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# 16.1: ¿Qué significan los números?

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Ahora se pueden calcular las probabilidades de que ocurran varias cosas. Pero, ¿qué te dicen los números que obtienes? ¿Qué significan? La respuesta es que significan cosas diferentes en diferentes casos. Anotaremos tres casos importantes, y la respuesta es diferente para cada uno de ellos.

## Relaciones de Éxitos a Fracasos

Con juegos de azar comunes, podemos determinar intuitivamente las probabilidades de resultados más simples; de hecho, es mucho más fácil hacerlo que calcularlos con la regla relevante. Analicemos lo que hacemos cuando hacemos estas determinaciones intuitivas. Vas a sacar una carta de una baraja completa. ¿Cuál es la probabilidad de que dibujes a un rey? No necesitabas reglas complicadas para responder a esto. En cambio, razonas eso: hay cuatro reyes de 52 cartas, y es igualmente probable que rodemos a cualquiera de ellos, por lo que la probabilidad de conseguir un rey es 4/52.

En tales casos, donde cada uno de los resultados es igualmente probable que ocurra, tomamos el número de resultados que nos interesan, lo dividimos por el total de resultados posibles e interpretamos esta relación como una probabilidad.

Por ejemplo, en el caso de sacar a un rey de una baraja, los resultados de interés son conseguir un rey, y hay cuatro de estos. Y el conjunto de todos los resultados posibles consiste en sacar cualquiera de las 52 cartas de la baraja. Si llamamos éxito a los resultados de interés (terminología que se remonta a las raíces de la probabilidad del juego), podemos decir que la probabilidad de un éxito es:

# Éxitos/# Casos posibles

Un enfoque similar funciona para los resultados de sacar caramelos de un frasco, lanzar dados, hacer girar una rueda de ruleta y similares.

Pero este enfoque sólo funciona cuando los casos básicos de interés son igualmente probables. Funciona cuando volteamos una moneda justa; la probabilidad de cabezas es el número de casos de interés, o el número de casos de interés, éxitos como se les suele llamar, sobre el número de casos posibles. Hay una manera de voltear una cabeza y dos posibles resultados. Entonces, la probabilidad es 1/2. Pero esto no funciona si volteamos una moneda sesgada, digamos una que tiene el doble de probabilidades de llegar a la cabeza que a la cola. Todavía hay solo una manera de tener éxito (es decir, voltear una cabeza) y solo dos posibles resultados (cabeza y cola), pero la probabilidad de una cabeza ya no será 1/2. Para manejar casos como este, y muchos otros casos de la vida real también, necesitamos recurrir a frecuencias.

## Frecuencias

En muchos casos, las probabilidades son frecuencias o proporciones determinadas empíricamente. Por ejemplo, la probabilidad de que un conductor adolescente varón tenga un accidente es el porcentaje o frecuencia de conductores varones adolescentes que tienen accidentes. Este enfoque se aplica, aunque a veces con menor claridad, al precio de las primas de seguros, la previsión meteorológica, el diagnóstico médico, el tratamiento médico, el divorcio y muchos otros casos.

Por ejemplo, una compañía de seguros de salud registra la frecuencia con la que los varones mayores de 50 años tienen ataques cardíacos. La compañía luego traduce esto en una probabilidad de que un varón mayor de 50 años tenga un ataque al corazón, y cobra en consecuencia por la póliza. Nuevamente, cuando tu médico te dice que existe un 5% de probabilidad de que una operación de espalda empeore tu condición, están basando su afirmación en el hecho de que alrededor del 5% de las personas que se hacen tales operaciones empeoran. Los resultados de interés (empeorando) divididos por el número total de casos (todos aquellos que se realizan este tipo de cirugía) es de 5/100.

En muchos casos, algunos de los posibles resultados tienen más probabilidades de ocurrir que otros, pero podemos adaptar el enfoque básico viendo la probabilidad de un determinado tipo de evento como la frecuencia relativa con la que ocurre (o ocurriría) en el conjunto de posibles resultados.

A menudo, no tenemos acceso a información sólida sobre frecuencias, y a veces ni siquiera está claro qué frecuencias son relevantes. Pero incluso en estos casos, muchas veces tenemos creencias que involucran algo muy parecido a probabilidades. Por ejemplo, no tenemos información sólida sobre frecuencias que me permita evaluar la probabilidad de que extraterrestres del espacio exterior se hayan infiltrado en el equipo de golf de la universidad. Sin embargo, creemos que esa probabilidad es muy baja. O, para tomar un ejemplo más serio, si usted sirve en un jurado, puede que tenga que formarse una sentencia sobre la probabilidad de que el acusado sea culpable.

Puede no estar claro cómo podemos asignar una probabilidad a la afirmación, “Los extraterrestres del espacio exterior se han infiltrado en el equipo de golf” (abreviemos esto como A). Pero sea cual sea el valor aproximado de probabilidad que le asignemos, nuestras creencias solo se coaquí entre sí si asignamos más probabilidades aproximadas de acuerdo con las reglas de probabilidad.

Por ejemplo, ya que pensamos que la probabilidad de A es muy baja, creemos que 1- Pr (A) de su negación es muy alta. Y creemos que Pr (A o ~A) = 1 y que Pr (A & ~A) = 0.

En resumen, las probabilidades a veces representan proporciones que involucran casos igualmente probables, a veces representan frecuencias y a veces representan nuestros grados de creencia. El primero es mucho más fácil de trabajar, pero muchas cosas que importan en la vida involucran la segunda o tercera. Afortunadamente para nosotros, estos temas no importan mucho en el tipo de casos que probablemente encontremos.

## ¿Cómo podemos comprender números tan diminutos?

Podemos desarrollar alguna sensación sobre el significado de las probabilidades de frecuencia cuando no son demasiado pequeñas. Por ejemplo, la probabilidad de que rodes un dos con un dado justo es 1/6. Esto significa que en promedio, a la larga, rodarás dos una sexta parte del tiempo.

Pero muchas probabilidades son números mucho menores. Por ejemplo, la probabilidad de obtener reyes en dos sorteos sucesivos de un mazo completo cuando reemplazamos la primera carta es 4/52 x 4/52 (aproximadamente .0059), mientras que la probabilidad de obtener dos reyes cuando no reemplazamos la primera carta es 4/52 x 3/51 (aproximadamente .0045). No estamos acostumbrados a pensar en números tan diminutos, y es difícil controlar lo que significan. En un mundo altamente tecnológico, las diferencias entre números como este a veces son importantes, y también importan para los casinos que quieren mantenerse en el negocio. Pero tales diferencias no nos importan mucho en nuestra vida diaria, y no vamos a agonizar por ellas. El punto importante para nosotros es que la mayoría de nosotros tenemos una mala sensación por números muy grandes y muy pequeños, incluso en los casos en que sus tamaños relativos son muy diferentes.

Hemos considerado las probabilidades de resultados cuando rogamos cartas o tiramos dados, pero la gente también considera las probabilidades de resultados en casos que importan mucho más, incluyendo asuntos de vida o muerte. ¿Cuál es la probabilidad de morir en un accidente aéreo? ¿De padecer cáncer si fumas? ¿De contraer el VIH si no usas condón?

El terrorismo es aterrador y continuó ocupando una porción relativamente grande de las noticias estadounidenses y el discurso público más de una década después del 11 de septiembre. De hecho, sin embargo, mucho menos de uno de cada millón de estadounidenses son asesinados por terroristas en un año determinado, mientras que más de uno de cada 5,000 mueren en accidentes automovilísticos. Las diferencias entre las probabilidades de estas dos ocurrencias son enormes, y cualquier evaluación racional de cómo vivimos nuestras vidas debe tener esto en cuenta.

Si tuviéramos una buena sensación de números grandes, podríamos aplicar esto a la probabilidad; por ejemplo, nos daría una mejor idea de la magnitud de la diferencia entre 1/5000 y 1/1,000,000. Pero la mayoría de nosotros no somos mejores con números grandes que con los pequeños. Cuando oímos hablar del tamaño de la deuda nacional, que se mide en billones de dólares, los números son tan enormes que nuestras mentes simplemente se entumecen. Una buena manera de desarrollar alguna sensación por los significados de números muy grandes y muy pequeños es traducirlos en términos concretos, idealmente en términos que podamos visualizar. ¿Qué significa realmente mil? ¿Y qué hay de diez mil? Pues bien, el Centro Straz para las Artes Escénicas tiene menos de cinco mil (4 mil 327), el Amalie Arena tiene asientos poco más de veinte mil (20 mil 500) y el estadio Raymond James tiene asientos alrededor de sesenta y cinco mil (65 mil 890).

Con números más grandes, la visualización se vuelve difícil, pero las analogías aún pueden ser útiles. Considera la diferencia entre un millón (1,000,000) y un billón (1,000,000,000). Se necesitan once días y medio para que transcurra un millón de segundos, mientras que tardan treinta y dos años mil millones de segundos en marcarse (¿cuánto tiempo tarda un billón —1,000,000,000,000— de segundos en transcurrir?). Y la diferencia relativa en probabilidades de uno en un millón y uno en mil millones es igualmente inmensa.

Ejercicios

1. Si tardan unos 32 años en transcurrir mil millones de segundos, ¿cuánto tiempo tarda un billón de segundos en transcurrir? Explica cómo llegaste a tu respuesta.
2. ¿Cómo podemos aplicar los puntos que hemos aprendido sobre las diferencias entre un millón y mil millones a las afirmaciones de que una alternativa tiene una probabilidad de que ocurra una en un millón y una segunda alternativa tiene una probabilidad de que ocurra una de cada mil millones?
3. ¿Se te ocurre alguna imagen concreta que te pueda ayudar a conseguir un manejo intuitivo del número 1,000,000? Dale tu mejor oportunidad

## Razonamiento probabilístico sin números

En nuestra vida cotidiana, rara vez nos preocupamos por valores precisos de probabilidad; de hecho, tales números suelen ser inalcanzables o incluso carentes de sentido. Pero en las próximas secciones, veremos que los conceptos que adquirimos al dominar las reglas de probabilidad nos ayudarán a entender muchas cosas que suceden en la vida real. Veremos cómo los conceptos probabilísticos son relevantes, incluso en ausencia de valores numéricos precisos para las probabilidades.

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