16.2: Valor esperado

La mayoría de las cosas en la vida son inciertas, así que no tenemos más remedio que basar nuestras decisiones en nuestros puntos de vista sobre las probabilidades. Pero los costos y beneficios, y el valor y la desvalorización de los resultados, también juegan un papel en nuestras decisiones. Por ejemplo, imagina que estás pensando en ir a ver una película, pero el reporte meteorológico decía que había un 40% de probabilidad de lluvia esta noche, y no te gusta conducir por carreteras resbaladizas. ¿Deberías ir? Si no quieres ver el programa muy mal puedes quedarte en casa, pero si esta es tu única oportunidad de ver algo que realmente has estado queriendo ver, el viaje puede valer la pena arriesgarse.

Las probabilidades de 2 a 1 pueden ser suficientes para que alguien apueste unos dólares, pero no para apostar tu vida (como lo harías en un caso de cirugía arriesgada). Tanto las probabilidades como los valores (y desvalores) de los resultados juegan un papel importante en nuestras decisiones. Los siguientes ejemplos deberían ayudarnos a ver cómo debería funcionar esto si estamos razonando bien.

Ejemplo 1: Disparos de tres puntos

Wilma, una de las guardas del equipo de basquetbol de UCLA, golpea el 40% de sus tiros desde menos de tres puntos y el 30% de sus tiros desde el alcance de tres puntos. Puede ser mejor que Wilma tome ciertos tiros en ciertos casos (por ejemplo, si dos puntos ganarán el juego, entonces debería ir por dos).

Pero en general, ¿es mejor para ella tomar tiros de dos puntos o tiros de tres puntos? La probabilidad de golpear un puntero de tres es menor, pero la rentabilidad es mayor. ¿Cómo sopesamos estas dos consideraciones?

La siguiente tabla nos da la respuesta:

A lo largo del largo recorrido Wilma obtendrá, en promedio, 0.8 puntos por cada disparo de dos puntos que realice y 0.9 puntos por cada disparo de tres puntos. Decimos que .8 es el valor esperado del tiro de dos puntos de Wilma y 9 es el valor esperado de sus tiros de tres puntos. En el transcurso de una temporada esta diferencia puede importar, y al igual que otras cosas es mejor que Wilma intente tres punteros.

Ejemplo 2: Dados rodantes

Tu amigo te pide que juegues al siguiente juego. Enrolla un dado. Si obtienes un seis, te pagan seis dólares. Si no obtienes un seis, les pagas un dólar. ¿Sería este un juego rentable para que juegues? Para responder a esta pregunta, necesitamos determinar el valor esperado de este juego.

La fórmula para esto cuando dos resultados son posibles es esta:

En el caso de dos punteros y tres punteros, podríamos dejar fuera la probabilidad de fracaso ya que el pago en tales casos es de cero puntos. Cuando multiplicamos esto por la probabilidad de falla, el resultado sigue siendo cero, por lo que cae fuera de la imagen. Pero en el presente caso hay un “pago negativo” por fracaso.

Conectando los números para el juego propuesto por tu amigo, tu valor esperado está determinado por la siguiente regla:

El valor esperado de este juego para ti es de 1/6 de dólar. A la larga, tus ganancias promedio por rollo serán de 1/6 de dólar, o alrededor de dieciséis centavos y medio. A corto plazo esto no es mucho, pero podría sumar con el tiempo. Entonces, es un buen juego para ti (aunque no para tu amigo, a menos que disfruten perdiendo).

Ejercicio: ¿Qué beneficios debería proponer tu amigo si quiere que el juego sea justo para los dos?

El tratamiento de los valores esperados puede extenderse de manera natural para cubrir más de dos alternativas a la vez. Simplemente enumere todos los resultados posibles y registre la probabilidad y el pago de cada uno (enumerando las pérdidas como ganancias negativas). Multiplique la probabilidad de cada resultado por el pago de ese resultado. Después sumar todos estos números.

Deberías pensar un poco sobre el valor esperado antes de jugar a las máquinas tragamonedas, comprar boletos para una lotería, o similares. En todos estos casos, hay un valor esperado positivo para quienes corren el juego, una “ventaja de casa” y un valor esperado negativo para quienes lo juegan. Un punto similar mantiene para primas de seguros. La compañía de seguros calcula las probabilidades de diversos resultados y luego determina los precios de las pólizas y los montos de los beneficios para que la compañía tenga un valor esperado suficientemente alto para cada póliza.

Hay un lado subjetivo en los pagos. Incluso en los juegos de azar, los dólares no son lo único que importa. A algunas personas les gusta el juego, y así que aunque pierdan un poco de dinero a largo plazo, su disfrute compensa esta pérdida. A otras personas no les gusta el riesgo, por lo que incluso si ganan un poco a largo plazo, el valor general del juego es negativo para ellos.

Hay muchos otros casos en los que los pagos involucran los propios sentimientos de una persona sobre los asuntos. Wilbur tiene una afección cardíaca que limita severamente las cosas que puede hacer. La probabilidad de que una nueva forma de cirugía mejore su condición dramáticamente es de aproximadamente 50%, las posibilidades de que muera en cirugía son 7%, y las posibilidades de que la cirugía lo deje aproximadamente igual son 43%. ¿Debería hacerse la cirugía?

La respuesta depende de lo mucho que le importan las cosas diversas a Wilbur. Si estar vivo, incluso en una condición física muy desagradable, es importante para él, entonces su valoración de los beneficios probablemente signifique que no debe elegir la cirugía. Pero si no puede soportar estar postrado en cama, puede evaluar los pagos de manera diferente.

Apuesta de Pascal

Blaise Pascal (1623—1662) fue uno de los fundadores de la teoría de la probabilidad. También fue devoto católico en la Francia del siglo XVII. Argumentó que debemos creer en Dios por las siguientes razones. Mientras estemos en esta tierra, nunca podremos resolver realmente la cuestión de si Dios existe o no. Pero o Él lo hace, o no lo hace.

Caso uno: Dios existe

1. Si Dios existe y creo que Él existe, entonces obtengo un pago muy alto (dicha eterna).
2. Si Dios existe y no creo en Él obtengo una retribución muy negativa (fuego y brimstone por toda la eternidad).

Caso dos: Dios no existe

3. Si Dios no existe y creo que Él sí, cometí un error, pero sus consecuencias no son muy graves.
4. Si Él no existe y yo no creo en Él, tengo razón, pero tener razón sobre esto no me gana mucho.

Pascal utiliza estas afirmaciones para argumentar que debemos creer en Dios. ¿Cuáles son las probabilidades, pagos y valores esperados relevantes en cada caso? Rellena los detalles de su argumento. ¿Cuáles son las fortalezas y las debilidades del argumento?

Ejercicios

1. Edna golpea 45% de sus tiros de tres puntos y 55% de sus tiros de dos puntos. ¿Qué tiro debería intentar?
2. Supongamos que tu amiga Wilma se ofrece a jugar el siguiente juego contigo. Vas a tirar un par de dados. Si obtienes un 7 u 11 (un natural) ella te paga $3. Si robas cualquier otra cosa, le pagas 15 dólares. ¿Cuál es el valor esperado del juego para ti? ¿Qué es para ella?
3. Wilbur y Wilma están en su primera cita y han ido al carnaval. Wilma está tratando de impresionar a Wilbur ganando un peluche para él. Wilma está tratando de decidir entre dos juegos: el tiro al pato y el lanzamiento del ring. Ella puede disparar al 55% de los patos, que valen dos boletos cada uno, y puede hacer alrededor del 35% de los lanzamientos de ring, que valen cuatro boletos cada uno. Asumiendo que Wilma necesita acumular 15 boletos para ganar el juguete, ¿a qué juego debería jugar?
4. En un capítulo anterior, aprendimos sobre la ruleta. Calcular el valor esperado para apostar en el número 13 (recordemos que las verdaderas cuotas contra este son 37 a 1, pero las cuotas de la casa son de 35 a 1).