5.5: El Salto Hidráulico

Todavía no hemos ordeñado el ejemplo de paso positivo, como se dispone en la Figura 5.4.6, por toda la perspicacia que brinda. Hicimos la suposición implícita de que el flujo proveniente de aguas arriba tenía una combinación de profundidad y velocidad correspondiente a\(q\) lo dado que fue el resultado de la pendiente particular del canal suave que existe para una larga distancia aguas arriba; ver la sección anterior sobre flujo uniforme. La combinación de pendiente, descarga por unidad de ancho y rugosidad del lecho fue tal que proporcionó flujo subcrítico en ese\(d\) y\(U\). Debemos esperar que el flujo quisiera volver a asentarse en esa misma condición subcrítica, en algún lugar muy aguas abajo del escalón. Pero acaba de ver que para un paso suficientemente alto, lo suficientemente alto como para que el flujo alcance la condición de flujo crítico, pero no tan alto como para cambiar el flujo aguas arriba, el flujo a cierta distancia aguas abajo del escalón es supercrítico. ¿Cómo, entonces, el flujo pasa de ser supercrítico, justo aguas abajo del paso, a subcrítico muy aguas abajo? La respuesta es que comúnmente en situaciones como esta el cambio de supercrítico a subcrítico es abrupto, en forma de lo que se llama un salto hidráulico, más que gradual.

Figura\(\PageIndex{1}\): El salto hidráulico. La distribución de la presión hidrostática se muestra en sección\(1\), aguas arriba del salto, y en sección\(2\), aguas abajo del salto.

Los saltos hidráulicos son una característica llamativa del flujo de canal abierto. Todos los has visto, aunque sólo sea en el fregadero de tu cocina. Enciende el grifo con toda su fuerza, y el chorro descendente choca en el fondo del fregadero para formar una delgada lámina de agua de rápido movimiento, con profundidad y velocidad supercríticas, que se extiende en todas las direcciones. Pero en cierto radio desde el punto de impacto del chorro, que depende de la fuerza del chorro descendente, el flujo salta hasta un flujo más profundo y más lento a medida que se mueve hacia el desagüe. El salto es en forma de un frente empinado y casi estacionario acompañado de fuertes turbulencias (Figura\(\PageIndex{1}\)). Otra situación en la que comúnmente se forma un salto hidráulico es aguas abajo de un cambio de una pendiente de canal relativamente pronunciada, con la que se asocia el flujo supercrítico, a una pendiente de canal relativamente suave, sobre la cual un flujo uniforme sería subcrítico. Si el cambio en la pendiente es suficientemente rápido, la transición del flujo supercrítico al flujo subcrítico es en forma de un salto hidráulico en lugar de un cambio suave en profundidad y velocidad.

La naturaleza del salto hidráulico no puede explicarse por el uso de la ecuación energética, porque existe una disipación sustancial de energía debido a la turbulencia asociada con el salto; necesitamos apelar en cambio a la conservación del impulso.

Figura\(\PageIndex{2}\): Croquis de definición para derivar el diagrama de momento para el flujo a través de un salto hidráulico. El bloque de fluido contenido entre secciones\(1\) y\(2\) en un momento dado se ubica entre secciones\(1^{\prime}\) y\(2^{\prime}\) poco tiempo\(\Delta t\) después.

La figura\(\PageIndex{1}\) es una vista en sección transversal del flujo desde aguas arriba del salto hidráulico hasta aguas abajo del mismo. Mira un bloque del flujo delimitado por planos verticales imaginarios en secciones transversales\(1\) y\(2\). Las distribuciones de las fuerzas de presión hidrostática se muestran en las caras aguas arriba y aguas abajo del bloque. Tendrías que ubicar sección a una distancia\(2\) bastante aguas abajo del salto, ya que tarda una larga distancia para que el flujo aguas abajo se organice. En ausencia de cualquier obstáculo sumergido para el flujo entre secciones\(1\) y\(2\), las únicas fuerzas a lo largo de la corriente sobre el fluido en el bloque son las fuerzas de presión en las caras aguas arriba y aguas abajo; el salto hidráulico en sí mismo no ejerce ninguna fuerza sobre el flujo. Para ver el efecto de estas fuerzas, necesitamos hacer algo de contabilidad de impulso para su uso en la segunda ley de Newton,\(F = ma\). Para ello, mire Figura\(\PageIndex{2}\), un ligero redibujo de Figura\(\PageIndex{1}\).

En un corto intervalo de tiempo\(\Delta t\), el bloque de fluido se mueve aguas abajo de posiciones\(1\) y\(2\) a posiciones\(1^{\prime}\) y\(2^{\prime}\). En ese tiempo ha perdido impulso igual al del fluido que estaba entre secciones\(1\) y\(1^{\prime}\). Ese momento, escrito por unidad de ancho de flujo (recuerde que el canal es del mismo ancho desde aguas arriba hasta aguas abajo del salto hidráulico) es\(\left[\rho d_{1}(\Delta x)_{1}\right] U_{1}\), donde\(U_{1}\) está la velocidad media en sección\(1\). Esto se puede expresar de manera ligeramente diferente, teniendo en cuenta eso\(U_{1} = (\Delta x)_{1} / \Delta t\) y\(q = Ud\), como\(\rho d_{1} U_{1}^{2} \Delta t\), o\(\rho q U_{1} \Delta t\). Esto se puede escribir en otra forma más eliminando\(U_{1}\) por uso de la relación\(q = Ud\) nuevamente:\(\left(q^{2} \rho / d_{1}\right) \Delta t\). De igual manera, durante\(\Delta t\) el bloque de fluido ha cobrado impulso igual al del fluido que se ha movido para ocupar el volumen entre secciones\(2\) y\(2^{\prime}\):\(\left(q^{2} \rho / d_{2}\right) \Delta t\). El cambio en el momento a medida que el bloque de fluido se mueve de una posición\(1–2\) a\(1^{\prime}–2^{\prime}\) otra es entonces

\[\left(\frac{q^{2} \rho}{h_{1}}\right) \Delta t-\left(\frac{q^{2} \rho}{h_{2}}\right) \Delta t \label{5.15} \]

o

\[\left(\frac{q^{2} \rho}{h_{1}}-\frac{q^{2} \rho}{h_{2}}\right) \Delta t \label{5.16} \]

La tasa de tiempo de cambio de momento del bloque de fluido se obtiene luego dividiendo por el intervalo de tiempo\(\Delta t\):

\[\frac{q^{2} \rho}{h_{1}}-\frac{q^{2} \rho}{h_{2}} \label{5.17} \]

Según la segunda ley de Newton, podemos establecer esta tasa de cambio de impulso igual a la fuerza neta en el flujo sobre el bloque de fluido,\(F_{1}\) (actuando en la dirección aguas abajo) menos\(F_{2}\) (actuando en la dirección aguas arriba). La distribución lineal de las fuerzas de presión hidrostática en las caras aguas arriba y aguas abajo del bloque de fluido facilita la búsqueda de las fuerzas resultantes\(F_{1}\) y\(F_{2}\):

\[F_{1}=\int_{0}^{h_{1}} \rho g y d y=\frac{1}{2} \rho g h_{1}^{2} \label{5.18} \]

y de igual manera\(\mathrm{F}_{2}=(1 / 2) \rho \mathrm{g} d_{2}^{2}\). La fuerza neta sobre el bloque de fluido es entonces

\[F_{1}-F_{2}=\frac{\rho g h_{1}^{2}}{2}-\frac{\rho g h_{2}^{2}}{2} \label{5.19} \]

Por último, fijando esta fuerza neta igual a la tasa de cambio de impulso,

\[\frac{q^{2} \rho}{h_{1}}-\frac{q^{2} \rho}{h_{2}}=\frac{\rho g h_{1}^{2}}{2}-\frac{\rho g h_{2}^{2}}{2} \label{5.20} \]

Podemos masajear esto un poco para ponerlo en una forma que sea más conveniente para nuestros propósitos al reorganizarlo y dividirlo por\(\rho g\):

\[\left(\frac{q^{2}}{g h_{1}}+\frac{h_{1}^{2}}{2}\right)-\left(\frac{q^{2}}{g h_{2}}+\frac{h_{2}^{2}}{2}\right)=0 \label{5.21} \]

Lo que comúnmente se hace es definir una cantidad

\[M=\frac{q}{g d}+\frac{d^{2}}{2} \label{5.22} \]

llamada la función momentum. Entonces la Ecuación\ ref {5.21} se reduce a\(M_{1} - M_{2} = 0\), lo que dice que la función de impulso no cambia a través de la transición, siempre que no actúen sobre el bloque de fluido fuerzas distintas de las fuerzas de presión hidrostática (como las fuerzas de resistencia ejercidas por obstáculos en el fondo del canal).

Al igual que con la energía específica en una sección anterior, podemos trazar una gráfica útil de la función de impulso\(M\) contra la profundidad de flujo d (Figura 5-15). Y al igual que con el diagrama de energía específica (Figura 5.2.1), se puede verificar la forma de la curva en la Figura\(\PageIndex{3}\) asumiendo un valor para\(q\), eligiendo algunos valores para\(d\), y calculando los valores correspondientes de\(M\); en este caso, sin embargo, no hay nada poco realista miembro de la función debajo del\(d = 0\) eje. Existe una familia de curvas, de la forma general mostrada en la Figura\(\PageIndex{3}\), una por cada valor de descarga por unidad de ancho\(q\). Al igual que con el diagrama específico de energía, todos los puntos del miembro superior de cada curva, por encima del punto de tangente vertical, representan el flujo supercrítico, y todos los puntos del miembro inferior, por debajo del punto de tangente vertical, representan el flujo subcrítico.

Figura\(\PageIndex{3}\): El diagrama de momento: una gráfica de la función de impulso\(M\) vs. profundidad de flujo\(y\), mostrada para una de una familia de curvas para valores de descarga por unidad de ancho,\(q\).

Ahora tenemos las herramientas para predecir la altura del salto hidráulico. Comenzamos en el punto\(1\) de la extremidad inferior supercrítica de la curva en la Figura\(\PageIndex{3}\), y saltamos hasta el punto\(2\), al mismo valor de\(M\) pero en la extremidad superior, subcrítica, correspondiente al flujo subcrítico más profundo aguas abajo del salto hidráulico. Se puede ver que cuanto más cerca de la condición crítica está el flujo supercrítico aguas arriba, menor es la altura del salto hidráulico al flujo subcrítico, representado por la distancia vertical entre los respectivos puntos de intersección de la línea vertical\(M =\) constante con las dos extremidades del curva en la Figura\(\PageIndex{3}\).

Nota

Así como las formas de las curvas en la familia de curvas con q como parámetro en la Figura\(\PageIndex{3}\) difieren de las formas de las curvas correspondientes en la Figura 5.2.1, el diagrama específico de cabeza, también lo hacen las ecuaciones para la condición de flujo crítico, pero eso no tiene por qué preocuparnos aquí. Usted mismo puede dar un paso más, el mismo que para el diagrama específico de cabeza, para encontrar la forma de la curva para los flujos críticos en Figura\(\PageIndex{2}\), el diagrama de función de momento.

Por último, una nota incidental está en orden. El flujo subcrítico aguas abajo del salto, que surge de las consideraciones anteriores, no es exactamente de la misma profundidad y velocidad que el flujo uniforme subcrítico que finalmente se alcanza muy aguas abajo del escalón; hay un ajuste posterior lento a esa condición.