4.6: Resistencia al flujo

Introducción

Esta sección toma en cuenta lo que se sabe sobre las fuerzas mutuas ejercidas entre un flujo turbulento y su límite sólido. Ya se ha visto que el flujo de fluido real más allá de un límite sólido ejerce una fuerza sobre ese límite, y el límite debe ejercer una fuerza igual y opuesta sobre el fluido que fluye. Por lo tanto, es inmaterial si piensas en términos de resistencia al flujo o arrastre en el límite.

Fuerzas ejercidas por un flujo en su límite

¿Cuál es la naturaleza física de la fuerza mutua entre el flujo y el límite? Recuerde que en cada punto del límite sólido, no importa cuán intrincada en detalle pueda ser la geometría de ese límite, actúan dos tipos de fuerzas fluidas: presión, actuando normal a la superficie sólida local en el punto, y esfuerzo cortante viscoso, actuando tangencial al sólido local superficie en el punto.

Si el límite es físicamente liso (Figura\(\PageIndex{1}\) A), el componente aguas abajo de la fuerza que el fluido ejerce sobre el límite solo puede resultar de la acción de las tensiones de cizallamiento viscosas, ya que las fuerzas de presión pueden entonces no tener componente en la dirección del flujo. Pero el límite puede ser fuertemente irregular o rugoso a pequeña escala al mismo tiempo que es plano o se curva suavemente a gran escala; estas irregularidades o rugosidad pueden involucrar conjuntos de varios tipos de protuberancias, corrugaciones, protuberancias o masas de partículas. La mayoría de los flujos naturales, y muchos en la práctica de ingeniería también, como canales y tuberías corroídas, tienen límites físicamente ásperos. Entonces la imagen es más complicada (Figura\(\PageIndex{1}\) B), porque hay un componente aguas abajo de la fuerza de presión en el límite además de un componente aguas abajo de la fuerza viscosa: al igual que con el arrastre sobre las esferas, considerado en los Capítulos 2 y 3, si los elementos de rugosidad están presentes en el límite, local las fuerzas de presión son mayores en los lados aguas arriba que en los lados aguas abajo, por lo que cada elemento se somete a una fuerza de presión resultante con un componente en la dirección aguas abajo.

Figura\(\PageIndex{1}\): Fuerzas de presión y fuerzas viscosas sobre límites físicamente lisos y físicamente ásperos.

Los detalles de las fuerzas de presión sobre los elementos de rugosidad son complicados, ya que dependen no solo de un número de Reynolds basado en el tamaño de los elementos de rugosidad y la velocidad local de flujo alrededor de los elementos (en general de la misma manera que las fuerzas de presión dependen de un número de Reynolds en el caso de flujo ilimitado y uniforme alrededor de una esfera, como se discutió en capítulos anteriores), pero también sobre la forma, disposición y espaciamiento de los elementos. Cualitativamente, sin embargo, la imagen es clara (Figura\(\PageIndex{2}\)): a números bajos de Reynolds la fuerza de presión sobre un elemento es del mismo orden que la fuerza viscosa, como en el flujo rastrero más allá de una esfera, mientras que a números de Reynolds mayores las fuerzas de presión son mucho mayores que las fuerzas viscosas, como en separados fluir más allá de una esfera.

Figura\(\PageIndex{2}\): Diferencias en el flujo cercano al lecho y las fuerzas en el flujo sobre un límite aproximado, en función del número de rugosidad de Reynolds\(\text{Re}_{*}\).

La suma de todas las fuerzas sobre elementos de rugosidad individuales en el límite (o, en el caso de un límite físicamente liso, la suma de las tensiones de cizallamiento viscosas en todos los puntos del límite) constituye el arrastre general sobre el límite, o a la inversa la resistencia general al flujo; cuando se expresa como fuerza por unidad de área esta resistencia límite se llama esfuerzo cortante límite, denotado por\(\tau_{\text{o}}\) (generalmente pronunciado tau-cero o tau-nada). Es importante recordar que no\(\tau_{\text{o}}\) se refiere a la tensión de cizallamiento viscoso en ningún punto dado en el límite de flujo, ¡lo que parece encajar perfectamente con la descripción de “esfuerzo cortante límite”! —pero a la fuerza promedio por unidad de área, fuerzas viscosas más fuerzas de presión, sobre un área del límite lo suficientemente grande como para que las variaciones en las fuerzas locales de punto a punto se promedien adecuadamente. Eso significa un área muchas veces el tamaño de los elementos de rugosidad individuales (Figura\(\PageIndex{3}\)).

Figura\(\PageIndex{3}\): Tensión cortante límite sobre límites físicamente lisos, límites granular-rugosos y límites ásperos en la escala de formas de lecho así como partículas de sedimentos.

Vale la pena considerar en este punto cómo\(\tau_{\text{o}}\) se mide realmente el esfuerzo cortante límite en tuberías y canales. La medición directa es difícil incluso en el laboratorio: las placas de cizallamiento mecánico colocadas al ras con el límite tienden a causar alguna perturbación en el flujo debido a la inevitable brecha o escalón en los bordes. Los sensores de película caliente, que miden el cizallamiento en la interfaz fluido-sólido indirectamente a través de la transferencia de calor conductora desde una superficie sólida calentada, evitan este problema muy bien para límites lisos, pero no funcionan bien para límites ásperos, especialmente cuando los elementos de rugosidad están en movimiento, como los sedimentos granos. La medición directa en condiciones de campo ha sido limitada.

Afortunadamente, existen otras formas de medir la tensión cortante límite. En un conducto cerrado horizontal se puede medir el gradiente de presión aguas abajo simplemente instalando dos manómetros a cierta distancia, leyendo la caída de presión y dividiendo por la distancia entre los manómetros (Figura\(\PageIndex{4}\) A). Entonces puede usar una ecuación, análoga a la Ecuación 4.2.1, que relaciona la tensión cortante límite con el gradiente de presión. Si el conducto no es horizontal, asegúrese de restar la diferencia de presión hidrostática entre las dos estaciones, para que quede con la presión dinámica (Figura\(\PageIndex{4}\) B). En un flujo de canal estable y uniforme se puede utilizar la Ecuación 4.2.1, la ecuación de resistencia para el flujo de canal, para encontrar\(\tau_{\text{o}}\) sin preocuparse por los detalles internos del flujo simplemente midiendo la pendiente de la superficie del agua; aunque no siempre es un asunto sencillo, esto es posible en ambos campos y laboratorio con el equipo de topografía adecuado. El problema es que el valor\(\tau_{\text{o}}\) obtenido de esta manera es el promedio alrededor del perímetro humedecido de la sección transversal, por lo que no es exactamente lo mismo que el esfuerzo cortante límite en cualquier lugar en particular del perímetro humedecido. Además, si el flujo del canal no es uniforme, si la profundidad y la velocidad varían de sección a sección, entonces la Ecuación 4.2.1 se mantiene solo aproximadamente, no exactamente; el error introducido depende del grado de no uniformidad.

Figura\(\PageIndex{4}\): Presión estática y dinámica en A) una tubería horizontal y B) un plano inclinado.

Otro método de hallazgo\(\tau_{\text{o}}\), adecuado solo para experimentos de laboratorio con flujo suave, es medir el perfil de velocidad dentro de la zona de flujo dominada por la viscosidad muy cerca del límite, utilizando diversas técnicas, con el fin de determinar el gradiente de velocidad en el límite, que por la Ecuación 1. 3.6 es proporcional a\(\tau_{\text{o}}\). Un problema serio aquí es que la subcapa viscosa es muy delgada, lo que requiere que el dispositivo de medición sea extremadamente pequeño para obtener resultados precisos. Otro problema es que esta técnica no es viable en situaciones donde los elementos de rugosidad son mayores que el grosor potencial de la subcapa viscosa, y eso es cierto para la mayoría de los flujos de transporte de sedimentos de interés en ambientes naturales.

Finalmente, verá actualmente, después de considerar los perfiles de velocidad en flujo turbulento, que también se\(\tau_{\text{o}}\) pueden encontrar indirectamente tanto en el flujo áspero como en el flujo suave mediante una medición menos exigente del perfil de velocidad a través de parte o la totalidad de la profundidad del flujo. Este último método es el más útil de todos.

Flujo suave y flujo rugoso

Se pueden distinguir dos casos fundamentalmente diferentes pero intercalados de flujo turbulento de capa límite comparando el grosor de la subcapa viscosa y la altura de los elementos de rugosidad granular. (Lo que voy a decir aquí es para la rugosidad del grano de arena, pero la situación es aproximadamente la misma para la rugosidad apretada de cualquier geometría). Los elementos de rugosidad pueden ser pequeños en comparación con el grosor de la subcapa y por lo tanto completamente encerrados dentro de ella (Figura\(\PageIndex{5}\) A). O pueden ser mayores de lo que sería el grosor de la subcapa para el flujo dado si el límite fuera físicamente liso en lugar de áspero (Figura\(\PageIndex{5}\) B). En este último caso, el flujo sobre y entre los elementos de rugosidad es turbulento, y la estructura de este flujo está dominada por los efectos del transporte de momento turbulento. Entonces no puede haber una subcapa viscosa global en el sentido descrito en una sección anterior, aunque, como se señaló anteriormente, una zona delgada dominada por la viscosidad con espesor mucho menor que el tamaño de rugosidad debe estar presente en las mismas superficies de todos los elementos de rugosidad. En el caso de transición los elementos de rugosidad se asoman a través de una subcapa viscosa que es aproximadamente del mismo grosor que el tamaño de los elementos.

Figura\(\PageIndex{5}\): Diferencias en la estructura de flujo cerca de un lecho granular, dependiendo de si A) la subcapa viscosa es más gruesa que las alturas de las partículas o B) las alturas de las partículas son mayores que lo que sería el espesor de la subcapa viscosa en ausencia de las partículas.

Si, en flujo sobre un lecho rugoso, el espesor de la subcapa de viscosidad es mucho mayor que el tamaño de los elementos de rugosidad, la resistencia global al flujo resulta ser casi la misma que si el límite fuera físicamente liso; se dice que tales flujos son dinámicamente suaves (o hidráulicamente o hidrodinámica o aerodinámicamente lisos), aunque de hecho son geométricamente rugosos. (Obviamente, el flujo sobre límites físicamente suaves también es dinámicamente suave). Esto es consecuencia del argumento, introducido anteriormente, de que si el número de flujo de Reynolds alrededor de elementos de rugosidad individuales es pequeño, como debe ser el caso si los elementos son mucho más pequeños que la subcapa viscosa, las fuerzas de presión y las fuerzas viscosas son de aproximadamente la misma magnitud, de manera que la presencia de la rugosidad hace poca diferencia en la resistencia general al flujo. Si los elementos son mucho mayores que el espesor potencial de la subcapa viscosa, sin embargo, los números de Reynolds de flujo local alrededor de los elementos son lo suficientemente grandes como para que las fuerzas de presión sobre los elementos sean mucho mayores que las fuerzas viscosas, y entonces la rugosidad tiene un efecto importante en la resistencia al flujo. Se dice que tales flujos son dinámicamente ásperos. Existe un rango intermedio de condiciones para las cuales se dice que el flujo es transicionalmente áspero.

Es conveniente tener una medida adimensional de distancia desde el límite que se pueda usar para especificar los espesores de la subcapa viscosa y la capa tampón. Supongamos para este propósito que la dinámica del flujo cerca del límite está controlada solo por el esfuerzo cortante\(\tau_{\text{o}}\) y las propiedades del fluido\(\rho\) y\(\mu\). Esto debería parecerle al menos vagamente razonable, en que la dinámica de turbulencia y esfuerzo cortante en la subcapa viscosa y la capa amortiguadora son un fenómeno local relacionado con la presencia del límite pero no muy afectado por los remolinos más débiles a gran escala en la capa exterior. Habrá más sobre esto en la sección posterior sobre perfiles de velocidad. Puede verificar fácilmente que la única medida adimensional posible de distancia\(y\) desde el límite sería entonces\(\rho^{1 / 2} \tau_{0}^{1 / 2} y / \mu\), a menudo denotada por\(y^{+}\). Una variable adimensional similar\(\rho^{1 / 2} \tau_{0}^{1 / 2} D / \mu\), que involucra la altura\(D\) de los elementos de rugosidad en el límite, se puede derivar por la misma línea de razonamiento sobre variables importantes cerca del límite. Esta última variable se llama el número límite de Reynolds o el número de rugosidad de Reynolds, a menudo denotado por\(\text{Re}_{*}\).

La distancia adimensional\(y^{+}\) y el número de rugosidad de Reynolds se\(\text{Re}_{*}\) pueden escribir de una forma más conveniente y habitual mediante la introducción de dos nuevas variables. La cantidad\(\left(\tau_{0} / \rho\right)^{1 / 2}\), generalmente denotada por\(u_{*}\) (pronunciado u-star), tiene las dimensiones de una velocidad; se llama velocidad de cizallamiento o velocidad de fricción. Advertencia: no\(u_{*}\) es una velocidad real; es una cantidad que involucra el esfuerzo cortante límite que convenientemente tiene las dimensiones de una velocidad. La cantidad\(\mu /\rho\), que habrás notado comúnmente aparece en números de Reynolds, se llama viscosidad cinemática, denotada por\(ν\). Se usa la palabra cinemática porque las dimensiones de\(ν\) implican solo longitud y tiempo, no masa. Si\(y^{+}\) como se definió anteriormente se reordena ligeramente se puede escribir\(u_{*}y/ν\) y se puede escribir el número de rugosidad de Reynolds\(u_{*} D/ν\).

Cuando se expresa en la forma adimensional\(y^{+}\), la transición de la subcapa viscosa a la capa tampón está en un\(y^{+}\) valor de aproximadamente\(5\), y la transición de la capa tampón a la capa dominada por turbulencias está en un\(y^{+}\) valor de aproximadamente\(30\). Estos valores de transición son aproximadamente los mismos independientemente de los valores de esfuerzo cortante límite τo y propiedades del fluido\(\rho\) y\(\mu\); esto confirma la suposición hecha arriba de que en un amplio rango de flujos turbulentos de capa límite las variables\(\tau_{\text{o}}\),\(\rho\), y\(\mu\) son suficientes para caracterizar el flujo cerca del límite. Estos valores se conocen no por observar el flujo sino a partir de gráficas de perfiles de velocidad, como se discutirá en la actualidad.

La magnitud relativa del espesor de la subcapa viscoso y la altura de rugosidad se\(D\) pueden expresar en términos del número de rugosidad de Reynolds\(u_{*}D/ν\). Para ver esto, tomar la parte superior de la subcapa viscosa para estar en\(u_{*} \delta_{v} / v \approx 5\), es decir, que\(\delta_{v} \approx 5 v / u_{*}\) es la distancia desde el límite hasta la parte superior de la subcapa viscosa. Aquí he sustituido\(y\) por\(\delta_{v}\), el espesor de la subcapa viscosa. La relación entre el tamaño de partícula y el grosor de la subcapa es entonces\(D / \delta_{v} \approx\left(u_{*} D / v\right) / 5\). En otras palabras, el grosor de la subcapa y el tamaño de partícula son aproximadamente los mismos cuando el número de rugosidad de Reynolds tiene un valor de aproximadamente\(5\). (Pero recuerde que si los elementos de rugosidad son así de grandes o más grandes, no hay una subcapa viscosa bien desarrollada en primer lugar). Otra forma de ver esto es que podemos comparar el tamaño de partícula\(D\) con\(v/ u_{*}\), una cantidad con dimensiones de longitud llamada escala de longitud viscosa, que es proporcional al espesor de la subcapa viscosa.

Los límites de flujo suave y rugoso también se pueden especificar mediante valores del número de rugosidad de Reynolds. El límite superior de flujo suave está asociado con la condición de que la altura de la subcapa viscosa sea aproximadamente igual a la de los elementos de rugosidad. Como se señaló anteriormente, en la parte superior de la subcapa viscosa\(y^{+}=u_{*} \delta_{v} / v \approx 5\), por lo que el límite superior de rugosidad los números de Reynolds para flujo suave deben estar\(u_{*} D / \nu \approx 5\), y de hecho el valor de\(5\) está en buena concordancia con los resultados basados tanto en la resistencia límite como en los perfiles de velocidad. Asimismo, se encuentra que el límite inferior de rugosidad de los números de Reynolds para flujos completamente rugosos es aproximadamente\(60\). Es entre estos valores\(\left(5<u_{*} D / v<60\right)\) que se dice que el flujo es transicionalmente áspero.

Alguna discusión adicional sobre el flujo suave y rugoso se puede encontrar en la última parte de este capítulo en la sección sobre perfiles de velocidad.

Análisis Dimensional de Resistencia al Flujo

Una circunstancia que tiende a hacer que los tratamientos estándar de resistencia al flujo en los libros de texto de dinámica de fluidos parezcan más complicados de lo que realmente son es que los detalles de las ecuaciones para la resistencia al flujo (aunque no su forma general) dependen no solo de la rugosidad límite sino también de la general geometría del flujo. Por un lado, el flujo puede ser una capa límite turbulenta que crece en una corriente libre; por otro lado, puede ser una capa límite turbulenta completamente establecida que ocupa todo un conducto o canal. En términos de mecánica de flujo en la propia capa límite, estos dos tipos de flujo pueden tratarse juntos. En este último caso, es posible cualquier número de geometrías de contorno. Los experimentos clásicos sobre resistencia al flujo se realizaron utilizando tuberías circulares con superficies internas recubiertas con arena uniforme, y no se ha realizado mucho trabajo sistemático sobre el flujo del canal. La discusión aquí se centra en el flujo de tuberías, entendiendo que tanto los principios como la forma general de los resultados son los mismos para cualquier flujo uniforme constante cualquiera que sea la geometría límite.

En común con otros aspectos del flujo turbulento de capa límite, no existe ninguna teoría en la que podamos basarnos para encontrar relaciones para la resistencia al flujo. Por lo tanto, nuevamente es natural comenzar con un análisis dimensional de la resistencia al flujo a través de una tubería o tubo circular (Figura\(\PageIndex{6}\)) para desarrollar un marco en el que los datos experimentales puedan proporcionar relaciones adimensionales que sean expresables en forma de ecuaciones esencialmente empíricas que son válidos en ciertos rangos de flujo.

Figura\(\PageIndex{6}\): Croquis de definición para el análisis dimensional de la resistencia al flujo en una tubería circular.

¿Qué variables deben especificarse para que la tensión cortante límite\(\tau_{\text{o}}\) pueda caracterizarse o determinarse completamente? El diámetro de la tubería\(d\) y la velocidad media del flujo\(U\) son importantes porque afectan la velocidad de cizallamiento en el flujo, tanto directamente como a través de su efecto sobre la estructura de la turbulencia. \(\mu\)La viscosidad es obviamente importante debido a su papel en la determinación de la tensión de cizallamiento viscoso en el límite. \(\rho\)La densidad del fluido es importante porque si el flujo es turbulento debe haber aceleraciones locales de fluido. Finalmente, el tamaño\(D\) de los elementos de rugosidad límite puede afectar las fuerzas turbulentas y movimientos cercanos al límite. Así, existen dos escalas de longitud importantes en el problema de la resistencia al flujo: diámetro de tubería y altura de rugosidad. Tendremos que asumir que la forma, el espaciado y la disposición de los elementos de rugosidad son siempre los mismos o, si son variables, son de importancia secundaria para determinar la resistencia al flujo. Ni la suposición está justificada, sino que forman un buen lugar para comenzar. No importa que si el límite es áspero hay cierta nebulosidad sobre dónde se debe tomar la posición de la pared al definir el diámetro de la tubería; al menos con respecto a la resistencia al flujo, cualquier elección razonable produce resultados consistentes siempre que la consideración se limite a rugosidad geométricamente similar.

Suponiendo que se han incluido todas las variables importantes, τo puede verse como una función de las cinco variables\(U\)\(d\),\(D\),\(\rho\), y\(\mu\). Entonces debe esperar tener una variable adimensional dependiente en función de dos variables adimensionales independientes. Se le debería ocurrir inmediatamente que una de las variables adimensionales independientes puede ser un número de Reynolds basado en\(U\) y\(d\), al que llamaré el número de Reynolds de flujo medio. La otra variable adimensional independiente es\(d/D\), naturalmente, la relación entre el diámetro de la tubería y la altura de la rugosidad. Esta variable se llama la rugosidad relativa. La variable adimensional dependiente, que debe implicar\(\tau_{\text{o}}\), tiene exactamente la misma forma y significación física que la fuerza de arrastre adimensional o coeficiente de arrastre que caracteriza el arrastre sobre una esfera que se mueve con relación a un fluido (Capítulo 2), excepto que aquí se trata de una fuerza por unidad de área en lugar de con una fuerza. Se puede verificar que una posible variable adimensional que implica\(\tau_{\text{o}}\) es 8\(\tau_{0} / \rho U^{2}\), y aunque esta no es la única posible (hay otras dos; podrías en este punto tratar de encontrarlas tú mismo) es la más útil, y es la que se usa convencionalmente. (El factor\(8\) está presente por razones de conveniencia que no necesitan preocuparnos aquí.) Esta tensión de corte límite adimensional se denomina factor de fricción, denotado por\(f\); es un tipo de coeficiente de resistencia al flujo.

La relación funcional para la resistencia al flujo se puede escribir así

\[f=\frac{8 \tau_{o}}{\rho U^{2}}=F\left(\frac{\rho U d}{\mu}, \frac{d}{D}\right) \label{4.8} \]

donde\(F\) es una función que para el flujo turbulento tiene que ser determinada por experimento.

Diagramas de Resistencia

La relación expresada en la Ecuación\ ref {4.8} se puede mostrar en una gráfica bidimensional más fácilmente trazando curvas de\(f\) vs número de Reynolds para una serie de valores de\(d/D\). La figura\(\PageIndex{7}\) muestra una gráfica de este tipo, denominada diagrama de resistencia. Los datos fueron obtenidos por Nikuradse (1933) para flujos a través de tuberías circulares revestidas con granos de arena estrechamente espaciados de tamaño aproximadamente uniforme. Una versión de la Figura\(\PageIndex{7}\) se muestra en casi todos los libros sobre el flujo de fluidos viscosos.

Figura\(\PageIndex{7}\): Gráfico de factor de fricción vs. número de Reynolds de flujo medio (diagrama de fricción de tubería) para un flujo en una tubería circular con rugosidad granular.

Dejando a un lado la parte inclinada pronunciada de la curva en el extremo izquierdo (se mantiene para el flujo laminar en la tubería, para lo cual ya hemos obtenido una solución exacta), se ve que a bastante bajo Reynolds numera la curva off vs.\(\text{Re}\) para cualquier dada\(d/D\) en la Figura\(\PageIndex{7}\) en las primeras pendientes suavemente hacia abajo a la derecha, luego se rompe, y finalmente se nivela a una línea recta horizontal. Cuanto mayor sea la rugosidad relativa, mayor será\(d/D\) el número de Reynolds en el que se produce la ruptura. Límites físicamente suaves, para lo cual\(D/d = 0\), siguen la curva descendente hasta números de Reynolds indefinidamente altos. Los flujos que trazan en esta curva descendente son aquellos que antes denominé dinámicamente suaves. Tenga en cuenta que los flujos sobre límites físicamente ásperos pueden ser dinámicamente suaves, siempre que\(d/D\) sea lo suficientemente grande. Si\(\text{Re}\) es bastante pequeña y la tubería es bastante grande,\(D\) puede ser absolutamente grande, milímetros o incluso centímetros, en flujos de agua suaves. Los flujos que trazan en las líneas rectas horizontales a la derecha son los que llamé completamente rugosos, y los de puntos intermedios son aquellos a los que llamé transicionalmente rugosos. Para un dado,\(d/D\) el flujo es suave a números bajos de Reynolds pero rugoso a números de Reynolds suficientemente altos.

En este punto hay que discutir dos cuestiones:

1. ¿Cómo\(\PageIndex{7}\) cambiarían los resultados de la Figura para tipos de elementos de rugosidad diferentes de los granos de arena uniformes pegados?
2. ¿Cómo cambiarían los resultados para conductos o canales con geometría diferente a la de una tubería circular?

La respuesta a ambas preguntas es que los resultados son cualitativamente los mismos, siempre que las características de la rugosidad no sean groseramente diferentes y que el tamaño de los elementos de rugosidad siga siendo una pequeña fracción del diámetro del conducto o profundidad del canal. Las curvas simplemente se desplazan ligeramente en posición o difieren ligeramente en forma. Para adaptar los resultados de rugosidad de arena uniforme a otros tipos de rugosidad se define una cantidad llamada rugosidad de arena equivalente, denotada por\(k_s\), como la altura de rugosidad ficticia que haría que los resultados para el tipo de rugosidad dada sean expresables por la misma gráfica que en la Figura \(\PageIndex{7}\)para tuberías de rugosidad uniforme de arena. Y para comparar los resultados de las tuberías con los de conductos o canales con diferente geometría, se acostumbra utilizar el radio hidráulico en lugar del radio de la tubería, aunque no se puede esperar que los resultados sean exactamente los mismos. Al aplicar la definición de radio hidráulico dada anteriormente en este capítulo, puede verificar que para una tubería circular el radio hidráulico se especializa en un cuarto del diámetro de la tubería. (Ya ha visto que para un flujo de canal infinitamente ancho el radio hidráulico se especializa en la profundidad del flujo).

Existe una forma equivalente de expresar resistencia que se usa específicamente para el flujo de canal abierto. Combinar la ecuación\(\tau_{\text{o}}=(f / 8) \rho U^{2}\) que define el factor de fricción\(f\) con la ecuación\(\tau_{\text{o}}=\rho g d \sin \alpha\) (Ecuación 4.2.1) para la tensión cortante límite en flujo uniforme constante hacia abajo de un plano, eliminando\(\tau_{\text{o}}\) de las dos ecuaciones, y luego resolviendo para\(U\),

\[U=\left(\begin{array}{ll}{\frac{8 g}{f}} & {d \sin \alpha}\end{array}\right)^{1 / 2} \label{4.9} \]

\[U=C(d \sin \alpha)^{1 / 2} \label{4.10} \]

donde

\[C=\left(\frac{8 g}{f}\right)^{1 / 2} \label{4.11} \]

La ecuación\ ref {4.11}, que relaciona velocidad media, profundidad de flujo y pendiente para un flujo uniforme en canales anchos, se llama la ecuación de Chézy, después del ingeniero hidráulico francés del siglo XVIII que la desarrolló por primera vez. El coeficiente\(C\), llamado coeficiente de Chézy, no es un número adimensional como el factor de fricción\(f\); tiene las dimensiones\(g^{1 / 2}\). Pero debido a que\(g\) es muy casi una constante en la superficie de la Tierra,\(C\) puede ser visto como una función sólo de\(f\). He introducido el Chézy\(C\) porque es de uso común en el trabajo sobre flujo de canal abierto, pero debes entender que no agrega nada nuevo.