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# 4.7: Reducción

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Demostramos$$\Pow{\PosInt}$$ ser incontables por un argumento de diagonalización. Ya teníamos una prueba de que$$\Bin^\omega$$, el conjunto de todas las secuencias infinitas de$$0$$$$1$$ s y s, es incontable. Aquí hay otra forma en la que podemos demostrar que$$\Pow{\PosInt}$$ es incontable: Mostrar que si$$\Pow{\PosInt}$$ es contable entonces también$$\Bin^\omega$$ es contable. Ya que sabemos que no$$\Bin^\omega$$ es contable, tampoco$$\Pow{\PosInt}$$ puede serlo. Esto se llama reducir un problema a otro, en este caso, reducimos el problema de enumerar$$\Bin^\omega$$ al problema de enumerar$$\Pow{\PosInt}$$. Una solución a lo último, una enumeración de$$\Pow{\PosInt}$$, daría una solución a la anterior, una enumeración de$$\Bin^\omega$$.

¿Cómo reducimos el problema de enumerar un conjunto$$B$$ al de enumerar un conjunto$$A$$? Proporcionamos una manera de convertir una enumeración de$$A$$ en una enumeración de$$B$$. La forma más fácil de hacerlo es definir una función suryectiva$$f\colon A \to B$$. Si$$x_1$$,$$x_2$$,... enumera$$A$$, entonces$$f(x_1)$$,$$f(x_2)$$,... enumeraría$$B$$. En nuestro caso, estamos buscando una función suryectiva$$f\colon \Pow{\PosInt} \to \Bin^\omega$$.

Problema$$\PageIndex{1}$$

Demostrar que si hay una función inyectora$$g\colon B \to A$$, y$$B$$ es incontable, entonces también lo es$$A$$. Haz esto mostrando cómo puedes usar$$g$$ para convertir una enumeración de$$A$$ en una de$$B$$.

Prueba de Teorema 4.6.2 por reducción.

Supongamos que$$\Pow{\PosInt}$$ fueran contables, y así que hay una enumeración de la misma,$$Z_{1}$$,$$Z_{2}$$,$$Z_{3}$$,...

Definir la función$$f \colon \Pow{\PosInt} \to \Bin^\omega$$ dejando$$f(Z)$$ ser la secuencia$$s_{k}$$ tal que$$s_{k}(n) = 1$$ iff$$n \in Z$$, y de$$s_k(n) = 0$$ otra manera. Esto define claramente una función, ya que cada vez que$$Z \subseteq \PosInt$$$$n \in \PosInt$$ cualquiera es un elemento de$$Z$$ o no lo es. Por ejemplo, el conjunto$$2\PosInt = \{2, 4, 6, \dots\}$$ de números pares positivos se mapea a la secuencia$$010101\dots$$, el conjunto vacío obtiene mapeado a$$0000\dots$$ y el conjunto$$\PosInt$$ en sí mismo a$$1111\dots$$.

También es suryectiva: Cada secuencia de$$0$$ s y$$1$$ s corresponde a algún conjunto de enteros positivos, es decir, el que tiene como miembros esos enteros correspondientes a los lugares donde la secuencia tiene$$1$$ s. Más precisamente, supongamos $$s \in \Bin^\omega$$. Definir$$Z \subseteq \PosInt$$ por:$Z = \Setabs{n \in \PosInt}{s(n) = 1}\nonumber$ Entonces$$f(Z) = s$$, como se puede verificar consultando la definición de$$f$$.

Ahora considera la lista$f(Z_1), f(Z_2), f(Z_3), \dots\nonumber$ Ya que$$f$$ es suryectiva, cada miembro de$$\Bin^\omega$$ debe aparecer como un valor de$$f$$ para algún argumento, y así debe aparecer en la lista. Por lo tanto, esta lista debe enumerar todos$$\Bin^\omega$$.

Entonces, si$$\Pow{\PosInt}$$ fueran contables,$$\Bin^\omega$$ serían contables. Pero$$\Bin^\omega$$ es incontable (Teorema 4.6.1). De ahí$$\Pow{\PosInt}$$ que sea incontable. ◻

Es fácil confundirse sobre la dirección en la que va la reducción. Por ejemplo, una función suryectiva$$g \colon \Bin^\omega \to B$$ no establece que$$B$$ sea incontable. (Considera$$g \colon \Bin^\omega \to \Bin$$ definida por$$g(s) = s(1)$$, la función que mapea una secuencia de$$0$$'s y$$1$$'s a su primer elemento. Es suryectiva, porque algunas secuencias empiezan con$$0$$ y algunas empiezan con$$1$$. Pero$$\Bin$$ es finito.) Obsérvese también que la función$$f$$ debe ser suryectiva, o de lo contrario el argumento no pasa por:$$f(x_1)$$$$f(x_2)$$,,... entonces no se garantizaría que incluyera todos los elementos de$$B$$. Por ejemplo,$h(n) = \underbrace{000\dots0}_{\text{n 0's}}\nonumber$ define una función$$h\colon \PosInt \to \Bin^\omega$$, pero$$\PosInt$$ es contable.

Problema$$\PageIndex{2}$$

Mostrar que el conjunto de todos los conjuntos de pares de enteros positivos es incontable por un argumento de reducción.

Problema$$\PageIndex{3}$$

Demostrar que$$\Nat^\omega$$, el conjunto de secuencias infinitas de números naturales, es incontable por un argumento de reducción.

Problema$$\PageIndex{4}$$

Dejar$$P$$ ser el conjunto de funciones desde el conjunto de enteros positivos hasta el conjunto$$\{0\}$$, y dejar$$Q$$ ser el conjunto de funciones parciales desde el conjunto de enteros positivos hasta el conjunto$$\{0\}$$. Demostrar que$$P$$ es contable y no lo$$Q$$ es. (Pista: reducir el problema de enumerar$$\Bin^\omega$$ a enumerar$$Q$$).

Problema$$\PageIndex{5}$$

$$S$$Sea el conjunto de todas las funciones suryectivas desde el conjunto de enteros positivos hasta el conjunto {0,1}, es decir,$$S$$ consiste en todas las suryectivas$$f\colon \PosInt \to \Bin$$. Demostrar que$$S$$ es incontable.

Problema$$\PageIndex{6}$$

Demostrar que el conjunto$$\Real$$ de todos los números reales es incontable.

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