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# 5.5: Operador principal de una Fórmula

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$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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A menudo es útil hablar sobre el último operador utilizado en la construcción de una fórmula$$A$$. Este operador se llama el operador principal de$$A$$. Intuitivamente, es el operador “más exterior” de$$A$$. Por ejemplo, el operador principal de$$\lnot A$$ is$$\lnot$$, el operador principal de$$(A \lor B)$$ is$$\lor$$, etc.

Definición$$\PageIndex{1}$$: Main operator

El operador principal de una fórmula$$A$$ se define de la siguiente manera:

1. $$\indcaseA{A}{A}$$$$\indfrm$$no tiene operador principal.

2. $$\indcase{A}{\lnot B}$$el operador principal de$$\indfrm$$ es$$\lnot$$.

3. $$\indcase{A}{(B \land C)}$$el operador principal de$$\indfrm$$ es$$\land$$.

4. $$\indcase{A}{(B \lor C)}$$el operador principal de$$\indfrm$$ es$$\lor$$.

5. $$\indcase{A}{(B \lif C)}$$el operador principal de$$\indfrm$$ es$$\lif$$.

6. $$\indcase{A}{\lforall{x}{B}}$$el operador principal de$$\indfrm$$ es$$\lforall{}{}$$.

7. $$\indcase{A}{\lexists{x}{B}}$$el operador principal de$$\indfrm$$ es$$\lexists{}{}$$.

En cada caso, pretendemos la ocurrencia específica indicada del operador principal en la fórmula. Por ejemplo, dado que la fórmula$$((D \lif E) \lif (E \lif D))$$ es de la forma$$(B \lif C)$$ donde$$B$$ es$$(D \lif E)$$ y$$C$$ es$$(E \lif D)$$, la segunda ocurrencia de$$\lif$$ es el operador principal.

Esta es una definición recursiva de una función que mapea todas las fórmulas no atómicas a su ocurrencia de operador principal. Debido a la forma en que las fórmulas se definen inductivamente, cada fórmula$$A$$ satisface uno de los casos en Definición$$\PageIndex{1}$$. Esto garantiza que para cada fórmula no atómica existe$$A$$ un operador principal. Debido a que cada fórmula satisface solo una de estas condiciones, y debido a que las fórmulas más pequeñas a partir de las cuales$$A$$ se construye se determinan de manera única en cada caso, la ocurrencia del operador principal de$$A$$ es única, por lo que hemos definido una función.

Llamamos a las fórmulas por los siguientes nombres dependiendo de qué símbolo sea su operador principal:

Operador principal Tipo de fórmula Ejemplo
ninguno atomic (fórmula) $$\lfalse$$,$$\Atom{R}{t_1, \dots, t_n}$$,$$\eq[t_1][t_2]$$
$$\lnot$$ negación $$\lnot A$$
$$\land$$ conjunción $$(A \land B$$)
$$\lor$$ disyunción $$(A \lor B$$)
$$\lif$$ condicional $$(A \lif B$$)
$$\lforall{}{}$$ universal (fórmula) $$\lforall{x}{A}$$
$$\lexists{}{}$$ existencial (fórmula) $$\lexists{x}{A}$$

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