5.14: Nociones semánticas
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Definición\(\PageIndex{1}\): Validity
Una sentencia\(A\) es válida,\(\Entails A\), iff\(\Sat{M}{A}\) para cada estructura\(\Struct M\).
Definición\(\PageIndex{2}\): Entailment
Un conjunto de oraciones\(\Gamma\) conlleva una oración\(A\),\(\Gamma \Entails A\), iff para cada estructura\(\Struct M\) con\(\Sat{M}{\Gamma}\),\(\Sat{M}{A}\).
Definición\(\PageIndex{3}\): Satisfiability
Un conjunto de oraciones\(\Gamma\) es satisfacible si\(\Sat{M}{\Gamma}\) por alguna estructura\(\Struct M\). Si no\(\Gamma\) es satisfecha se le llama insatisfactorio.
Proposición\(\PageIndex{1}\)
Una oración\(A\) es válida iff\(\Gamma \Entails A\) por cada conjunto de oraciones\(\Gamma\).
Prueba. Para la dirección hacia adelante, que\(A\) sea válido, y que\(\Gamma\) sea un conjunto de oraciones. Que\(\Struct M\) sea una estructura para que\(\Sat{M}{\Gamma}\). Ya que\(A\) es válido,\(\Sat{M}{A}\), de ahí\(\Gamma \Entails A\).
Para el contrapositivo de la dirección inversa, deje\(A\) ser inválido, por lo que hay una estructura\(\Struct M\) con\(\SatN{M}{A}\). Cuando\(\Gamma = \{ \ltrue \}\), ya que\(\ltrue\) es válido,\(\Sat{M}{\Gamma}\). De ahí que exista una estructura\(\Struct M\) para que\(\Sat{M}{\Gamma}\) pero\(\SatN{M}{A}\), de ahí que\(\Gamma\) no implique\(A\). ◻
\(\Gamma \Entails A\)iff\(\Gamma \cup \{\lnot A\}\) es insatisfactorio.
Prueba. Para la dirección hacia adelante, supongamos\(\Gamma \Entails A\) y supongamos al contrario que hay una estructura\(\Struct M\) así que eso\(\Sat{M}{\Gamma \cup \{ \lnot A \}}\). Desde\(\Sat{M}{\Gamma}\) y\(\Gamma \Entails A\),\(\Sat{M}{A}\). También, ya que\(\Sat{M}{\Gamma\cup \{ \lnot A \}}\)\(\Sat{M}{\lnot A}\), así tenemos ambos\(\Sat{M}{A}\) y\(\SatN{M}{A}\), una contradicción. De ahí que no pueda haber tal estructura\(\Struct M\), por lo que\(\Gamma \cup \{ A \}\) es insatisfactorio.
Para la dirección inversa, supongamos que\(\Gamma \cup \{ \lnot A \}\) es insatisfactorio. Entonces para cada estructura\(\Struct M\), ya sea\(\SatN{M}{\Gamma}\) o\(\Sat{M}{A}\). De ahí, para cada estructura\(\Struct M\) con\(\Sat{M}{\Gamma}\),\(\Sat{M}{A}\), entonces\(\Gamma \Entails A\). ◻
Problema\(\PageIndex{1}\)
-
Demuestre que el\(\Gamma \Entails \bot\) iff\(\Gamma\) es insatisfactorio.
-
Demuestre que\(\Gamma \cup \{A\} \Entails \bot\) iff\(\Gamma \Entails \lnot A\).
-
Supongamos que\(c\) no ocurre en\(A\) o\(\Gamma\). Demuestre que\(\Gamma \Entails \lforall{x}{A}\) iff\(\Gamma \Entails \Subst{A}{c}{x}\).
Proposición\(\PageIndex{3}\)
Si\(\Gamma \subseteq \Gamma'\) y\(\Gamma \Entails A\), entonces\(\Gamma' \Entails A\).
Prueba. Supongamos que\(\Gamma \subseteq \Gamma'\) y\(\Gamma \Entails A\). \(\Struct M\)Sea tal que\(\Sat{M}{\Gamma'}\); entonces\(\Sat{M}{\Gamma}\), y desde entonces\(\Gamma \Entails A\), eso lo conseguimos\(\Sat{M}{A}\). De ahí, siempre que\(\Sat{M}{\Gamma'}\)\(\Sat{M}{A}\), así\(\Gamma' \Entails A\). ◻
Teorema\(\PageIndex{1}\): Semantic Deduction Theorem
\(\Gamma \cup \{A\} \Entails B\)iff\(\Gamma \Entails A \lif B\).
Prueba. Para la dirección hacia adelante, deja\(\Gamma \cup \{ A \} \Entails B\) y deja\(\Struct M\) ser una estructura para que\(\Sat{M}{\Gamma}\). Si\(\Sat{M}{A}\), entonces\(\Sat{M}{\Gamma \cup \{ A \} }\), así ya que\(\Gamma \cup \{ A \}\) implica\(B\), obtenemos\(\Sat{M}{B}\). Por lo tanto\(\Sat{M}{A \lif B}\),, entonces\(\Gamma \Entails A \lif B\).
Para la dirección inversa, dejar\(\Gamma \Entails A \lif B\) y\(\Struct M\) ser una estructura para que\(\Sat{M}{\Gamma \cup \{ A \}}\). Entonces\(\Sat{M}{\Gamma}\), entonces\(\Sat{M}{A \lif B}\), y desde\(\Sat{M}{A}\),\(\Sat{M}{B}\). De ahí, siempre que\(\Sat{M}{\Gamma \cup \{ A \} }\)\(\Sat{M}{B}\), así\(\Gamma \cup \{ A \} \Entails B\). ◻
Dejar\(\Struct{M}\) ser una estructura, y\(A(x)\) una fórmula con una variable libre\(x\), y\(t\) un término cerrado. Entonces:
-
\(A(t) \Entails \lexists{x}{A(x)}\)
-
\(\lforall{x}{A(x)} \Entails A(t)\)
Prueba.
-
Supongamos\(\Sat{M}{A(t)}\). Let \(s\) be a variable assignment with \(s(x) = \Value{t}{M}\). Then \(\Sat[,s]{M}{A(t)}\) since \(A(t)\) is a sentence. By Proposition 5.13.3, \(\Sat[,s]{M}{A(x)}\). By Proposition 5.12.4, \(\Sat{M}{\lexists{x}{A(x)}}\).
-
Ejercicio.
◻
Problema\(\PageIndex{2}\)
Completar el comprobante de Proposición\(\PageIndex{4}\).