Saltar al contenido principal
Library homepage
 
LibreTexts Español

B.1: Introducción

  • Page ID
    103524
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La inducción es una técnica de prueba importante que se utiliza, en diferentes formas, en casi todas las áreas de la lógica, la informática teórica y las matemáticas. Se necesita para probar muchos de los resultados en la lógica.

    La inducción a menudo se contrasta con la deducción, y se caracteriza como la inferencia de lo particular a lo general. Por ejemplo, si observamos muchas esmeraldas verdes, y nada de lo que llamaríamos esmeralda que no sea verde, podríamos concluir que todas las esmeraldas son verdes. Esta es una inferencia inductiva, en que procede de muchos casos partículares (esta esmeralda es verde, esa esmeralda es verde, etc.) a una afirmación general (todas las esmeraldas son verdes). La inducción matemática es también una inferencia que concluye una afirmación general, pero es de un tipo muy diferente a esta “inducción simple”.

    Muy aproximadamente, una prueba inductiva en matemáticas concluye que todos los objetos matemáticos de cierto tipo tienen cierta propiedad. En el caso más simple, los objetos matemáticos a los que se refiere una prueba inductiva son los números naturales. En ese caso se utiliza una prueba inductiva para establecer que todos los números naturales tienen alguna propiedad, y lo hace demostrando que

    1. \(0\)tiene la propiedad, y (2)

    2. siempre que un número\(k\) tenga la propiedad, también lo hace\(k+1\).

    La inducción en números naturales también se puede usar a menudo para demostrar general sobre los objetos matemáticos a los que se les pueden asignar números. Por ejemplo, los conjuntos finitos tienen cada uno un número finito\(n\) de elementos, y si podemos usar inducción para mostrar que cada número\(n\) tiene la propiedad “todos los conjuntos finitos de tamaño\(n\) son...” entonces habremos mostrado algo sobre todos los conjuntos finitos.

    La inducción también puede generalizarse a objetos matemáticos que se definen inductivamente. Por ejemplo, las expresiones de un lenguaje formal como las de la lógica de primer orden se definen inductivamente. La inducción estructural es una manera de probar resultados sobre todas esas expresiones. La inducción estructural, en particular, es muy útil y ampliamente utilizada en la lógica.


    This page titled B.1: Introducción is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Richard Zach et al. (Open Logic Project) .