

Figura\(\PageIndex{4}\): Distribución del esfuerzo cortante total, el esfuerzo de cizallamiento turbulento y el esfuerzo de cizallamiento viscoso en un flujo de canal abierto constante y uniforme.

Debido a que el esfuerzo de cizallamiento turbulento es mucho mayor que el esfuerzo de cizallamiento viscoso, excepto muy cerca del límite, las diferencias en la velocidad promedio en el tiempo de capa a capa en el flujo turbulento se planchan de manera mucho más efectiva en la mayor parte de la profundidad de flujo que en el flujo laminar. Esto explica el gradiente de velocidad mucho más suave\(du/dy\) sobre la mayor parte de la profundidad de flujo en flujo turbulento que en flujo laminar; retroceda y observe la Figura 4.3.1. Pero como consecuencia de este suave gradiente de velocidad sobre la mayor parte de la profundidad del flujo, cerca del límite inferior, donde los efectos viscosos más que los efectos turbulentos son dominantes, el gradiente de velocidad es mucho más empinado que en el flujo laminar, porque el cizallamiento necesario por la transición desde el aún grande velocidad cerca del límite a la velocidad cero en el límite (recuerde la condición antideslizante) se comprime en una capa delgada inmediatamente adyacente al límite.

Problema de cierre de turbulencia

Cuando se escriben las ecuaciones Navier-Stokes para flujo turbulento, y luego las velocidades instantáneas se convierten en sus componentes medios y fluctuantes, como se hizo en el Capítulo 3, los promedios de tiempo de productos de cantidades fluctuantes (las tensiones de Reynolds mencionadas en la sección anterior) emergen como nuevas incógnitas, y cuando uno intenta caracterizar esas nuevas incógnitas, ¡surgen nuevas incógnitas más! El resultado es que las ecuaciones de movimiento para flujo turbulento nunca podrán formar un sistema cerrado en el que el número de ecuaciones sea igual al número de incógnitas. A esto se le llama el problema de cierre de turbulencias. A menudo se dice que es uno de los grandes problemas sin resolver en toda la física. (Esa es una declaración muy contundente.)

Se han ideado diversas estrategias para eludir el problema del cierre, haciendo ciertas suposiciones o parametrizaciones. Un ejemplo simple y ampliamente utilizado debe ser suficiente aquí: parametrizar la naturaleza del transporte de momento turbulento en un flujo de cizallamiento turbulento mediante el uso de la viscosidad de Foucault, y cómo varía desde el límite del flujo hacia el interior.