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# B.2: Inducción en

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En su forma más simple, la inducción es una técnica utilizada para demostrar resultados para todos los números naturales. Utiliza el hecho de que al comenzar$$0$$ y sumar repetidamente eventualmente$$1$$ alcanzamos cada número natural. Entonces, para probar que algo es cierto para cada número, podemos (1) establecer que es cierto para$$0$$ y (2) mostrar que siempre que sea cierto para un número$$n$$, también lo es para el siguiente número$$n+1$$. Si abreviamos “número$$n$$ tiene propiedad$$P$$” por$$P(n)$$ (y “número$$k$$ tiene propiedad$$P$$” por$$P(k)$$, etc.), entonces una prueba por inducción que$$P(n)$$ para todos $$n \in \Nat$$consta de:

1. una prueba de$$P(0)$$, y

2. una prueba de que, para cualquiera$$k$$, si$$P(k)$$ entonces$$P(k+1)$$.

Para que esto quede claro como el cristal, supongamos que tenemos tanto (1) como (2). Entonces (1) nos dice que eso$$P(0)$$ es cierto. Si también tenemos (2), sabemos en particular que si$$P(0)$$ entonces$$P(0+1)$$, es decir,$$P(1)$$. Esto se desprende de la declaración general “para cualquiera$$k$$, si es que$$P(k)$$ entonces$$P(k+1)$$” poniendo$$0$$ para$$k$$. Entonces por modus ponens, tenemos eso$$P(1)$$. De (2) otra vez, tomando ahora$$1$$ para$$n$$, tenemos: si$$P(1)$$ entonces$$P(2)$$. Desde que acabamos de establecer$$P(1)$$, por modus ponens, tenemos$$P(2)$$. Y así sucesivamente. Para cualquier número$$n$$, después de hacer estos$$n$$ tiempos, finalmente llegamos a$$P(n)$$. Entonces (1) y (2) juntos establecen$$P(n)$$ para cualquier$$n \in \Nat$$.

Veamos un ejemplo. Supongamos que queremos saber cuántas sumas diferentes podemos lanzar con$$n$$ dados. A pesar de que pueda parecer una tontería, comencemos con$$0$$ los dados. Si no tienes dados solo hay una suma posible que puedes “lanzar”: no hay puntos en absoluto, que suma a$$0$$. Entonces el número de diferentes lanzamientos posibles es$$1$$. Si solo tienes un dado, es decir,$$n=1$$, hay seis valores posibles,$$1$$ a través de$$6$$. Con dos dados, podemos lanzar cualquier suma de$$2$$ a través$$12$$, eso es$$11$$ posibilidades. Con tres dados, podemos lanzar cualquier número desde$$3$$ hasta$$18$$, es decir,$$16$$ diferentes posibilidades. $$1$$,$$6$$,$$11$$,$$16$$: parece un patrón: ¿tal vez la respuesta es$$5n+1$$? Por supuesto,$$5n+1$$ es el máximo posible, porque solo hay$$5n+1$$ números entre$$n$$, el valor más bajo que puedes lanzar con$$n$$ dados (todos$$1$$) y$$6n$$, el más alto puedes lanzar ( $$6$$todos's).

Teorema$$\PageIndex{1}$$

Con$$n$$ los dados se pueden lanzar todos los valores$$5n+1$$ posibles entre$$n$$ y$$6n$$.

Comprobante. $$P(n)$$Sea el reclamo: “Es posible lanzar cualquier número entre$$n$$ y$$6n$$ usando$$n$$ dados”. Para utilizar la inducción, demostramos:

1. La base de inducción$$P(1)$$, es decir, con un solo dado, puedes lanzar cualquier número entre$$1$$ y$$6$$.

2. El paso de inducción, para todos$$k$$, si$$P(k)$$ entonces$$P(k+1)$$.

(1) Se prueba inspeccionando una matriz$$6$$ de lados. Tiene los 6 lados, y cada número entre$$1$$ y$$6$$ aparece en uno de los lados. Por lo que es posible lanzar cualquier número entre$$1$$ y$$6$$ usando un solo dado.

Para probar (2), asumimos el antecedente del condicional, es decir,$$P(k)$$. Esta suposición se denomina hipótesis inductiva. Lo usamos para probar$$P(k+1)$$. Lo difícil es encontrar una manera de pensar sobre los posibles valores de un lanzamiento de$$k+1$$ dados en términos de los posibles valores de lanzamientos de$$k$$ dados más de tiros de tiros del extra$$k+1$$ -st die—esto es lo que tenemos que hacer, sin embargo, si queremos usar el inductivo hipótesis.

La hipótesis inductiva dice que podemos obtener cualquier número entre$$k$$ y$$6k$$ usando$$k$$ dados. Si lanzamos un$$1$$ con nuestro$$(k+1)$$ -st morir, esto se suma$$1$$ al total. Entonces podemos lanzar cualquier valor entre$$k+1$$ y$$6k+1$$ lanzando$$5$$ dados y luego rodando un$$1$$ con el$$(k+1)$$ -st dado. ¿Qué queda? Los valores$$6k+2$$ a través de$$6k+6$$. Podemos obtener estos rodando$$k$$$$6$$ s y luego un número entre$$2$$ y$$6$$ con nuestro$$(k+1)$$ -st morir. Juntos, esto significa que con los$$k+1$$ dados podemos lanzar cualquiera de los números entre$$k+1$$ y$$6(k+1)$$, es decir, hemos probado$$P(k+1)$$ usando la suposición$$P(k)$$, la hipótesis inductiva. ◻

Muy a menudo usamos la inducción cuando queremos probar algo sobre una serie de objetos (números, conjuntos, etc.) que a su vez se define “inductivamente”, es decir, definiendo el$$(n+1)$$ -st objeto en términos del$$n$$ -th. Por ejemplo, podemos definir la suma$$s_n$$ de los números naturales hasta$$n$$ por\begin{aligned} s_0 & = 0\\ s_{n+1} & = s_n + (n+1)\end{aligned} Esta definición da:\begin{aligned} s_0 & = 0,\\ s_1 & = s_0 + 1 && = 1,\\ s_2 & = s_1 + 2 && = 1 + 2 = 3\\ s_3 & = s_2 + 3 && = 1 + 2 + 3 = 6, \text{ etc.}\end{aligned} Ahora podemos probar, por inducción, eso$$s_n = n(n+1)/2$$.

Proposición$$\PageIndex{1}$$

$$s_n = n(n+1)/2$$.

Comprobante. Tenemos que probar (1) eso$$s_0 = 0\cdot(0 + 1)/2$$ y (2) si$$s_k = k(k+1)/2$$ entonces$$s_{k+1} = (k+1)(k+2)/2$$. (1) es obvio. Para probar (2), asumimos la hipótesis inductiva:$$s_k = k(k+1)/2$$. Usándolo, tenemos que demostrarlo$$s_{k+1} = (k+1)(k+2)/2$$.

¿Qué es$$s_{k+1}$$? Por la definición,$$s_{k+1} = s_k + (k+1)$$. Por hipótesis inductiva,$$s_k = k(k+1)/2$$. Podemos sustituir esto en la ecuación anterior, y luego solo necesitamos un poco de aritmética de fracciones:\begin{aligned} s_{k+1} & = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = {}\\ & = \frac{k(k+1)}{2} + \frac{2(k+1)}{2} = {}\\ & = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = {}\\ & = \frac{(k+2)(k+1)}{2}. \end{aligned}

La lección importante aquí es que si estás demostrando algo sobre alguna secuencia definida inductivamente$$a_n$$, la inducción es el camino obvio a seguir. E incluso si no lo es (como en el caso de las posibilidades de tiradas de dados), puedes usar inducción si de alguna manera puedes relacionar el caso$$k+1$$ para con el caso para$$k$$.

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