1.8: Reductio ad Absurdum
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8. Reductio ad Absurdum
8.1 Un ejemplo histórico
En su libro, Las dos nuevas ciencias, [10] Galileo Galilea (1564-1642) da varios argumentos destinados a demostrar que no puede haber tal cosa como infinidades reales o infinitesimales reales. Uno de sus argumentos puede ser reconstruido de la siguiente manera. Galileo propone que tomemos como premisa que existe una infinidad real de números naturales (los números naturales son los números enteros positivos a partir del 1 en adelante):
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}
También propone que tomemos como premisa que hay una infinidad real de los cuadrados de los números naturales.
{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...}
Ahora bien, razones Galileo, tenga en cuenta que estos dos grupos (hoy los llamaríamos “conjuntos”) tienen el mismo tamaño. Esto lo podemos ver porque podemos ver que existe una correspondencia uno a uno entre los dos grupos.
| {1, | 2, | 3, | 4, | 5, | 6, | 7,...} |
 |
|
|
|
|
|
|
| {1, | 4, | 9, | 16, | 25, | 36, | 49,...} |
Si podemos asociar cada número natural con uno y solo un número cuadrado, y si podemos asociar cada número cuadrado con uno y solo un número natural, entonces estos conjuntos deben ser del mismo tamaño.
Pero espera un momento, dice Galileo. Obviamente hay muchos más números naturales que números cuadrados. Es decir, cada número cuadrado está en la lista de números naturales, pero muchos de los números naturales no están en la lista de números cuadrados. Los siguientes números están todos en la lista de números naturales pero no en la lista de números cuadrados.
{2, 3, 5, 6, 7, 8, 10,...}
Entonces, Galileo razona, si hay muchos números en el grupo de números naturales que no están en el grupo de los números cuadrados, y si no hay números en el grupo de los números cuadrados que no están en los números naturales, entonces los números naturales son mayores que los números cuadrados. Y si el grupo de los números naturales es mayor que el grupo de los números cuadrados, entonces los números naturales y los números cuadrados no son del mismo tamaño.
Hemos llegado a dos conclusiones: el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números cuadrados son del mismo tamaño; y, el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números cuadrados no son del mismo tamaño. Eso es contradictorio.
Galileo sostiene que la razón por la que llegamos a una contradicción es porque asumimos que hay infinidades reales. Concluye, por tanto, que no hay infinidades reales.
8.2 Pruebas indirectas
Nuestra lógica aún no es lo suficientemente fuerte como para probar algunos argumentos válidos. Consideremos como ejemplo el siguiente argumento.
(P → (QvR))
¬Q
¬R
_____
¬P
Este argumento parece válido. Por la primera premisa sabemos: si P fuera cierto, entonces también sería cierto (Q v R). Pero entonces ya sea Q o R o ambas serían ciertas. Y por la segunda y tercera premisas sabemos: Q es falsa y R es falsa. Entonces no puede ser que (Q v R) sea cierto, y así no puede ser que P sea cierto.
Podemos verificar el argumento usando una tabla de verdad. Nuestra mesa será compleja porque una de nuestras premisa es compleja.
| premisa | premisa | premisa | conclusión | ||||
| P | Q | R | (QvR) | (P→ (QvR)) | ¬Q | ¬R | ¬P |
| T | T | T | T | T | F | F | F |
| T | T | F | T | T | F | T | F |
| T | F | T | T | T | T | F | F |
| T | F | F | F | F | T | T | F |
| F | T | T | T | T | F | F | T |
| F | T | F | T | T | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T | F | T |
| F | F | F | F | T | T | T | T |
En cualquier tipo de situación en la que todas las premisas sean ciertas, la conclusión es cierta. Es decir: las premisas son todas ciertas solo en la última fila. Para esa fila, la conclusión también es cierta. Entonces, este es un argumento válido.
Pero tómate un minuto y trata de probar este argumento. Empezamos con
\ [\ fitchprf {\ pline [1.] {(P\ lif (Q\ lor R))} [premisa]\\\ pline [2.] {\ lnot Q} [premisa]\\\ pline [3.] {\ lnot R} [premisa]} {}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-format” height="99" title="Rendido por Quicklatex.com” width="422" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...9c061e0_l3.png "/>
Y ahora estamos parados. No podemos aplicar ninguna de nuestras reglas. Aquí hay un argumento válido que no hemos hecho nuestro sistema de razonamiento lo suficientemente fuerte como para probar.
Existen varias formas de rectificar este problema y de hacer que nuestro sistema de razonamiento sea lo suficientemente fuerte. Una de las soluciones más antiguas es introducir un nuevo método de prueba, tradicionalmente llamado “reductio ad absurdum”, lo que significa una reducción al absurdo. Este método también se suele llamar “prueba indirecta” o “derivación indirecta”.
La idea es que asumamos la negación de nuestra conclusión, para luego mostrar que resulta una contradicción. Se muestra una contradicción cuando probamos alguna frase ψ, y su negación ¬ψ. Esta puede ser cualquier oración. El punto es que, dado el principio de bivalencia, debemos haber probado algo falso. Porque si ψ es verdadero, entonces ¬ψ es falso; y si ¬ψ es verdadero, entonces ψ es falso. No necesitamos saber cuál es falso (ψ o ¬ψ); basta con saber que uno de ellos debe ser.
Recuerden que hemos construido nuestro sistema lógico para que no pueda producir una falsedad a partir de verdaderas afirmaciones. La fuente de la falsedad que producimos en la derivación indirecta debe, por tanto, ser alguna falsedad que añadimos a nuestro argumento. Y lo que agregamos a nuestro argumento es la negación de la conclusión. Así, la conclusión debe ser cierta.
La forma del argumento es así:
\ [\ fitchctx {\ subproof {\ pline {\ lnot\ phi}} {\ elipsesline\\ pline {\ psi}\\ pline {\ lnot\ psi}}\ fpline {\ phi}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-formato” height="161" title="Rendido por Quicklatex.com” widthex.com” widthex.com ="69" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...155748/Images/ quicklatex.com-78adcfd2484235103afc6dfb18d20cfa_l3.png” />
Tradicionalmente, el supuesto de derivación indirecta también se ha llamado comúnmente “el supuesto para reductio”.
Como ejemplo concreto, podemos probar nuestro caso desconcertante.
\ [\ fitchprf {\ pline [1.] {(P\ lif (Q\ lor R))} [premisa]\\\ pline [2.] {\ lnot Q} [premisa]\\\ pline [3.] {\ lnot R} [premisa]} {\ subprueba {\ pline [4.] {\ lnot\ lnot P} [suposición para derivación indirecta]} {\ pline [5.] {P} [doble negación, 4]\\\ pline [6.] {(Q\ lor R)} [modus ponens, 1, 5]\\\ pline [7.] {R} [modus tollendo ponens, 6, 2]\\\ pline [8.] {\ lnot R} [repetir, 3]\\}\ pline [9.] {\ lnot P} [derivación indirecta, 4-8]}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-format” height="249" title="Rendizado por Quicklatex.com” width="626" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...7321229_l3.png "/>
Asumimos la negación de nuestra conclusión en la línea 4. La conclusión que creíamos que era correcta era ¬P, y la negación de esto es ¬P. En la línea 7, probamos R. Técnicamente, ya terminamos en ese punto, pero nos gustaría ser amables con cualquiera que intente entender nuestra prueba, así que repetimos la línea 3 para que las frases R y ¬R estén lado a lado, y es muy fácil ver que algo ha salido mal. Es decir, si hemos probado tanto R como ¬R, entonces hemos probado algo falso.
Nuestro razonamiento ahora va así. ¿Qué salió mal? La línea 8 es un uso correcto de la repetición; la línea 7 proviene de un uso correcto de modus tollendo ponens; la línea 6 de un uso correcto de modus ponens; la línea 5 de un uso correcto de la doble negación. Entonces, no cometimos un error en nuestro razonamiento. Usamos las líneas 1, 2 y 3, pero esas son premisas que acordamos asumir son correctas. Esto deja la línea 4. Esa debe ser la fuente de mi contradicción. Debe ser falso. Si la línea 4 es falsa, entonces ¬P es verdadera.
Algunas personas consideran que las pruebas indirectas son menos fuertes que las pruebas directas. Hay muchas, y complejas, razones para ello. Pero, para nuestra lógica proposicional, ninguna de estas razones se aplica. Esto se debe a que es posible demostrar que nuestra lógica proposicional es consistente. Esto significa que es posible probar que nuestra lógica proposicional no puede probar una falsedad a menos que primero se introduzca una falsedad en el sistema. (Generalmente no es posible probar que sistemas lógicos o matemáticos más potentes y avanzados sean consistentes, desde dentro de esos sistemas; por ejemplo, no se puede probar en aritmética que la aritmética es consistente). Dado que podemos estar seguros de la consistencia de la lógica proposicional, podemos estar seguros de que en nuestra lógica proposicional una prueba indirecta es una buena forma de razonamiento. Sabemos que si demostramos una falsedad, debemos haber puesto una falsedad; y si confiamos en todos los demás supuestos (es decir, las premisas) de nuestra prueba salvo el supuesto de derivación indirecta, entonces podemos estar seguros de que esta suposición para derivación indirecta debe ser la fuente de la falsedad.
Aquí se requiere una nota sobre terminología. La palabra “contradicción” se usa de manera ambigua en la mayoría de las discusiones lógicas. Puede significar una situación como la que vemos arriba, donde se hacen valer dos frases, y estas frases no pueden ser ambas ciertas. O puede significar una sola oración que no puede ser cierta. Un ejemplo de tal oración es (P^¬P). La tabla de la verdad para esta frase es:
| P | ¬P | (P ^ ¬P) |
|---|---|---|
| T | F | F |
| F | T | F |
Así, este tipo de oraciones nunca pueden ser ciertas, independientemente del significado de P.
Para evitar ambigüedades, en este texto, siempre llamaremos “frase contradictoria” a una sola oración que no puede ser verdadera. Así, (P^¬P) es una frase contradictoria. Las situaciones en las que se aseveran dos frases que no pueden ser ambas verdaderas se llamarán “contradicción”.
8.3 Nuestro ejemplo, y otros ejemplos
Podemos reconstruir ahora una versión del argumento de Galileo. Utilizaremos la siguiente clave.
P: Hay infinidades reales (incluyendo los números naturales y los números cuadrados).
P: Hay una correspondencia uno a uno entre los números naturales y los números cuadrados.
R: El tamaño del conjunto de los números naturales y el tamaño del conjunto de los números cuadrados son los mismos.
S: Todos los números cuadrados son números naturales.
T: Algunos de los números naturales no son números cuadrados.
U: Hay más números naturales que números cuadrados.
Con esta clave, se traducirá el argumento:
(P→Q)
(Q→R)
(P→ (S^T))
((S^T) →U)
(U→¬R)
______
¬P
Y podemos probar que este es un argumento válido usando derivación indirecta:
\ [\ fitchprf {\ pline [1.] {(P\ lif Q)} [premisa]\\\ pline [2.] {(Q\ lif R)} [premisa]\\\ pline [3.] {(P\ lif (S\ tierra T))} [premisa]\\\ pline [4.] {((S\ tierra T)\ lif U)} [premisa]\\\ pline [5.] {(U\ lif\ lnot R)} [premisa]} {\ subprueba {\ pline [6.] {\ lnot\ lnot P} [suposición para derivación indirecta]} {\ pline [7.] {P} [doble negación, 6]\\\ pline [8.] {Q} [modus ponens, 1, 7]\\\ pline [9.] {R} [modus ponens, 2, 8]\\\ pline [10.] {(S\ tierra T)} [modus ponens, 3, 7]\\\ pline [11.] {U} [modus ponens, 4, 10]\\\ pline [12.] {\ lnot R} [modus ponens, 5, 11]\\\ pline [13.] {R} [repetir, 9]}\ pline [14.] {\ lnot P} [derivación indirecta, 6-13]}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-format” height="337" title="Rendizado por Quicklatex.com” width="626" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...2daeaf3_l3.png "/>
En la línea 6, asumimos ¬¬P porque Galileo creía que ¬P y pretendía probarlo ¬P. Es decir, creía que no hay infinidades reales, y así asumió que era falso creer que no es el caso de que no haya infinidades reales. Esta falsedad conducirá a otras falsedades, exponiéndose.
Para los que estén interesados: Galileo concluyó que no hay infinidades reales sino infinidades potenciales. Así, razonó, no es el caso de que todos los números naturales existan (en algún sentido de “existir”), sino que es cierto que podrías contar los números naturales para siempre. Muchos filósofos antes y después de Galileo sostuvieron este punto de vista; es similar a un punto de vista sostenido por Aristóteles, quien fue un importante lógico y filósofo escribiendo casi dos mil años antes de Galileo.
Obsérvese que en un argumento como este, se podría razonar que no el supuesto de derivación indirecta, sino más bien una de las premisas era la fuente de la contradicción. Hoy en día, la mayoría de los matemáticos creen esto sobre el argumento de Galileo. Un lógico y matemático llamado Georg Cantor (1845-1918), el inventor de la teoría de conjuntos, argumentó que los conjuntos infinitos pueden tener subconjuntos propios del mismo tamaño. Es decir, Cantor negó la premisa 4 anterior: aunque todos los números cuadrados son números naturales, y no todos los números naturales son números cuadrados, no es el caso que estos dos conjuntos sean de diferente tamaño. Cantor aceptó sin embargo la premisa 2 anterior, y, por lo tanto, creía que el tamaño del conjunto de números naturales y el tamaño del conjunto de números cuadrados es el mismo. Hoy, utilizando el razonamiento de Cantor, matemáticos y logísticos estudian el infinito, y han desarrollado un gran cuerpo de conocimiento sobre la naturaleza del infinito. Si esto te interesa, consulta la sección 17.5.
Consideremos otro ejemplo para ilustrar la derivación indirecta. Un conjunto muy útil de teoremas son hoy llamados “Teoremas de De Morgan”, después del lógico Augusto De Morgan (1806—1871). No podemos expresarlos completamente hasta el capítulo 9, pero podemos afirmar su equivalente en inglés: DeMorgan observó que ¬ (PvQ) y (¬P^¬Q) son equivalentes, y también que ¬ (P^Q) y (¬Pv¬q) son equivalentes. Ante esto, debería ser un teorema de nuestro lenguaje que (¬ (PvQ) → (¬P^¬Q)). Demostrémoslo.
Toda la fórmula es un condicional, por lo que usaremos una derivación condicional. Nuestra prueba debe comenzar así:
\ [\ fitchprf {} {\ subprueba {\ pline [1.] {\ lnot (P\ lor Q)} [suposición para derivación condicional]} {}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-format” height="117" title="Rendido por Quicklatex.com” width="652" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...425c1da_l3.png "/>
Para completar la derivación condicional, debemos probar (¬P^¬Q). Esta es una conjunción, y nuestra regla para mostrar conjunciones es la amonestación. Dado que usar esta regla podría ser nuestra mejor manera de mostrar (¬P^¬Q), podemos apuntar a mostrar ¬P y luego mostrar ¬Q, y luego realizar una amonestación. Pero, obviamente tenemos muy poco con qué trabajar—solo la línea 1, que es una negación. En tal caso, suele ser prudente intentar una prueba indirecta. Comience con una prueba indirecta de ¬P.
\ [\ fitchprf {} {\ subprueba {\ pline [1.] {\ lnot (P\ lor Q)} [suposición para derivación condicional]} {\ subproof {\ pline [2.] {\ lnot\ lnot P} [suposición para derivación indirecta]} {\ pline [3.] {P} [doble negación, 2]\\}}}\]” class="ql-img-ecuación-visualizada-quicklatex-auto-format” height="201" title="Rendido por Quicklatex.com” width="652" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...c23c123_l3.png "/>
Ahora necesitamos encontrar una contradicción, cualquier contradicción. Pero ya hay una obvia. La línea 1 dice que ni P ni Q son ciertas. Pero la línea 3 dice que P es cierto. Debemos hacer explícita esta contradicción encontrando una fórmula y su negación. Podemos hacer esto usando la adición.
\ [\ fitchprf {} {\ subprueba {\ pline [1.] {\ lnot (P\ lor Q)} [suposición para derivación condicional]} {\ subproof {\ pline [2.] {\ lnot\ lnot P} [suposición para derivación indirecta]} {\ pline [3.] {P} [doble negación, 2]\\\ pline [4.] {(P\ lor Q)} [suma, 3]\\\ pline [5.] {\ lnot (P\ lor Q)} [repetir, 1]}\ pline [6.] {\ lnot P} [derivación indirecta 2-5]}}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-formato” height="223" title="Rendido por Quicklatex.com” width="652" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...5de5b40_l3.png "/>
Para completar la prueba, volveremos a utilizar esta estrategia.
\ [\ fitchprf {} {\ subprueba {\ pline [1.] {\ lnot (P\ lor Q)} [suposición para derivación condicional]} {\ subproof {\ pline [2.] {\ lnot\ lnot P} [suposición para derivación indirecta]} {\ pline [3.] {P} [doble negación, 2]\\\ pline [4.] {(P\ lor Q)} [suma, 3]\\\ pline [5.] {\ lnot (P\ lor Q)} [repetir, 1]}\ pline [6.] {\ lnot P} [derivación indirecta 2-5]\\\ subprueba {\ pline [7.] {\ lnot\ lnot Q} [suposición para derivación indirecta]} {\ pline [8.] {Q} [doble negación, 7]\\\ pline [9.] {(P\ lor Q)} [suma, 8]\\\ pline [10.] {\ lnot (P\ lor Q)} [repetir, 1]}\ pline [11.] {\ lnot Q} [derivación indirecta 7-10]\\\ pline [12.] {(\ lnot P\ tierra\ lnot Q)} [amonestación, 6, 11]}\ pline [13.] {(\ lnot (P\ lor Q)\ lif (\ lnot P\ land\ lnot Q))} [derivación condicional 1-12]}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-format” height="373" title="Rendizado por Quicklatex.com” width="653" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...209b6356ac7e4_ l3.png "/>
Demostraremos los teoremas de De Morgan como problemas para el capítulo 9.
Aquí hay una regla general para hacer pruebas: Al probar un condicional, siempre hacer derivación condicional; de lo contrario, intente la derivación directa; si eso falla, entonces, intente la derivación indirecta.
8.4 Problemas
- Complete las siguientes pruebas. Cada uno requerirá una derivación indirecta. Los dos últimos son desafiantes.
- Locales: (P → R), (Q → R), (PvQ). Conclusión: R.
- Locales: (PvQ) → R), ¬R. Conclusión: ¬P.
- Premisa: (¬P^¬Q). Conclusión: ¬ (PvQ).
- Premisa: (P → R), (Q → S), ¬ (R ^ S). Conclusión: ¬ (P ^ Q).
- Premisa: ¬R, ((P → R) v (Q → R)). Conclusión: (¬P v ¬Q).
- Premisa: ¬ (R v S), (P → R), (Q → S). Conclusión: ¬ (P v Q).
- Demostrar los siguientes son teoremas.
- ¬ (P^¬P).
- ¬ ((P → ¬P) ^ (¬P → P)).
- (¬P → ¬ (P^Q)).
- ((P^¬Q) → ¬ (P → Q)).
- En inglés coloquial normal, escribe tu propio argumento válido con al menos dos premisas. Tu argumento debe ser solo un párrafo (no una lista ordenada de oraciones o cualquier otra cosa que parezca lógica formal). Traducirlo a lógica proposicional y demostrar que es válido usando una derivación indirecta.
[10] Esta traducción del título del libro de Galileo se ha convertido en la más común, aunque una más literal habría sido Discursos matemáticos y demostraciones. Las traducciones del libro incluyen Drake (1974).