3.5: Composición de las funciones
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Un diagrama podría ayudar a explicar la idea de composición. En la Figura\(\PageIndex{1}\), se representan dos funciones\(f \colon A \to B\) y\(g \colon B \to C\) y su composición\((\comp{f}{g})\). La función\((\comp{f}{g}) \colon A \to C\) empareja cada elemento de\(A\) con un elemento de\(C\). Especificamos con qué elemento de\(C\) un elemento\(A\) se empareja de la siguiente manera: dada una entrada\(x \in A\), primero aplicar la función\(f\) a\(x\), que dará salida a algunos\(f(x) = y \in B\), luego aplicaremos el función\(g\) a\(y\), que dará salida a algunos\(g(f(x)) = g(y) = z \in C\).
Definición\(\PageIndex{1}\): Composition
Dejar\(f\colon A \to B\) y\(g\colon B \to C\) ser funciones. La composición de\(f\) con\(g\) es\(\comp{f}{g} \colon A \to C\), dónde\((\comp{f}{g})(x) = g(f(x))\).
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Considerar las funciones\(f(x) = x + 1\), y\(g(x) = 2x\). Ya que\((\comp{f}{g})(x) = g(f(x))\), para cada entrada primero\(x\) debes tomar su sucesor, luego multiplicar el resultado por dos. Por lo que su composición está dada por\((\comp{f}{g})(x) = 2(x+1)\).
Problema\(\PageIndex{1}\)
Demostrar que si\(f \colon A \to B\) y\(g \colon B \to C\) son ambos inyectables, entonces\(\comp{f}{g}\colon A \to C\) es inyectivo.
Problema\(\PageIndex{2}\)
Demostrar que si\(f \colon A \to B\) y\(g \colon B \to C\) son ambos suryectivos, entonces\(\comp{f}{g}\colon A \to C\) es suryectiva.
Problema\(\PageIndex{3}\)
Supongamos\(f \colon A \to B\) y\(g \colon B \to C\). Mostrar que la gráfica de\(\comp{f}{g}\) es\(R_f \mid R_g\).