10.5: Suspensión en un Flujo de Cizalla- La Teoría Difusional de la Suspensión

Las partículas suspendidas se mantienen por encima del lecho por el movimiento turbulento del fluido. El peso de la partícula se transmite directamente al fluido, por medio de la fuerza de arrastre ejercida por las partículas a medida que caen a través del fluido circundante, y aumenta la presión del fluido hidrostático en el lecho, de la misma manera que un avión en vuelo aumenta la presión atmosférica de una manera mal definida área circular en el suelo de abajo. Las partículas suspendidas ejercen así una fuerza sobre el lecho, aunque indirectamente, en contraste con las fuerzas directas ejercidas sobre el lecho por el movimiento de las partículas de carga de lecho.

Teóricamente es posible que las partículas se muevan a través del fluido cerca del lecho sin estar realmente en contacto con el lecho, y sin embargo no estar en suspensión. Esto sucede en la verdadera saltación: el movimiento balístico de las partículas es el resultado de fuerzas de levantamiento de fluidos y/o partículas que golpean el lecho, pero no depende en absoluto de la turbulencia, y de hecho Francis (1973) ha descrito la salación de partículas en un flujo laminar. También se ha postulado que las partículas pueden mantenerse en un estado disperso cerca del lecho por colisiones reales entre partículas o por casi fallas que producen fuerzas viscosas con componentes verticales que mantienen las partículas por encima del lecho. Se trata de la “presión dispersiva” de Bagnold (1956), cuya efectividad sigue siendo objeto de debate.

Se señaló anteriormente en este capítulo que las partículas primero comienzan a viajar en suspensión cuando el componente vertical de la turbulencia (o, más precisamente, el componente normal al lecho de la turbulencia) se vuelve aproximadamente igual a la velocidad de sedimentación de las partículas (Ecuación 10.3.2). Como se señaló anteriormente, no existe una manera natural de caracterizar la magnitud de este componente fluctuante de la velocidad vertical del fluido, debido a que fluctúa en un amplio rango de valores; el valor rms suele emplearse para caracterizar su magnitud para este propósito. Contrariamente a una visión que a veces se ha expresado en la literatura, la suspensión no depende de la asimetría en la distribución de frecuencias de las velocidades fluctuantes verticales: siempre que al menos algunas de las fluctuaciones verticales sean mayores que las velocidades de sedimentación de las partículas, algunas de las las partículas experimentan suspensión, aunque la distribución de frecuencias de las velocidades fluctuantes sea asimétrica, porque las condiciones seguirían siendo propicias para la difusión (ver Capítulo 1): movimientos aleatorios del medio, en combinación con un gradiente ascendente en la concentración de sedimentos, desde distintos de cero en la capa de carga de cama a algún valor menor, tal vez incluso cero, a una altura mayor por encima de la cama. Tal asimetría en la distribución de frecuencias de las velocidades verticales podría, sin embargo, afectar los detalles de la distribución de la concentración.

Antes de abordar el caso más importante pero más complicado de suspensión en un flujo de cizallamiento turbulento, veremos la suspensión por turbulencia homogénea e isotrópica. Las características de la turbulencia no varían de un lugar a otro dentro de una determinada región del fluido, y tampoco varían con la dirección en ningún punto dentro de esa región. Rouse (1939), el primero en estudiar la suspensión de sedimentos de esta manera, produjo una aproximación cercana a la turbulencia isotrópica al oscilar verticalmente una matriz de rejillas cuadradas en un cilindro vertical de gran diámetro (“jarra de turbulencia”).

El flujo volumétrico descendente de partículas por sedimentación, desde una región en el fluido que tiene una concentración\(C\) de partículas de tamaño uniforme, es\(-wC\). Es razonable suponer que la difusión vertical ascendente de las partículas sigue una ley de difusión fickiana, como muchos otros procesos de difusión (ver Capítulo 1), de manera que el flujo volumétrico ascendente de partículas por difusión es\(\varepsilon_{S} d C / d y\), donde\(\varepsilon_{S}\) está un coeficiente de difusión, que debería ser constante en un campo de turbulencia isotrópica de cualquier tipo y fuerza en particular, y la\(y\) dirección positiva es hacia arriba. La equiparación de los dos flujos da una expresión para la distribución vertical de la concentración de partículas suspendidas:

\[w C+\varepsilon_{S} \frac{d C}{d y}=0 \label{10.8} \]

La expresión resultante para la concentración de sedimentos suspendidos en función de la altura y sobre el lecho, desarrollada a continuación, a veces se denomina teoría difusional de la concentración de sedimentos suspendidos. También parece razonable que el coeficiente de difusión\(\varepsilon_{S}\) sea proporcional, si no realmente igual al coeficiente correspondiente para la difusión del momento del fluido, es decir, la viscosidad cinemática de Foucault, y por lo tanto en un frasco de turbulencia debe ser proporcional a la frecuencia de vertical oscilación de la rejilla. Rouse verificó que este es el caso, confirmando así la validez de la ecuación de difusión (ver también los resultados experimentales reportados por Antsyferov y Kos'yan, 1980).

En la naturaleza, la turbulencia homogénea e isotrópica es la excepción; tenemos que lidiar con turbulencias que típicamente varían en sus características con la distancia desde el límite, y al menos en cierta medida con la dirección, principalmente normal al límite en cualquier punto. En un flujo de cizallamiento turbulento, como por ejemplo, en un río, una corriente de marea, o un viento fuerte, donde la turbulencia no es ni siquiera aproximadamente homogénea e isotrópica excepto quizás a grandes distancias del lecho, debemos esperar que el coeficiente de difusión varíe en la dirección\(y\) normal al lecho, por lo que necesitamos una expresión que nos diga cómo varía con\(y\) antes de poder hacer uso de la Ecuación\ ref {10.8} para predecir cómo varía la concentración de sedimentos con\(y\).

Para encontrar tal expresión asumimos que el coeficiente de difusión del sedimento es proporcional\(\varepsilon_{S}\) a la viscosidad de Foucault\(\varepsilon\), dado por

\[\tau=\rho \varepsilon \frac{d u}{d y} \label{10.9} \]

Suponiendo que\(\varepsilon_{S}=\beta \varepsilon\), entonces

\[\tau=\frac{\varepsilon_{S} \rho}{\beta} \frac{d u}{d y} \label{10.10} \]

donde\(\beta\) es un coeficiente que probablemente sea cercano a uno. Ya sabes que\(\tau\) varía linealmente con flujo\(y\) de canal abierto uniforme,

\[\tau=\tau_{\text{o}}\left(1-\frac{y}{d}\right) \label{10.11} \]

(véase el capítulo 4), por lo que

\(\varepsilon_{S}=\frac{\frac{\beta \tau_{\text{o}}}{\rho}\left(1-\frac{y}{d}\right)}{\frac{d u}{d y}}\)

\[=\frac{\beta u_{*}^{2}\left(1-\frac{y}{d}\right)}{\frac{d u}{d y}} \label{10.12} \]

Usando la ley del muro en forma diferencial (Capítulo 4),

\[\frac{d u}{d y}=\frac{u_{*}}{\kappa y} \label{10.13} \]

tenemos

\[\varepsilon_{S}=\beta u_{*}\left(1-\frac{y}{d}\right) \kappa y \label{10.14} \]

La ecuación\ ref {10.14} es la relación entre\(\varepsilon_{S}\) y\(y\) que necesitamos para resolver la Ecuación\ ref {10.10}. Combinando Ecuaciones\ ref {10.8} y\ ref {10.14} da

\[\frac{d C}{C}=\frac{-w d y}{\beta \kappa u_{*}\left(1-\frac{y}{d}\right) y} label{10.15} \]

que se puede integrar para dar la ecuación derivada primero por Rouse (1937):

\[\ln C=\frac{w}{\beta \kappa u_{*}} \int_{a}^{d} \frac{d y}{\left(1-\frac{y}{d}\right) y} label{10.16} \]

o

\[\frac{C}{C_{a}}=\left(\frac{d-y}{y} \frac{a}{d-a}\right)^{z} \label{10.17} \]

donde

\[z=\frac{w}{\beta \kappa u_{*}} \label{10.18} \]

Al exponente\(z\) se le llama a veces el número de Rouse.

Se puede ver en Ecuaciones\ ref {10.17} y\ ref {10.18} que cuanto mayor sea el valor de\(z\), más rápidamente disminuye la concentración de sedimentos suspendidos con la altura por encima del nivel de referencia\(a\). La ecuación\ ref {10.17}, graficada en la Figura \(\PageIndex{1}\), da la concentración de sedimento suspendido de una velocidad de sedimentación dada\(w\) a una altura\(y\) por encima del lecho en relación con su concentración\(C_{a}\) a un “nivel de referencia” arbitrariamente elegido\(y = a\) por encima del cama.

Figura\(\PageIndex{1}\): Cortesía de la Sociedad Americana de Ingenieros Civiles. Usado con permiso. Distribución de las concentraciones relativas de sedimentos suspendidos con profundidad relativa por encima del dato\(y = 0.011-3711-485d\). (De Vanoni, 1975.)

Idealmente, la concentración de referencia se\(C_{a}\) tomaría lo más cerca posible del lecho pero aún lo suficientemente por encima del lecho como para que un equilibrio entre la sedimentación descendente y la difusión turbulenta ascendente del sedimento suspendido sea físicamente razonable. La teoría falla muy cerca del lecho, porque allí no es aplicable un equilibrio entre la difusión turbulenta ascendente pasiva y la sedimentación descendente: los movimientos de las partículas en y muy cerca del lecho son controlados por las fuerzas de elevación y arrastre del fluido, y si las concentraciones son altas estos movimientos pueden verse afectados significativamente por colisiones o interacciones entre partículas. La altura de referencia a por encima de la cama está naturalmente justo por encima de la capa de carga de cama. Esto es consistente con la idea de que la concentración de sedimentos en la parte superior de la capa de carga de lecho actúa como una condición límite inferior para la distribución del sedimento suspendido más alto en el flujo. Esto señala el problema de especificar la concentración de sedimentos suspendidos en términos absolutos y no relativos: aún no se ha desarrollado una teoría exitosa para la concentración de carga de lecho en función de las condiciones de flujo y sedimento. Debido a que la estructura del flujo y la dinámica del movimiento de la cama-carga son tan complejas en la capa cercana al lecho cuando el flujo es lo suficientemente fuerte como para mover el sedimento en suspensión, no se ha desarrollado una manera elegante de poner esta idea atractiva, que la carga del lecho forma la condición límite inferior para la carga suspendida, en la práctica útil.

Los experimentos para probar la Ecuación\ ref {10.19} fueron reportados por Vanoni (1946). Estos experimentos se realizaron principalmente a velocidades relativamente altas sobre un lecho plano (ya sea un lecho de arena o el piso rígido del canal) y a concentraciones variables de arena. Vanoni encontró un acuerdo general entre las concentraciones de sedimentos pronosticadas y observadas (Figura\(\PageIndex{1}\)).

Debido a que ambos\(\beta\) y se supone que\(\kappa\) son constantes, el factor principal que determina la distribución del sedimento suspendido con altura\(y\) por encima del lecho debe ser la relación entre la velocidad de sedimentación y la velocidad\(w\) de cizallamiento\(u_{*}\). Se sugirió en una sección anterior de este capítulo que una relación crítica de aproximadamente uno determina si alguna partícula entrará en suspensión: ya que\(\beta \approx 1\) y\(\kappa \approx 0.4\),\(w/u_{*}\) menos de una corresponde a\(z\) menos de\(2.5\). Podemos ver en la Figura\(\PageIndex{1}\) que a valores\(z\) mayores que\(2.5\) cualquier sedimento en suspensión se concentraría en una zona muy cercana al lecho y esto tiende a confirmar la elección de\(w/u_{*}\) como criterio adecuado para la suspensión.

Dos factores en los flujos de canal abierto tienen un efecto directo sobre la relación\(w/u_{*}\) y, por lo tanto, en el perfil vertical de la concentración de sedimentos suspendidos: viscosidad y fricción. Primero la viscosidad: para un tamaño y forma de partícula dados,\(w\) se reduce por un aumento en la viscosidad detectada por las partículas de sedimentación. Eso se puede lograr de dos maneras: una reducción en la temperatura del fluido, lo que aumenta la viscosidad del propio fluido, o un aumento en la concentración de carga de lavado. En este último caso, la viscosidad del fluido sigue siendo la misma pero la viscosidad efectiva del medio deformable (el fluido cargado con carga de lavado) que es detectada por las partículas de la carga de material de cama suspendida, que son mucho mayores que las partículas de la carga de lavado, es mayor. Ambos efectos actúan para reducir la relación\(w/u_{*}\), y de ahí el número de Rouse\(z\), y hacer que el sedimento se distribuya de manera más uniforme en la vertical (Ecuación\ ref {10.19}). Sin embargo, el efecto de viscosidad del fluido disminuye con el aumento del número de Reynolds de velocidad de sedimentación y se vuelve poco importante cuando se alcanza el rango de números de Reynolds para los cuales el coeficiente de arrastre es aproximadamente constante; ver Capítulo 2.

Ahora para el efecto de la fricción: para una velocidad de flujo media dada, un aumento en el coeficiente de fricción del fondo provoca un aumento en el esfuerzo cortante del fondo y, por lo tanto, en la velocidad de cizallamiento. Para ver por qué, volver a la definición del factor de fricción\(f\) (Ecuación 4.7.7 en el Capítulo 4):\(\tau_{\text{o}} = (f/8)\rho U^{2}\), o\(U/u_{*} = (8/f)^{1/2}\). Por lo tanto, un aumento en la velocidad de cizallamiento también resulta en una distribución vertical más uniforme del sedimento suspendido, al disminuir la relación\(w/u_{*}\). En los ríos de lecho arenoso, los cambios en f se producen principalmente por cambios en la rugosidad relativa, que depende principalmente de la naturaleza y tamaño de las formas de lecho. Las formas de lecho grande, como las dunas, producen grandes valores de\(f\), y por lo tanto hacen que el sedimento suspendido del material del lecho se distribuya de manera más uniforme en la vertical que si el lecho fuera plano. De hecho, se observa en estudios de canales que la concentración de sedimentos suspendidos promediada verticalmente disminuye algo en la transición de un lecho de arena cubierto de duna a un lecho plano de régimen superior, con su consiguiente disminución en la resistencia al flujo, a medida que aumenta la velocidad de flujo.

La teoría de la suspensión por flujos turbulentos descrita anteriormente se basa en el supuesto de que el flujo es estable. Esta es una aproximación razonable para la mayoría de los ríos, pero las corrientes mareales cambian bastante rápidamente tanto en profundidad como en velocidad a lo largo del ciclo de las mareas. Se ha demostrado que en los flujos de cizallamiento turbulentos experimentales, los flujos de desaceleración tienen mayores intensidades de turbulencia y producen mayores esfuerzos de cizallamiento en el lecho, que los flujos constantes. Por lo tanto, podría esperarse que los flujos desacelerados sean más erosivos y tengan una mayor capacidad de sedimento suspendido que los flujos constantes o acelerados. Wimbush y Munk (1970), Gordon y Dohne (1973), Gordon (1975), Bohlen (1977) y McCave (1979) han reportado mediciones que sugieren que las intensidades de turbulencia son más altas de lo normal durante la desaceleración de flujos tanto en mareas de inundación como de reflujo. Gordon (1975) y Bohlen (1977) han comentado las implicaciones para el transporte de sedimentos suspendidos por las corrientes de marea, pero aún faltan pruebas directas convincentes del efecto de la desaceleración en el transporte de sedimentos por las corrientes de marea.

La teoría difusional de la suspensión presentada anteriormente se basa en el supuesto de que la turbulencia difunde los sedimentos de acuerdo con una simple ley de difusión (“fickiana”). Esta suposición está razonablemente de acuerdo con el experimento, pero no es la única base posible para una teoría de la suspensión de sedimentos. Las teorías alternativas, basadas en diferentes supuestos, son descritas por Nordin y McQuivey 1971), Drew (1975; véase también Drew y Kogelman, 1975), Willis (1979), Herczynski y Pienkovska (1980), y McTigue (1981), entre otras.

Si bien la teoría difusional de la suspensión de sedimentos ha sido descrita como “el logro analítico más brillante hasta la fecha en el campo de la hidráulica fluvial” (Hsu et al., 1980; véase también Kennedy, 1984, p. 1257), en el sentido de que representa un enfoque teórico elegante y racional, basado en razonablemente bien entendido efectos físicos, que le va bastante bien en sus predicciones sin depender de ningún “factor fudge” sospechoso, está sujeto a una serie de críticas:

• La teoría no toma en cuenta los detalles de cómo las partículas de sedimento son realmente manejadas por los remolinos en el campo de flujo turbulento. Hay dos aspectos diferentes en esto. Uno tiene que ver con el efecto interesante y contradictorio de la tendencia de los remolinos a atrapar partículas de sedimentos (Tooby et al. 1977; Nielsen, 1984), discutido brevemente en el Capítulo 3. La otra es que la teoría asume turbulencia que es isotrópica en sus movimientos verticales, es decir, que la distribución de frecuencia de la velocidad vertical es simétrica. Hay buenas razones para creer, sin embargo, que cerca del lecho el componente vertical es anisotrópico (Leeder 1983a, 1983b): los movimientos ascendentes menos comunes son más fuertes que los movimientos descendentes más comunes en esta región, como se esperaría de la estructura semicoherente de barrido-ráfaga de la turbulencia cercana al lecho (Capítulo 4). Como propuso por primera vez Bagnold (1966), y desarrollada por Leeder (1983a, 1983b), la anisotropía en las velocidades turbulentas verticales es la que mantiene el sedimento en suspensión, con la implicación de que sin esta anisotropía la concentración de sedimento en suspensión sería mucho menor. El defecto en este concepto es que, para mantener el equilibrio de las masas de fluido que pasan hacia arriba y hacia abajo en el campo de turbulencia, los remolinos que se mueven hacia abajo deben cubrir un área mayor, en cualquier plano a través del flujo que es paralelo al límite inferior, que los remolinos que se mueven hacia arriba, manteniendo así un equilibrio intercambio de sedimentos incluso ante la anisotropía vertical de turbulencia. A pesar de algunas afirmaciones en la literatura que dicen lo contrario, dicha anisotropía es solo un efecto distorsionador menor sobre la teoría difusional, y no es una condición necesaria para el mantenimiento del sedimento de material de lecho en suspensión.
• Vanoni (1946, y muchas investigaciones posteriores reportadas y analizadas en Vanoni, 1975) encontraron que en algunos experimentos, particularmente aquellos en los que había una alta concentración de sedimento grueso cerca del lecho, el valor de la constante supuestamente universal de von Kármán disminuyó de su valor aceptado de \(0.38\)a valores tan bajos como\(0.2\). Interpretó esto como indicio de que la presencia de arena que se mueve cerca del límite cambió la estructura de turbulencia en el flujo. La constante von Kármán\(\kappa\) juega un papel fundamental en la teoría difusional del sedimento suspendido, en virtud de su efecto sobre el gradiente de velocidad de flujo promedio en tiempo en la ley de la pared (Ecuación\ ref {10.15}); si en sí misma\(\kappa\) se ve afectada de manera no despreciable por la presencia de sedimentos suspendidos, entonces se convierte en parte del problema en lugar de una entrada independiente al problema, y la teoría se volvería mucho más complicada.
• Además de la incertidumbre sobre\(\kappa\), varios autores han reportado grandes\(\beta\) desviaciones del valor esperado cerca de la unidad. Hay razones para esperar que las partículas sólidas no se difundan a la misma velocidad que el momento del fluido, y que la relación de las dos velocidades de difusión no sea constante sino que varíe con las propiedades tanto del sedimento como de la turbulencia del fluido. En la actualidad no existe una manera satisfactoria de predecir el valor de\(\beta\). Presumiblemente la predicción sólo será posible cuando haya una mejor comprensión del mecanismo de difusión.
• En la teoría habitual se asume que el coeficiente de difusión del sedimento es proporcional a la viscosidad de Foucault y la distribución con profundidad a dar por la Ecuación\ ref {10.18}. Esta ecuación predice que\(\varepsilon_{S}\) (y\(\varepsilon\)) caerá lentamente a cero a medida que se acerca la superficie libre. Debido a que el sedimento no puede difundirse a través de la superficie libre, allí\(\varepsilon_{S}\) debe ser igual a cero. Coleman (1970) ha calculado, sin embargo, εs directamente a partir de los valores observados de\(C\) y\(dC/dy\) usando la Ecuación\ ref {10.8}. Encontró que existe una fuerte dependencia de la profundidad solo cerca del lecho; sobre la mayor parte del flujo, e incluso bastante cerca de la superficie libre,\(\varepsilon_{S}\) parece ser independiente de la profundidad.

Por todas estas razones, la teoría difusional de la suspensión de sedimentos, aunque es una teoría mejor que la disponible para la mayoría de los aspectos del transporte de sedimentos, aún debe considerarse algo menos que completamente satisfactoria.

Una nota sobre el efecto de la aceleración de la gravedad en el movimiento de los sedimentos

Vale la pena considerar cómo el movimiento de sedimentos y las configuraciones de lecho en los flujos de agua pueden diferir donde la aceleración de la gravedad es diferente. De vuelta en el Capítulo 8, en la sección de variables adimensionales), se desarrolló un conjunto de variables adimensionales en las que las variables principales en un sistema de transporte de sedimentos, —variables con dimensiones de longitud, como tamaño de partícula, o variables con dimensiones de velocidad— pueden organizarse en tal manera que cada una de las variables principales se secuestró en su propia versión adimensional. En cada una de esas variables, también entra la aceleración de la gravedad. Si la gravedad es diferente, cualquier variable de longitud o velocidad en un sistema dinámicamente similar también debe ser diferente. Southard y Boguchwal (1990) muestran que, en el caso de Marte, para el que la aceleración de la gravedad es solo unas\(0.4\) veces la de la Tierra, una variable de longitud en Marte sería aproximadamente\(1.36\) veces que en la Tierra, y una variable de velocidad en Marte sería aproximadamente\(0.74\) veces que en la tierra, para un sistema dinámicamente similar.

Referencias Citadas Capítulo 10

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