2.8: Resumen
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Una relaciónR sobre un conjuntoA es una forma de relacionar elementos deA. EscribimosRxy si la relación se mantiene entrex yy. Formalmente, podemos considerarR como los conjuntos de pares\tuplex,y∈A2 tal queRxy. Ser menor que, mayor que, igual a, dividiendo uniformemente, siendo la misma longitud que, un subconjunto de, y el mismo tamaño que todos son ejemplos importantes de relaciones (en conjuntos de números, cadenas, o de conjuntos). Las gráficas son una forma general de representar visualmente las relaciones. Pero una gráfica también puede verse como una relación binaria (la relación de borde) junto con el conjunto subyacente de vértices.
Algunas relaciones comparten ciertas características que las hacen especialmente interesantes o útiles. Una relaciónR es reflexiva si todo estáR relacionado consigo mismo; simétrica, si conRxy también seRyx sostiene para cualquierax yy; y transitiva si RxyyRyz garantíasRxz. Las relaciones que tienen estas tres propiedades son relaciones de equivalencia. Una relación es antisimétrica siRxy yRyx garantíasx=y. Los órdenes parciales son aquellas relaciones reflexivas, antisimétricas y transitivas. Un orden lineal es cualquier orden parcial que satisfaga eso para cualquierax yy, ya seaRxy ox=y oRyx. (Generalmente, una relación con esta propiedad está conectada).
Dado que las relaciones son conjuntos (de pares), pueden operarse como conjuntos (por ejemplo, podemos formar la unión e intersección de relaciones). También podemos encadenarlos (producto relativoR∣S). Si formamos el producto relativo deR consigo mismo arbitrariamente muchas veces obtenemos el cierre transitivoR+ deR.