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La probabilidad es importante de entender porque proporciona la base para métodos formales de evaluación de argumentos inductivos. Si bien no existe un método universalmente acordado para evaluar los argumentos inductivos en la forma que hay con los argumentos deductivos, existen algunas leyes básicas de probabilidad que es importante tener en cuenta. Como veremos en las próximas secciones, aunque estas leyes de probabilidad son aparentemente simples, las aplicamos mal todo el tiempo.

P (a y b) = P (a) × P (b)

Entonces, para aplicar esto a mi ejemplo de dibujar dos reinas, tenemos que multiplicar la probabilidad de dibujar una reina, “P (a)” por la probabilidad de dibujar otra reina, “P (b)”. Como ya calculamos la probabilidad de dibujar una reina en .077, la matemática es bastante simple:

.077 × .077 = .0059

Es decir, hay menos de 1% de probabilidad (.59% para ser precisos) de dibujar dos reinas en este escenario. Entonces, obviamente, ¡no sería prudente hacer una apuesta a que eso suceda! Probemos otro ejemplo donde tenemos que calcular la probabilidad de una conjunción. Supongamos que quiero saber cuál es la probabilidad de que tanto mi padre como mi madre mueran de cáncer cerebral. (Macabro, lo sé.) Tendría que saber la probabilidad de morir de cáncer cerebral, que es alrededor de 5/100,000. Es decir, 5 de cada 100 mil personas mueren de cáncer cerebral. Ese es un número muy pequeño: .00005. Pero la probabilidad de que ambos mueran de cáncer cerebral va a ser un número aún menor:

.00005 × .00005 = .0000000025

1/6 × 1/6 = 1/36

Calcular la probabilidad de negaciones es simplemente una cuestión de restar la probabilidad de que algún evento, digamos el evento a, ocurra de 1. El resultado es la probabilidad de que el evento a no ocurra:

P (no-a) = 1 — P (a)

Por ejemplo, supongamos que estoy jugando al monopolio quería determinar la probabilidad de que no ruede un 12 (ya que si rollo un 12 aterrizaré en Boardwalk, que mi oponente posee con hoteles). Como ya hemos determinado que la probabilidad de rodar un 12 es .028, podemos calcular la probabilidad de no rodar un 12 así:

1 — .028 = .972

Así, tengo 97.2% de posibilidades de no rodar un 12. Entonces es muy probable que no lo haga (gracias a Dios).

Aquí hay otro ejemplo. ¿Cuáles son las posibilidades de que mi hija no entre en Harvard? Dado que la tasa de aceptación en Harvard es de aproximadamente 6% (o .06), simplemente me resta eso de 1, lo que rinde .94, o 94%. Entonces mi hija tiene un 94% de posibilidades de no entrar en Harvard.

Calcular la probabilidad de disyunciones es simplemente una cuestión de averiguar la probabilidad de que ocurra un evento u otro. Para calcular la probabilidad de una disyunción simplemente agregamos la probabilidad de los dos eventos juntos:

P (a o b) = P (a) + P (b)

Por ejemplo, supongamos que quería calcular la probabilidad de dibujar aleatoriamente de una baraja barajada ya sea una pala o un palo. Dado que hay cuatro palos (espadas, palos, diamantes, corazones) cada uno con igual número de cartas, la probabilidad de sacar una pala es 1⁄4 o .25. De igual manera la probabilidad de dibujar un club es de .25. Así, la probabilidad de dibujar ya sea una pala o un palo es:

.25 + .25 = .50

Entonces tienes un 50% de posibilidades de dibujar ya sea una pala o un palo. A veces los eventos no son independientes. Por ejemplo, supongamos que querías saber la probabilidad de sacar 5 palos de la baraja (que en el poker se llama “flush”). Esta vez te estás aferrando a las cartas después de robarlas en lugar de reemplazarlas de nuevo en la baraja. La probabilidad de sacar el primer club es simplemente 13/52 (o 1⁄4). No obstante, cada uno de los cuatro sorteos restantes se verá afectado por los sorteos anteriores. Si uno fuera a sacar con éxito todos los clubes entonces después del primer sorteo, solo quedarían 51 tarjetas, 12 de las cuales eran clubes; después del segundo sorteo, solo quedarían 50 tarjetas, 11 de las cuales eran clubes, y así sucesivamente, así:

13/52 × 12/51 × 11/50 × 10/49 × 9/48 = 33/66,640

Como puedes ver, hemos tenido que determinar la probabilidad de una conjunción, ya que queremos que la tarjeta 1 y la tarjeta 2 y la tarjeta 3 etc. sean todos clubes. Esa es una conjunción de diferentes eventos. Como también puede ver, la probabilidad de dibujar tal mano es extremadamente baja, alrededor de .0005 o .05%. Una descarga es de hecho una mano rara. Pero supongamos que quisiéramos saber, no las posibilidades de dibujar un rubor en un traje específico, sino solo las posibilidades de dibujar un rubor en cualquier traje. En ese caso, tendríamos que calcular la probabilidad de una disyunción de dibujar ya sea un rubor en palos o un rubor en espadas o un rubor en diamantes o un rubor en corazones. Recordemos que para poder calcular una disyunción debemos sumar las probabilidades:

.0005 + .0005 + .0005 + .0005 = .002

Por lo que la probabilidad de dibujar un rubor en cualquier palo sigue siendo de sólo aproximadamente .2% o una quinta parte del uno por ciento, es decir, muy baja.

Examinemos otro ejemplo antes de cerrar esta sección sobre probabilidad. Supongamos que queremos saber las posibilidades de voltear al menos 1 cabeza en 6 volteretas de una moneda justa. Podrías razonar de la siguiente manera: Hay un 50% de probabilidad de que vuelque cabezas en el primer flip, un 50% de probabilidad en el segundo, etc. ya que quiero saber la posibilidad de voltear al menos una cabeza, entonces tal vez debería simplemente calcular la probabilidad de la disyunción así:

.5 + .5 + .5 + .5 + .5 + .5 = 3 (o 300%)

Sin embargo, esto no puede ser correcto, porque la probabilidad de cualquier evento está entre 1 y 0 (incluyendo 0 y 1 para eventos que son imposibles y absolutamente ciertos). No obstante, esta forma de calcular la probabilidad nos deja con un evento que es tres veces más que cierto. Y nada es más que 100% seguro— 100% de certeza es el límite. Entonces algo está mal con el cálculo. Otra forma de ver que algo debe estar mal con el cálculo es que no es imposible que voltee 6 colas seguidas (y así no hay cabezas). Dado que esa es una posibilidad real (por muy improbable que sea), no puede estar 100% seguro de que le dé la vuelta al menos a una cabeza. Aquí está la manera de pensar sobre este problema. ¿Cuál es la probabilidad de que voltee todas las colas? Esa es simplemente la probabilidad de la conjunción de 6 eventos, cada uno de los cuales tiene la probabilidad de .5 (o 50%):

.5 × .5 × .5 × .5 × .5 × .5 = .015 (o 1.5%)

Entonces simplemente usamos la regla para calcular la probabilidad de una negación, ya que queremos saber las posibilidades de que no volteemos 6 colas seguidas (es decir, volteamos al menos una cabeza):

1 — .015 = .985

Por lo que la probabilidad de voltear al menos una cabeza en 6 volteos de la moneda es de 98.5%. (Sería exactamente la misma probabilidad de voltear al menos una cola en 6 volteos.)

## Ejercicio

1. ¿Cuál es la probabilidad de rodar un cinco en un tiro un dado?
2. ¿Cuál es la probabilidad de no rodar un cinco a un tiro de un dado?
3. ¿Cuál es la probabilidad de rodar un cinco en tu primer lanzamiento y otros cinco en el segundo tiro de ese dado?
4. Si lanzas dos dados a la vez, ¿cuáles son las posibilidades de que ambos dados salgan dos?
5. Si lanzas dos dados a la vez, ¿cuáles son las posibilidades de que uno u otro (o ambos) de los dados salga un dos?
6. Si lanzas dos dados a la vez, ¿cuáles son las posibilidades de que a lo sumo uno de los dados salga un dos?
7. Si lanzas dos dados a la vez, ¿cuáles son las posibilidades de que al menos uno de los dados suba un cuatro?
8. Si lanzas dos dados a la vez, ¿cuáles son las posibilidades de que no haya cuatro patas?
9. Si lanzas dos dados a la vez, ¿cuáles son las posibilidades de rodar cinco dobles?
10. Si lanzas dos dados a la vez, ¿cuáles son las posibilidades de rodar dobles (de cualquier número)?