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# 2.4: Relaciones de equivalencia

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La relación de identidad en un conjunto es reflexiva, simétrica y transitiva. Las relaciones$$R$$ que tienen las tres propiedades son muy comunes.

Definición$$\PageIndex{1}$$: Equivalence relation

Una relación$$R \subseteq A^2$$ reflexiva, simétrica y transitiva se denomina relación de equivalencia. $$A$$Se dice que$$y$$ los elementos$$x$$ y de son$$R$$ -equivalentes si$$Rxy$$.

Las relaciones de equivalencia dan lugar a la noción de una clase de equivalencia. Una relación de equivalencia “divide” el dominio en diferentes particiones. Dentro de cada partición, todos los objetos están relacionados entre sí; y ningún objeto de diferentes particiones se relaciona entre sí. A veces, es útil solo hablar de estas particiones directamente. Para ello, introducimos una definición:

Definición$$\PageIndex{2}$$

$$R \subseteq A^2$$Sea una relación de equivalencia. Para cada uno$$x \in A$$, la clase de equivalencia de$$x$$ in$$A$$ es el conjunto$$\equivrep{x}{R} = \Setabs{y \in A}{Rxy}$$. El cociente de$$A$$ under$$R$$ es$$\equivclass{A}{R} = \Setabs{\equivrep{x}{R}}{x \in A}$$, es decir, el conjunto de estas clases de equivalencia.

El siguiente resultado reivindica la definición de una clase de equivalencia, al demostrar que las clases de equivalencia son efectivamente las particiones de$$A$$:

Proposición$$\PageIndex{1}$$

Si$$R \subseteq A^2$$ es una relación de equivalencia, entonces$$Rxy$$ iff$$\equivrep{x}{R} = \equivrep{y}{R}$$.

Comprobante. Para la dirección de izquierda a derecha, supongamos$$Rxy$$, y vamos$$z \in \equivrep{x}{R}$$. Por definición, entonces,$$Rxz$$. Dado que$$R$$ es una relación de equivalencia,$$Ryz$$. (Deletreando esto: como$$Rxy$$ y$$R$$ es simétrico tenemos$$Ryx$$,$$Rxz$$ y como y$$R$$ es transitivo tenemos$$Ryz$$.) Entonces$$z \in \equivrep{y}{R}$$. Generalizando,$$\equivrep{x}{R} \subseteq \equivrep{y}{R}$$. Pero exactamente de manera similar,$$\equivrep{y}{R} \subseteq \equivrep{x}{R}$$. Entonces$$\equivrep{x}{R} = \equivrep{y}{R}$$, por extensionalidad.

Para la dirección de derecha a izquierda, supongamos$$\equivrep{x}{R} = \equivrep{y}{R}$$. Ya que$$R$$ es reflexivo,$$Ryy$$, entonces$$y \in \equivrep{y}{R}$$. Así también$$y \in \equivrep{x}{R}$$ por el supuesto de que$$\equivrep{x}{R} = \equivrep{y}{R}$$. Entonces$$Rxy$$. ◻

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Un buen ejemplo de relaciones de equivalencia proviene de la aritmética modular. Para cualquiera$$a$$,$$b$$, y$$n \in \Nat$$, decir que$$a \equiv_n b$$ iff dividiendo$$a$$ por$$n$$ da resto$$b$$. (Algo más simbólicamente:$$a \equiv_n b$$ iff$$(\exists k \in \Nat)a - b = kn$$.) Ahora,$$\equiv_n$$ es una relación de equivalencia, para cualquiera$$n$$. Y hay exactamente clases de equivalencia$$n$$ distintas generadas por$$\equiv_n$$; es decir,$$\equivclass{\Nat}{\equiv_n}$$ tiene$$n$$ elementos. Estos son: el conjunto de números divisibles por$$n$$ sin resto, es decir,$$\equivrep{0}{\equiv_n}$$; el conjunto de números divisibles por$$n$$ con resto$$1$$, es decir,$$\equivrep{1}{\equiv_n}$$;...; y el conjunto de números divisibles por $$n$$con resto$$n-1$$, es decir,$$\equivrep{n-1}{\equiv_n}$$.

Problema$$\PageIndex{1}$$

Demostrar que$$\equiv_n$$ es una relación de equivalencia, para cualquiera$$n \in \Nat$$, y que$$\equivclass{\Nat}{\equiv_n}$$ tiene exactamente$$n$$ miembros.

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