2.4: Derivación universal

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Craig DeLancey
SUNY Oswego via OpenSUNY

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14.1 Un ejemplo: el Meno

En uno de los diálogos de Platón, el Meno, Sócrates utiliza preguntas e indicaciones para dirigir a un joven esclavo en el proceso de hacer una plaza que tiene el doble de área de una plaza dada, utilizando la diagonal del cuadrado dado como costado en la nueva plaza. Sócrates dibuja un cuadrado de 1 pie sobre un costado en la tierra. El joven al principio solo sugiere que para duplicar su área, se deben duplicar los dos lados de la plaza, pero Sócrates le muestra que esto resultaría en un cuadrado que es cuatro veces el área del cuadrado dado; es decir, un cuadrado del tamaño cuatro pies cuadrados. A continuación, Sócrates toma este cuadrado de 2×2, que tiene cuatro pies cuadrados, y le muestra al niño cómo hacer un cuadrado doble de su tamaño.

Sócrates: Dime, muchacho, ¿no es este un cuadrado de cuatro pies que he dibujado?
Chico: Sí.
Sócrates: ¿Y ahora agrego otro cuadrado igual al anterior?
Chico: Sí.
Sócrates: ¿Y un tercero, que es igual a cualquiera de ellos?
Chico: Sí.
Sócrates: ¿Supongamos que llenamos el rincón vacante?
Chico: Muy bien.
Sócrates: ¿Aquí, entonces, hay cuatro espacios iguales?
Chico: Sí. ^[12]

Entonces, lo que Sócrates ha dibujado en este punto se ve así:

Sócrates cuadrícula capítulo 14

Supongamos que cada cuadrado es un pie en un costado. Sócrates le preguntará ahora al niño cómo hacer un cuadrado que sea de ocho pies cuadrados, o el doble del tamaño de su cuadrado inicial de 2×2. Sócrates tiene un objetivo y un método para dibujar el cuadrado cuatro veces el tamaño del original.

Sócrates: ¿Y cuántas veces más grande es este espacio que el otro?
Chico: Cuatro veces.
Sócrates: Pero debió haber sido sólo el doble, como recordarán.
Chico: Cierto.
Sócrates: ¿Y esta línea, llegando de esquina a esquina, no biseca cada uno de estos espacios?

Por “espacios”, Sócrates significa cada una de las casillas 2×2. Sócrates ha dibujado ahora lo siguiente:

rejilla con diamante capítulo 14

Chico: Sí.
Sócrates: Y ¿no hay aquí cuatro líneas iguales que contengan esta nueva plaza?
Chico: Los hay.
Sócrates: Mira y mira cuánto es esta nueva plaza.
Chico: No entiendo.

Después de alguna discusión, Sócrates consigue que el niño vea que donde la nueva línea corta un pequeño cuadrado, lo corta por la mitad. Entonces, agregando todos los cuadrados pequeños dentro de este nuevo cuadrado, y agregando los medios cuadrados pequeños dentro de esta nueva plaza, el niño es capaz de responder.

Sócrates: ¿La nueva plaza es de cuántos pies?
Chico: De ocho pies.
Sócrates: ¿Y de qué línea obtienes esta nueva plaza?
Chico: A partir de esto. [El chico presumiblemente apunta a la línea oscura en nuestro diagrama.]
Sócrates: Es decir, ¿de la línea que se extiende de esquina a esquina de cada uno de los espacios de cuatro pies?
Chico: Sí.
Sócrates: Y esa es la línea que los educados llaman la “diagonal”. Y si este es el nombre propio, entonces usted, el esclavo de Meno, ¿está preparado para afirmar que el doble espacio es el cuadrado de la diagonal?
Chico: Ciertamente, Sócrates.

Para el cuadrado original que era 2×2 pies, dibujando una diagonal del cuadrado pudimos dibujar un lado de un cuadrado que es el doble del área. Sócrates ha demostrado cómo hacer un cuadrado dos veces el área de cualquier cuadrado dado: hacer que los lados del nuevo cuadrado sean cada uno tan grandes como la diagonal del cuadrado dado.

Es curioso que simplemente al cuestionar al esclavo (que habría sido hijo de una familia griega derrotada en batalla, y se habría visto privado de cualquier educación), Sócrates sea capaz de conseguir que complete una prueba. Platón toma esto como una demostración de una extraña doctrina metafísica de que cada uno de nosotros alguna vez lo sabía todo y lo hemos olvidado, y ahora solo necesitamos que nos ayuden a recordar la verdad. Pero hay que señalar un hecho diferente e interesante. Ni Sócrates ni el esclavo dudan jamás de que la demostración de Sócrates sea cierta de todas las plazas. Es decir, mientras Sócrates dibuja cuadrados en la tierra, el chico esclavo nunca dice: “Bueno, Sócrates, has demostrado que para hacer un cuadrado el doble de grande que este cuadrado que has dibujado, necesito tomar la diagonal de esta plaza como un lado de mi nueva plaza. Pero, ¿qué pasa con un cuadrado que es mucho más pequeño o más grande que el que dibujaste aquí?”

Esa es, de hecho, una pregunta muy desconcertante. ¿Por qué la demostración de Sócrates es buena para todos, para cualquiera, plazas?

14.2 Una extrañeza familiar

Hemos guardado para el final el tema más sutil sobre el razonamiento con cuantificadores: ¿cómo demostraremos que algo es universalmente cierto?

Considera el siguiente argumento. Asumiremos un lenguaje lógico de primer orden que hable de números, ya que a veces es más fácil imaginar algo cierto de todo en nuestro dominio del discurso si estamos hablando de números.

Todos los números uniformemente divisibles por ocho son uniformemente divisibles por cuatro.

Todos los números uniformemente divisibles por cuatro son uniformemente divisibles por dos.

_____

Todos los números uniformemente divisibles por ocho son uniformemente divisibles por dos.

Supongamos una clave de traducción implícita, y entonces podemos decir que lo siguiente es una traducción de este argumento.

f x (F x →G x)

f x (G x →H x)

_____

f x (F x →H x)

Esto parece un argumento válido. En efecto, puede parecer obvio que es válido. Pero para demostrarlo, necesitamos alguna manera de poder probar una declaración universal.

Pero, ¿cómo podríamos hacer tal cosa? Hay infinitamente muchos números, así que seguramente no podemos verificarlos todos. ¿Cómo demostramos que algo es cierto para todos los números, sin tomar una cantidad infinita de tiempo y crear una prueba infinitamente larga?

Lo más probable es que ya sepas cómo hacer esto, aunque nunca hayas reflexionado sobre tu habilidad. Lo más probable es que viste una prueba de un reclamo universal muy atrás en la primaria, y sin reflexión concluyó que era bueno y adecuado. Por ejemplo, cuando te enseñaron por primera vez que la suma de los ángulos interiores de un triángulo equivale a dos ángulos rectos, es posible que hayas visto una prueba que usaba un solo triángulo como ilustración. Podría haber ido algo como esto: supongamos que las líneas AB y CD son paralelas, y que otros dos segmentos de línea EF y EG cruzan esas líneas paralelas, y se encuentran en AB en E. Supongamos también que los ángulos alternos para cualquier línea que cruce líneas paralelas son iguales. Supongamos que una línea equivale a dos ángulos rectos, o 180 grados. Entonces, en la siguiente imagen, b'=b, c'=c, y b'+c'+a=180 grados. Así, a+b+c=180 grados.

diagrama capítulo 14.2

La mayoría de nosotros pensamos en tal prueba, vemos el razonamiento y estamos de acuerdo con ella. Pero si reflexionamos por un momento, deberíamos ver que es bastante misterioso por qué funciona tal prueba. Eso es porque, pretende mostrarnos que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es lo mismo que dos ángulos rectos. Pero hay infinitamente muchos triángulos (de hecho, los lógicos han demostrado que hay más triángulos que números naturales!). Entonces, ¿cómo puede ser que este argumento demuestre algo sobre todos los triángulos? Además, en el diagrama anterior, hay infinitamente muchos conjuntos diferentes de dos líneas paralelas que podríamos haber utilizado. Y así sucesivamente.

Esto también toca el caso que vimos en el Meno. Sócrates prueba que el área de un cuadrado A dos veces más grande que el cuadrado B no tiene simplemente lados dos veces más largos que los lados de B; más bien, cada lado de A debe ser la longitud de la diagonal de B. Pero él y el niño dibujaron solo un cuadrado en la tierra. Y ni siquiera va a ser adecuadamente cuadrado. ¿Cómo pueden concluir algo sobre cada cuadrado a partir de su razonamiento y de un dibujo crudo?

En todos estos casos, existe una característica importante de la prueba pertinente. Los cuadrados vienen en muchos tamaños, los triángulos vienen en muchos tamaños y formas. Pero lo que nos interesa en tales pruebas son todas y sólo las propiedades que tienen todos los triángulos, o todas y sólo las propiedades que tienen todas las plazas. Nos referimos a un triángulo, o un cuadrado, que es abstracto de una manera extraña: hacemos inferencias sobre, y solo nos referimos a, sus propiedades que se comparten con todas las cosas de su tipo. Realmente estamos considerando una instancia especial, generalizada.

Podemos llamar a esta instancia especial la “instancia arbitraria”. Si demostramos que algo es cierto del triángulo arbitrario, entonces concluimos que es cierto para todos los triángulos. Si demostramos que algo es cierto del cuadrado arbitrario, entonces concluimos que es cierto para todos los cuadrados. Si demostramos que algo es cierto de un número natural arbitrario, entonces concluimos que es cierto para todos los números naturales. Y así sucesivamente.

14.3 Derivación universal

Para utilizar esta perspicacia, introduciremos no una regla de inferencia, sino un nuevo método de prueba. Llamaremos a este método de prueba “derivación universal” o, sinónimamente, “prueba universal”. Necesitamos algo que represente la instancia arbitraria. Por una serie de razones, es tradicional usar variables no enlazadas para esto. No obstante, para dejar claro que la variable se está utilizando de esta manera especial, y que la fórmula bien formada así formada es una oración, usaremos un prime—es decir, la pequeña marca “′” —para marcar la variable. Que α sea cualquier variable. Nuestro método de prueba se ve así.

Donde α ′ no aparece en ninguna prueba abierta por encima del inicio de la derivación universal.

Recuerde que una prueba abierta es una subprueba que no está concluida.

Llamaremos a cualquier término simbólico de esta forma (x ′, y ′, z ′...) un “término arbitrario”, y muchas veces es conveniente describirlo como referente al objeto arbitrario o instancia arbitraria. Pero no hay ningún objeto en nuestro dominio del discurso al que se refiera tal término. Más bien, representa una abstracción: lo que todas las cosas en el dominio del discurso tienen en común.

La semántica de una instancia arbitraria es quizás menos misteriosa cuando consideramos las actuales limitaciones sintácticas sobre una derivación universal. No se debería poder decir nada sobre una instancia arbitraria α′ a menos que se haya hecho una instanciación universal de una reivindicación universal. Ninguna otra frase debería permitir afirmaciones sobre α′. Por ejemplo, no se puede realizar una instanciación existencial a una instancia arbitraria, ya que requerimos que la instanciación existencial se hiciera a nombres especiales indefinidos que aún no han aparecido en la prueba. Pero si solo podemos hacer afirmaciones sobre α′ usando la instanciación universal, entonces estaremos afirmando algo sobre α′ que podríamos haber afirmado sobre cualquier cosa en nuestro dominio del discurso. Visto de esta manera, desde la perspectiva de la sintaxis de nuestra prueba, la derivación universal ojalá parezca muy intuitiva.

Esta prueba esquemática tiene una línea donde indicamos que vamos a usar α′ como el objeto arbitrario, poniendo α′ en una caja. Esto no es necesario, y no forma parte de nuestra prueba. Más bien, como las explicaciones que escribimos al costado, está ahí para ayudar a alguien a entender nuestra prueba. Dice, este es el comienzo de una derivación universal, y α′ significa el objeto arbitrario. Ya que esto no es en realidad una línea en la prueba, no necesitamos numerarla.

Ahora podemos probar que nuestro ejemplo anterior es válido.

Recuerde que nuestra especificación del método de prueba tiene una condición especial, que α′ no debe aparecer antes en una prueba abierta (una prueba que aún se está completando). Esto nos ayuda a evitar confundir dos o más instancias arbitrarias. Aquí, no hay x ′ que aparezca por encima de nuestra derivación universal en una prueba abierta (de hecho, no hay otra instancia arbitraria que aparezca en la prueba por encima de x ′), por lo que hemos seguido la regla.

14.4 Dos teoremas útiles: equivalencia del cuantificador

Nuestra definición de “teorema” sigue siendo la misma para la lógica de primer orden y para la lógica proposicional: una oración que puede probarse sin premisas. No obstante, ahora tenemos una distinción a la hora de la semántica de las oraciones que debe ser cierta. Generalmente, pensamos en una tautología como una oración que debe ser verdadera en función de los conectivos verdad-funcionales que constituyen esa oración. Es decir, identificamos que una tautología debe ser cierta haciendo una tabla de verdad para la tautología. Hay, sin embargo, oraciones de la lógica de primer orden que deben ser ciertas, pero no podemos demostrarlo con una tabla de verdad. Aquí hay un ejemplo:

f x (F x v ¬F x)

Esta frase debe ser cierta. Pero no podemos mostrar esto con una tabla de la verdad. En cambio, necesitamos el concepto de un modelo (introducido brevemente en la sección 17.6) para describir esta propiedad con precisión. Pero incluso con nuestra semántica intuitiva, podemos ver que esta frase debe ser cierta. Porque, requerimos (en nuestra restricción a los predicados) que todo en nuestro dominio del discurso sea o no sea, una F.

Llamamos a una frase de primer orden lógica que debe ser verdadera, “lógicamente verdadera”. Así como era una virtud de la lógica proposicional que todos los teoremas son tautologías, y todas las tautologías son teoremas; es una virtud de nuestra lógica de primer orden que todos los teoremas son lógicamente verdaderos, y todas las oraciones lógicamente verdaderas son teoremas. Demostrarlo está más allá del alcance de este libro, pero es algo hecho en los cursos y textos de lógica más avanzados.

Aquí hay una prueba de que a x (F x v ¬F x).

Consideremos otro ejemplo de una frase lógicamente verdadera que podemos probar, y así, practicar la derivación universal. La siguiente frase es lógicamente cierta.

((P x (F x → G x) ^ f x (F x → H x)) → α x (F x → (Gx ^H x))

Aquí hay una prueba. La fórmula es un condicional, por lo que usaremos derivación condicional. No obstante, la consecuencia es una oración universal, por lo que necesitaremos una derivación universal como subprueba.

Así como hubo teoremas útiles de la lógica proposicional, hay muchos teoremas útiles de la lógica de primer orden. Dos teoremas muy útiles se refieren a la relación entre reivindicaciones existenciales y universales.

(x F x ↔ ¬ α x ¬F x)

(P x F x ↔ ¬x ¬F x)

Algo es F por si acaso no todo no es F. Y, todo es F si y sólo si ni siquiera una cosa no es F.

Podemos probar el segundo de estos, y dejar el primero como ejercicio.

14.5 Ilustrar la invalidez

Considera el siguiente argumento:

f x (Alto x →G x)

¬H d

_____

¬G d

Este es un argumento inválido. Es posible que la conclusión sea falsa pero las premisas son verdaderas.

Debido a que no podemos usar tablas de verdad para describir la semántica de los cuantificadores, hemos mantenido la semántica de los cuantificadores intuitiva. Una semántica completa para la lógica de primer orden se llama “modelo”, y requiere alguna teoría de conjuntos. Esto presenta una dificultad: no podemos demostrar que un argumento que utiliza cuantificadores no sea válido sin una semántica.

Afortunadamente, existe un método heurístico que podemos usar que no requiere desarrollar un modelo completo. Desarrollaremos un modelo intuitivo y parcial. La idea es que vamos a llegar a una interpretación del argumento, donde atribuimos un significado a cada predicado, y un referente para cada término, y donde esta interpretación hace que las premisas sean obviamente verdaderas y la conclusión obviamente falsa. Este no es un método perfecto, ya que dependerá de nuestra comprensión de nuestra interpretación, y porque nos exige demostrar algo de creatividad. Pero este método sí ilustra características importantes de la semántica de la lógica de primer orden, y utilizado cuidadosamente puede ayudarnos a ver por qué un argumento en particular no es válido.

A menudo es mejor crear una interpretación usando números, ya que hay menos vaguedad del significado de los predicados. Entonces supongamos que nuestro dominio del discurso son los números naturales. Entonces, necesitamos encontrar una interpretación de los predicados que haga verdaderas las dos primeras líneas y la conclusión falsa. Aquí hay uno:

H x: x es uniformemente divisible por 2

G x: x es uniformemente divisible por 1

d: 3

El argumento tendría entonces como premisas: Todos los números uniformemente divisibles por 2 son uniformemente divisibles por 1; y, 3 no es uniformemente divisible por 2. Estos dos son ciertos. Pero la conclusión sería: 3 no es uniformemente divisible por 1. Esto es falso. Esto ilustra que la forma del argumento no es válida.

Consideremos otro ejemplo. Aquí hay un argumento no válido:

f x (Fx→G x)

F a

_____

G b

Podemos ilustrar que es inválida al encontrar una interpretación que muestre las premisas verdaderas y la conclusión falsa. Nuestro dominio del discurso serán los números naturales. Interpretamos los predicados y nombres de la siguiente manera:

F x: x es mayor que 10

G x: x es mayor que 5

a: 15

b: 2

Ante esta interpretación, el argumento se traduce como: Cualquier número mayor que 10 es mayor que 5; 15 es mayor que 10; por lo tanto, 2 es mayor que 5. La conclusión es obviamente falsa, mientras que las premisas son obviamente ciertas.

En este ejercicio, puede parecer extraño que solo inventáramos significados para nuestros predicados y nombres. Sin embargo, mientras nuestras interpretaciones de los predicados y nombres sigan nuestras reglas, nuestra interpretación será aceptable. Recordemos que las reglas para los predicados son que tienen una aridad, y que cada predicado de arity n es verdadero o falso (nunca ambos, nunca tampoco) de cada n cosas en el dominio del discurso. La regla para los nombres es que se refieren a un solo objeto.

Esto ilustra un punto importante. Considera un argumento válido, e intenta llegar a alguna interpretación que lo haga inválido. Encontrarás que no puedes hacerlo, si respetas las restricciones sobre predicados y nombres. Asegúrate de entender esto. Aclarará mucho sobre la generalidad de la lógica de primer orden. Tome un argumento válido como:

f x (Fx→G x)

F a

_____

G a

Llegar a diversas interpretaciones para a y para F y G. Encontrarás que no puedes hacer un argumento inválido.

En resumen, un modelo informal utilizado para ilustrar la invalidez debe tener tres cosas:

un dominio del discurso;
una interpretación de los predicados; y
una interpretación de los nombres.

Si puedes encontrar un modelo tan informal que haga que las premisas sean obviamente verdaderas y la conclusión obviamente falsa, has ilustrado que el argumento no es válido. Esto puede tomar varios intentos: también a veces se pueden llegar a interpretaciones para argumentos inválidos que hagan verdaderas todas las premisas y la conclusión; esto no es sorprendente, cuando recuerdas la definición de válido (eso necesariamente, si las premisas son verdaderas entonces la conclusión es cierta, en otras palabras, es no es suficiente para que la conclusión simplemente pase a ser cierta).

14.6 Problemas

Demostrar lo siguiente. Estos requerirán derivación universal. (Para el tercero, recuerde que las variables utilizadas en los cuantificadores se utilizan meramente para indicar el lugar en la siguiente expresión que se está enlazando. Entonces, si cambiamos la variable nada más cambia en nuestra prueba o uso de reglas de inferencia.) Los tres últimos son desafiantes. Para estos tres últimos problemas, no utilice las reglas de negación del cuantificador.
1. Locales: α x F x, α x (F x ↔ G x). Conclusión: P x G x.
2. Locales: P x (F x → G x). Conclusión: α x (¬ G x → ¬ F x).
3. Locales: α x (F x ↔ H x), α y (H y ↔ G y). Conclusión: f z (F z ↔ G z).
4. Conclusión: (α x (¬F x v G x) → α x (F x → G x)).
5. Conclusión: (P x (F x ↔ G x) → (P x F x ↔ p) → x G x)).
6. Conclusión: (¬x F x ↔ α x ¬ F x).
7. Conclusión: (¬ α x F x ↔ x ¬ F x).
8. Conclusión: (x F x ↔ ¬ α x ¬ F x).
Crear un modelo informal diferente para cada uno de los siguientes argumentos para ilustrar que es inválido.
1. Locales: α x (F x → G x), ¬G a. Conclusión: ¬F b.
2. Locales: α x (F x v G x), ¬F a. Conclusión: G b.
3. Locales: α x (F x → G x), x F x. Conclusión: G c.
En inglés coloquial normal, escribe tu propio argumento válido con al menos dos premisas y con una conclusión que sea una afirmación universal. Tu argumento debe ser solo un párrafo (no una lista ordenada de oraciones o cualquier otra cosa que parezca lógica formal). Traducirlo a lógica de primer orden y demostrar que es válido.
¿Tenemos libre albedrío? Gran parte del trabajo que los filósofos han hecho para responder a esta pregunta se centra en tratar de definir o entender lo que sería el libre albedrío, y entender las consecuencias si no tenemos libre albedrío. Las dudas sobre el libre albedrío muchas veces han sido planteadas por quienes creen que la física finalmente explicará todos los eventos usando leyes deterministas, de modo que todo tenía que suceder de una manera. Aquí hay una versión simplificada de tal argumento.

Cada evento es causado por eventos previos a través de leyes físicas naturales. Cualquier suceso causado por hechos anteriores por vía de leyes físicas naturales no podría haber ocurrido de otra manera. Pero, si todos los eventos no podrían haber ocurrido de otra manera, entonces no hay un evento de voluntad libre. Concluimos, por lo tanto, que no hay hechos de voluntad libre.

Simbolizar este argumento y demostrar que es válido. Podría considerar usar los siguientes predicados:

F x: x es un evento.

G x: x es causado por eventos previos por vía de leyes físicas naturales.

H x: x podría haber ocurrido de otra manera.

I x: x es un evento de voluntad libre.

(Pista: este argumento requerirá derivación universal. La conclusión se puede tener usando modus ponens, si puedes probar: todos los eventos no podrían haber sucedido de otra manera). ¿Cree que este argumento es sólido?

[12] Estos pasajes están adaptados de la traducción Benjamin Jowett del Meno. Versiones de esta traducción están disponibles de forma gratuita en la web. Los estudiantes que esperan leer otras obras de Platón deben considerar a Cooper y Hutchinson (1997).

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