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# 3.4: Inversiones de funciones

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Pensamos en las funciones como mapas. Una pregunta obvia que hacer sobre las funciones, entonces, es si el mapeo puede ser “invertido”. Por ejemplo, la función sucesora se$$f(x) = x + 1$$ puede revertir, en el sentido de que la función$$g(y) = y - 1$$ “deshace” lo que$$f$$ hace.

Pero debemos tener cuidado. Aunque la definición de$$g$$ define una función$$\Int \to \Int$$, no define una función$$\Nat \to \Nat$$, ya que$$g(0) \notin \Nat$$. Entonces, incluso en casos simples, no es del todo obvio si una función se puede revertir; puede depender del dominio y del codominio.

Esto se hace más preciso por la noción de una inversa de una función.

Definición$$\PageIndex{1}$$

Una función$$g \colon B \to A$$ es una inversa de una función$$f \colon A \to B$$ si$$f(g(y)) = y$$ y$$g(f(x)) = x$$ para todos$$x \in A$$ y$$y \in B$$.

Si$$f$$ tiene una inversa$$g$$, a menudo escribimos$$f^{-1}$$ en lugar de$$g$$.

Ahora determinaremos cuándo las funciones tienen inversas. Un buen candidato para una inversa de$$f\colon A \to B$$ es$$g\colon B \to A$$ “definido por”$g(y) = \text{“the” x such that f(x) = y.}\nonumber$ Pero las citas de miedo en torno a “definido por” (y “el”) sugieren que esta no es una definición. Al menos, no siempre va a funcionar, con total generalidad. Porque, para que esta definición especifique una función, tiene que haber una y solo una$$x$$ tal que$$f(x) = y$$ —la salida de$$g$$ tiene que especificarse de manera única. Además, tiene que especificarse para cada$$y \in B$$. Si hay$$x_1$$ y$$x_2 \in A$$ con$$x_1 \neq x_2$$ pero$$f(x_1) = f(x_2)$$, entonces no se$$g(y)$$ especificaría de manera única para$$y = f(x_1) = f(x_2)$$. Y si no hay$$x$$ en absoluto tal que$$f(x) = y$$, entonces no$$g(y)$$ se especifica en absoluto. Es decir,$$g$$ para que se defina,$$f$$ debe ser tanto inyectable como suryectiva.

Proposición$$\PageIndex{1}$$

Cada bijección tiene una inversa única.

Prueba. Ejercicio. ◻

Problema$$\PageIndex{1}$$

Demostrar Proposición$$\PageIndex{1}$$. Es decir, mostrar que si$$f\colon A \to B$$ es biyectiva,$$f$$ existe una inversa$$g$$ de. Hay que definir tal$$g$$, mostrar que es una función, y mostrar que es una inversa de$$f$$, es decir,$$f(g(y)) = y$$ y$$g(f(x)) = x$$ para todos$$x \in A$$ y$$y \in B$$.

Sin embargo, existe una forma ligeramente más general de extraer inversos. Vimos en la sección 3.2 que cada función$$f$$ induce una sobreyección$$f' \colon A \to \ran{f}$$ al dejar$$f'(x) = f(x)$$ para todos$$x \in A$$. Claramente, si$$f$$ es una inyección, entonces$$f'$$ es una biyección, para que tenga una inversa única por Proposición$$\PageIndex{1}$$. Por un abuso muy menor de notación, a veces llamamos a la inversa de$$f'$$ simplemente “la inversa de$$f$$.

Problema$$\PageIndex{2}$$

Mostrar que si$$f\colon A \to B$$ tiene una inversa$$g$$, entonces$$f$$ es biyectiva.

Proposición$$\PageIndex{2}$$

Cada función$$f$$ tiene como máximo una inversa.

Prueba. Ejercicio. ◻

Problema$$\PageIndex{3}$$

Demostrar Proposición$$\PageIndex{2}$$. Es decir, mostrar que si$$g\colon B \to A$$ y$$g'\colon B \to A$$ son inversos de$$f\colon A \to B$$, entonces$$g = g'$$, es decir, para todos$$y \in B$$,$$g(y) = g'(y)$$.

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