2.5: Relaciones, funciones, identidad y cuantificadores múltiples

15. Relaciones, funciones, identidad y cuantificadores múltiples

15.1 Relaciones

Hemos desarrollado una lógica de primer orden que es suficiente para describir muchas cosas. El objetivo de este capítulo es discutir formas de extender y aplicar esta lógica. Introduciremos relaciones y funciones, haremos algunas observaciones interesantes sobre la identidad y discutiremos cómo usar múltiples cuantificadores.

Recordemos que si tenemos un predicado de aridad mayor que uno, a veces llamamos a eso una “relación”. Una arity un predicado como “... es alto” no relaciona las cosas en nuestro dominio del discurso. Más bien, nos habla de una propiedad de una cosa en nuestro dominio del discurso. Pero un predicado arity dos como “... es más alto que...” relata pares de cosas en nuestro dominio del discurso.

De manera más general, podemos pensar en una relación como un conjunto de cosas ordenadas desde nuestro dominio del discurso. Una relación arity dos es así una colección de pares ordenados de cosas; la relación “... es más alta que...” serían todas las parejas ordenadas de cosas donde la primera es más alta que la segunda. El predicado “... es más alto que...” sería cierto de todas estas cosas. La relación “... se sienta entre... y...” sería la colección de todas las triples de cosas donde el primero se sentaba entre el segundo y el tercero. El predicado “... se sienta entre... y...” sería cierto de todas estas cosas.

Los logísticos han desarrollado una serie de formas útiles de hablar sobre las relaciones, especialmente las relaciones entre solo dos cosas. Podemos ilustrar esto con un ejemplo. Los hospitales y otras instalaciones de tratamiento médico a menudo necesitan sangre para transfusiones. Pero no puede hacer ningún tipo de sangre. Una forma de clasificar los tipos de sangre es utilizando el sistema ABO. Esto divide los tipos de sangre en cuatro grupos: A, B, AB y O. Esta clasificación describe antígenos en la superficie de las células sanguíneas. Es una clasificación muy útil, porque algunas personas tienen un sistema inmunológico que no tolerará los antígenos en otros tipos de sangre. Esta tolerancia está determinada por el grupo sanguíneo de uno.

Aquellos con sangre tipo O pueden dar sangre a cualquier persona, sin provocar una reacción inmune. Aquellos con tipo A pueden dar sangre a aquellos con tipo A y tipo AB. Aquellos con tipo B pueden dar sangre a aquellos con tipo B y tipo AB. Y aquellos con tipo AB solo pueden dar al tipo AB. Que las flechas signifiquen, se pueden dar a personas con este tipo de sangre sin causar una reacción alérgica en el siguiente diagrama:

Observe una serie de cosas. Primero, cada tipo de sangre puede compartir sangre con personas de ese tipo de sangre. Pero no siempre ocurre que si puedo compartir sangre contigo, puedes compartir sangre conmigo: podría ser que yo soy tipo O y tú eres tipo B. Además, si puedo compartir sangre contigo, y puedes compartir sangre con Tom, entonces puedo compartir sangre con Tom.

El primer rasgo de las relaciones se llama “reflexivo”. Para cualquier relación Φ (xy), la relación es reflexiva si y solo si:

f xΦ (xx)

Ejemplos de relaciones reflexivas en inglés incluyen “... es tan antiguo como...”. Cada persona es tan vieja como ella misma. Una relación que no es reflexiva es, “... es más antigua que...”. Ninguna persona es mayor que ella.

Para cualquier relación Φ, la relación es simétrica si y solo si:

P x f y (Φ (x y) → Φ (y x))

Ejemplos de relaciones simétricas en inglés incluyen “... is married to...”. En nuestro sistema legal al menos, si Pat está casado con Chris, entonces Chris está casado con Pat.

Por último, llamar a una relación “transitiva” si y solo si

f x f y f z ((Φ (x y) ^Φ (y z)) → Φ (x z))

Ejemplos de relaciones transitivas en inglés incluyen “... is older than...”. Si Tom es mayor que Steve, y Steve es mayor que Pat, entonces Tom es mayor que Pat.

Regresa ahora a nuestro ejemplo de tipos de sangre. Presentamos la siguiente clave de traducción:

G xy: x puede dar sangre a y sin causar una reacción inmune

Es el caso que

B x G xx

Y así sabemos que la relación G es reflexiva. Una persona con sangre tipo O puede darse sangre a sí misma, una persona con sangre tipo AB puede darse sangre a sí misma, y así sucesivamente. (Las personas hacen esto cuando almacenan sangre antes de una cirugía). ¿La relación es simétrica? Considera si lo siguiente es cierto:

α x α y (G xy → Gyx)

La reflexión de un momento revela que esto no es cierto. Una persona de tipo O puede darle sangre a una persona de tipo AB, pero la persona con sangre tipo AB no puede darle sangre a la persona con tipo O, sin potencialmente causar una reacción. Entonces G no es simétrico.

Por último, para determinar si G es transitivo, considere si lo siguiente es cierto.

f x f y f z ((G xy ^ G yz) → G xz)

Una persona con sangre tipo O puede darle sangre a una persona con sangre tipo A, y esa persona puede darle sangre a alguien de tipo AB. ¿Se deduce que la persona con tipo O pueda darle sangre a la persona con AB? Lo hace. Y de manera similar esto es así para todos los demás casos posibles. G es una relación transitiva.

15.2 Funciones

Una función es una especie de relación entre dos o más cosas. Lo que todas las funciones tienen en común es que relacionan algún número específico de cosas con precisamente una cosa. Un ejemplo familiar de las matemáticas podría ser la función de cuadratura. Escribimos para esto, n 2. Esto toma un número, digamos 7, y luego lo relaciona exactamente con otro número, el 49. O suma es una función que toma dos números y los relaciona exactamente con otro número, su suma.

La idea de una función es muy general, y se extiende más allá de las matemáticas. Por ejemplo, cada una de las siguientes podría ser una función (si se asumen ciertas cosas de antemano):

la madre de...

el padre de...

Piensa en cómo podrías usar algo así en nuestro lenguaje lógico. Se podría decir: “El padre de Tom es canadiense”. Pero ahora, ¿quién es canadiense? Tom no. El padre de Tom lo es. En esta frase, “el padre de...” actúa como una función. Se relaciona a una persona con otra persona. Y, en nuestro predicado, “el padre de Tom” actúa como un nombre, en que se refiere a una cosa.

Las funciones tienen una arity. La suma es una función arity dos; toma dos objetos para formar un término simbólico. Pero para ser una función, el término simbólico resultante debe referirse siempre a un solo objeto. (Esta regla se rompe mucho en matemáticas, donde algunas relaciones se llaman “funciones” pero pueden tener más de una salida. Esto surge porque en dominios circunscritos del discurso, esas operaciones son funciones, y luego se aplican en nuevos dominios pero todavía se llaman “funciones”. Así, la función raíz cuadrada es una función cuando estamos estudiando los números naturales, pero una vez que introducimos números negativos ya no es una función. Pero los matemáticos lo llaman una “función” porque es en dominios limitados una función, y porque la salida diversa es predecible de diversas maneras. La lógica es el único campo donde uno gana el derecho de llamar descuidados a los matemáticos).

Las funciones son sorprendentemente útiles. Las computadoras, por ejemplo, pueden entenderse como máquinas funcionales, y la programación puede describirse útilmente como la escritura de funciones para la computadora. Gran parte de las matemáticas se ocupa de estudiar funciones, y a menudo resultan útiles para estudiar otras cosas en matemáticas que no son en sí mismas funciones.

Podemos agregar funciones a nuestro lenguaje lógico. Vamos a dejar que f, g, h,... sean funciones. Cada función, como se señaló, tiene una arity. Una función de arity n combinada con n términos simbólicos es un término simbólico.

Así, para hacer una clave para traducir la frase anterior, podemos tener:

K x: x es canadiense.

f x: el padre de x.

a: Tom

b: Steve

(Obviamente, estamos asumiendo que cada persona tiene un solo padre. Podría decirse que ese es solo un uso de la palabra “padre”, pero nuestro objetivo aquí es crear un ejemplo familiar, no tomar partido en ningún tema sobre las relaciones familiares. Entonces vamos a permitir la suposición sólo para hacer nuestro punto.) Usando esa clave, lo siguiente significaría “Tom es canadiense”:

K a

Y lo siguiente significaría “El padre de Tom es canadiense”:

Kf a

También podemos decir algo así como “el abuelo paterno de Tom es canadiense”:

Kff

O incluso, “el bisabuelo paterno de Tom es canadiense”:

Kfff

Eso funciona porque el padre del padre de Tom es el abuelo paterno de Tom, que entonces es un término simbólico, y le podemos aplicar la función. Recordemos que, cuando una regla puede ser aplicada repetidamente a su producto, llamamos a esto “recursión”.

15.3 Identidad

Hay un predicado que siempre ha sido enormemente útil, y que en la mayoría de los sistemas lógicos se destaca para una atención especial. Esto es identidad.

En inglés, la palabra “is” se multiplica ambigua, y debemos ordenar la identidad a partir de la predicación y la existencia. Por ejemplo, considere las siguientes frases:

Malcolm X es un gran orador.

Malcolm X es Malcolm Little.

Malcolm X es.

El último ejemplo no es muy común en el uso del inglés, pero es gramatical. Aquí vemos el “es” de la existencia. En la sentencia se afirma que Malcolm X existe. En la primera frase, trataríamos a “... es un gran orador” como un predicado arity one. El “es” es parte del predicado, y en nuestra lógica, no se puede distinguir del predicado. Pero el segundo caso utiliza el “es” de la identidad. Afirma que Malcolm X y Malcolm Little son lo mismo.

Debido a que es tan común usar el símbolo “=” para la identidad, lo usaremos, también. Estrictamente hablando, nuestra sintaxis requiere notación de prefijo. Pero para cualquier lenguaje que creamos, podríamos introducir un predicado arity dos

I xy: x es idéntico a y

Y entonces podríamos decir, cada vez que escribimos “α=β” realmente queremos decir “Iαβ”.

La identidad de nota describe una relación reflexiva, simétrica y transitiva. Todo es idéntico a sí mismo. Si a = b entonces b = a. Y si a = b y b = c entonces a = c.

Una característica especial de la identidad es que sabemos que si dos cosas son idénticas, entonces cualquier cosa verdadera de una es verdad de la otra. De hecho, el filósofo Leibniz definió la identidad con un principio que llamamos Ley de Leibniz: a y b son idénticos si y sólo si tienen todas y sólo las mismas propiedades. Nuestra lógica debe tomar la identidad como primitiva, sin embargo, porque no tenemos manera en nuestra lógica de decir “todas las propiedades” (esto es lo que significa “primer orden” en “lógica de primer orden”: nuestros cuantificadores solo tienen objetos particulares en su dominio).

La perspicacia de Leibniz, sin embargo, sugiere una regla de inferencia. Si α y β son términos simbólicos, y Φ (α) significa que Φ es una fórmula en la que aparece α, podemos decir

Φ (α)

α=β

_____

Φ (β)

Donde reemplazamos una o más ocurrencias de α en Φ por β. Podemos llamar a esta regla, “indiscernibilidad de las idénticas”. A esto a veces también lo llamamos, “sustitución de idénticos”.

Este es un tipo de regla interesante. Algunos logísticos llamarían a esto una “regla no lógica”. La razón es, sabemos que es propio porque conocemos el significado de “=”. A diferencia, por ejemplo, del modus ponens, que identifica una relación lógica entre dos tipos de oraciones, esta regla no se basa en la semántica de un conectivo, sino en el significado de un predicado. Esta noción de “no lógico” es un término de arte, pero sí parece profunda. Agregar tales reglas a nuestro lenguaje puede fortalecerlo considerablemente.

Agregar identidad a nuestro idioma nos permitirá traducir algunas expresiones que de otra manera no podríamos traducir. Considera nuestro ejemplo anterior, para funciones. ¿Cómo traduciríamos la expresión, “Steve es el padre de Tom”? Podríamos añadir a nuestro idioma un predicado, “... es el padre de...”. No obstante, es interesante que en esta expresión (“Steve es el padre de Tom”), el “es” es identidad. Una mejor traducción (usando la clave anterior) sería:

b =f a

También podemos decir cosas como, “El padre de Steve es el abuelo paterno de Tom”:

f b= ff a

Consideremos ahora una frase como esta: alguien es el padre de Tom. De nuevo, si tuviéramos un predicado para “... es el padre de...”, podríamos decir simplemente, hay algo que es el padre de Tom. Pero dado que tenemos una función para “el padre de x” también podríamos traducir esta frase como:

x x= f a

Podemos ver a partir de estos ejemplos que existen interesantes paralelismos entre las relaciones (incluidas las funciones) y los predicados. Para representar algún tipo de función, podemos introducir una función en nuestro lenguaje, que actúa como una especie especial de término simbólico, pero también es posible identificar un predicado que es cierto de todas y sólo aquellas cosas que la función relaciona. Sin embargo, debemos tener cuidado de distinguir entre predicados, que cuando se combinan con el número apropiado de nombres forman una oración; y funciones, que cuando se combinan con el número apropiado de otros términos son términos simbólicos. En nuestra lógica, tratar predicados como funciones (es decir, tomarlos como términos simbólicos para otros predicados) creará tonterías.

Por último, teníamos como ejemplo arriba, la frase “Malcolm X is”. Esto equivale a “Malcolm X existe”. Que c signifique Malcolm X. La identidad nos permite expresar esta frase. Decimos que hay al menos una cosa que es Malcolm X:

x x=c

15.4 Ejemplos de uso de múltiples cuantificadores

Apenas hemos comenzado a explorar el poder de los cuantificadores. Consideremos ahora las siguientes frases:

Cada número es mayor o igual a algún número.

Algún número es mayor o igual a cada número.

Cada número es menor o igual a algún número.

Algún número es menor o igual a cada número.

Dependiendo de nuestro dominio de discurso, algunas de estas frases son verdaderas, y algunas de ellas son falsas. ¿Podemos representarlos en nuestro lenguaje lógico?

Supongamos que introducimos un predicado arity dos para “mayor que o igual a”:

G xy: x es mayor o igual que y

Podemos seguir la tradición, y usar “≥”. Así, cuando escribimos “α≥β” entendemos que esto es “Gαβ”. Supongamos también que nuestro dominio del discurso son los números naturales. Es decir, estamos hablando sólo de 1, 2, 3, 4...

Ya podemos ver cómo dar un primer paso hacia la expresión de estas frases. Si escribimos:

x ≥ y

Nosotros hemos dicho que x es mayor o igual a y. Hemos utilizado cuantificadores para decir “todos”, y podemos escribir

a x x ≥ y

Que dice que cada número es mayor o igual a y. Pero, ¿cómo capturaremos las frases anteriores? Tendremos que usar múltiples cuantificadores. Para decir que “cada número es mayor que algún número”, escribiremos

P x y x ≥ y

Esto plantea importantes interrogantes sobre cómo interpretar múltiples cuantificadores. El uso de múltiples cuantificadores expande enormemente el poder de nuestro lenguaje. No obstante, debemos ser muy cuidadosos para entender su significado.

Considera las siguientes dos frases, que usarán nuestra clave anterior.

P x y x ≥ y

y α x x ≥ y

¿Tienen el mismo significado?

Según entendemos la semántica de los cuantificadores, diremos que no lo hacen. La idea básica es que leamos los cuantificadores de izquierda a derecha. Así, la primera frase anterior debe traducirse al inglés como “Cada número es mayor o igual a algún número”. La segunda frase debe traducirse, “Algún número es menor o igual a cada número”. Tienen significados muy diferentes. Dependiendo de nuestro dominio del discurso, podrían tener diferentes valores de verdad. Por ejemplo, si usamos los números naturales como nuestro dominio de discurso, la primera oración es verdadera y la segunda oración es verdadera. No obstante, si usamos los enteros para nuestro dominio del discurso, de manera que incluimos números negativos, entonces la primera oración es verdadera pero la segunda oración es falsa.

Puede ser útil pensar en múltiples cuantificadores de la siguiente manera. Si fuéramos a instanciar los cuantificadores, entonces, trabajaríamos de izquierda a derecha. Así, la primera oración dice algo así como, escoja cualquier número en nuestro dominio del discurso, entonces habrá al menos un número en nuestro dominio del discurso que sea menor o igual a ese primer número que ya escogiste. La segunda frase dice algo bastante diferente: hay al menos un número en nuestro dominio del discurso tal que, si eliges ese número, entonces cualquier número en nuestro dominio del discurso es mayor o igual a él.

Con esto en mente, ahora podemos traducir las cuatro frases anteriores. Incluimos el inglés con la traducción para evitar cualquier confusión.

Cada número es mayor o igual a algún número.

P x y x ≥ y

Algún número es mayor o igual a cada número.

x α y x ≥ y

Cada número es menor o igual a algún número.

p x y y ≥ x

Algún número es menor o igual a cada número.

x α y y ≥ x

Como señalamos anteriormente, el valor de verdad de estas frases puede cambiar si cambiamos nuestro dominio del discurso. Si nuestro dominio del discurso son los números naturales, entonces sólo la segunda oración es falsa; esto se debe a que para los números naturales hay un número menor (1), pero no hay mayor número. Pero si nuestro dominio del discurso son los enteros, entonces la segunda y cuarta frases son falsas. Esto se debe a que con los números negativos, no hay menor número: siempre se puede encontrar un número negativo menor.

Ojalá quede muy claro ahora por qué necesitamos la posibilidad de una serie de variables para nuestros cuantificadores. No podríamos escribir las expresiones anteriores si no tuviéramos variables discerniblemente distintas para permitir que diferentes cuantificadores vincularan diferentes ubicaciones en el predicado.

15.5 Capturar cantidades específicas

Puede ser interesante ver un uso poderoso de múltiples cuantificadores. En 1905, el filósofo británico Bertrand Russell (1872-1970) publicó un artículo muy perspicaz e influyente, “On Denoting”. Este trabajo, y el trabajo adicional de Russell que lo siguió, hicieron un uso brillante de una serie de problemas en la lógica y el lenguaje que perplejo a Russell. Russell estaba preocupado por una serie de acertijos que surgen en torno a frases como, “El actual presidente de Estados Unidos...”. Tal frase parece actuar como un nombre, y sin embargo surgen una serie de resultados extraños si la tratamos como un nombre.

Primero, supongamos que decimos

No es el caso de que Sam sea calvo.

Ahora supongamos que cualquiera que no sea calvo tiene pelo. Entonces, podríamos razonar que:

Sam tiene pelo.

Eso parece correcto, si concedemos la premisa de que todos los que no son calvos tienen pelo. Pero ahora consideremos la siguiente frase.

No es así que el actual Rey de Francia sea calvo.

Por el mismo razonamiento, esto parecería implicar que:

El actual Rey de Francia tiene pelo.

Pero eso no está bien. ¡No hay presente Rey de Francia!

Se pone peor. Afirmaremos que

El actual Rey de Francia no existe.

Esto parece escoger una cosa, el actual Rey de Francia, y atribuirle una propiedad, no existente. Después de todo, en nuestro lenguaje lógico, cada nombre debe referirse a algo. Pero si podemos escoger esa cosa para describirla como no existente, ¿no existe? Es decir, ¿no hay algo a lo que se refiere el término?

Algunos filósofos ciertamente argumentaron que todo término, incluso en un lenguaje natural, debe tener algo a lo que se refiere. El filósofo Alejo Meinong (1853-1920), por ejemplo, propuso que cada nombre tiene un referente que tiene ser, pero que la existencia estaba reservada para determinados objetos reales. Esto es muy extraño, cuando lo consideras: significa que “el cuadrado redondo” se refiere a algo, algo que tiene ser, pero que carece de existencia. Russell pensó que esta era una solución terrible, y quería encontrar otra.

Russell usa un ejemplo diferente para ilustrar un tercer problema. Supongamos que

Jorge IV deseaba saber si Scott era el autor de Waverley.

Aquí Russell plantea un problema relacionado con uno que el matemático Gottlob Frege ya había observado. Es decir, si scott=El autor de Waverley, entonces uno podría suponer que podríamos sustituir a “Scott” donde veamos a “el autor de Waverley” y obtener una frase que tenga el mismo valor de verdad. Es decir, introdujimos por encima de una regla —indiscernibilidad de idénticos— que, si se aplica aquí, debería permitirnos sustituir “el autor de Waverley” por “Scott” si Scott = El autor de Waverley. Pero eso falla: no es el caso que

Jorge IV deseaba saber si Scott era Scott.

Jorge IV ya sabe que Scott es Scott.

Russell presentó una solución brillante a estos acertijos. Desarrolló un análisis de algunas frases en inglés en una forma lógica que es bastante diferente de lo que cabría esperar. Por ejemplo, argumenta la forma adecuada para traducir “No es el caso de que el actual Rey de Francia sea calvo” es algo así. Que “G x” signifique “x es el actual rey de Francia” y “H x” signifique “x es calvo”, entonces esta frase se traduce:

x ((G x ^ H x) ^ α y (G y → x = y))

Esto dice que hay algo —llámalo x por ahora— que es el actual rey de Francia, y esa cosa es calva, y si algo es el actual rey de Francia es idéntico a x Esta segunda cláusula es una manera de decir que solo hay un rey de Francia, que es como Russell capta el significado de “la” en “la” actual rey de Francia”.

Esta sentencia es falsa, porque no existe un rey presente de Francia. Pero negar que el actual rey de Francia es calvo es afirmar más bien que

x ((G x ^ ¬ H x) ^ α y (G y → x = y) )

Esta frase también es falsa. No se puede utilizar para concluir que existe un rey actual de Francia que es hirsuto.

Un trabajo rápido similar se puede hacer con el rompecabezas sobre la existencia. “El actual rey de Francia no existe” equivale a “No es el caso de que exista el actual rey de Francia” y esto lo traducimos como:

¬ x (G x ^ α y (G y → x = y))

Tenga en cuenta que no hay necesidad en esta fórmula de un nombre que no se refiera a nada. No hay nombre en esta fórmula.

Por último, cuando Jorge IV quiso saber si Scott era el autor de Waverley, podemos dejar que “a” signifique “Scott”, y “W x” signifique “x es autor de Waverley”, y ahora afirmar que lo que el rey quería saber era si lo siguiente es cierto:

x ((Ancho x ^ α y (Ancho y → x = y)) ^ x = a)

En esto, la parte de la fórmula que capta el significado de “el autor de Waverley” no requiere ningún nombre, por lo que no hay problema de aplicar la regla de la indiscernibilidad de las idénticas. (Recordad que la regla de indiscernibilidad de los idénticos permite la sustitución de un término simbólico por un término simbólico idéntico. En esta fórmula, no existe un término simbólico para “el autor de Waverley”, y así incluso si Scott es el autor de Waverley, aquí no se puede aplicar la regla de la indiscernibilidad de las idénticas).

Russell ha hecho algo muy inteligente. Encontró la manera de interpretar una frase como “el actual rey de Francia” como una fórmula lógica compleja; tal fórmula puede construirse de manera que no utilice nombres para captar el significado de la frase. Es una pregunta interesante si el análisis de Russell debe interpretarse como describiendo, en cierto sentido, lo que realmente está dentro de nuestras mentes cuando usamos una frase como “El actual rey de Francia”. Ese es quizás un problema que deben resolver los científicos cognitivos. Nuestro interés es que Russell inspire una forma nueva y flexible de usar la lógica de primer orden para comprender posibles interpretaciones de este tipo de enunciados.

Las traducciones de Russell también sugieren una posibilidad sorprendente: quizás muchos nombres, o incluso todos los nombres, son en realidad frases como estas que son singularmente ciertas de una y solo una cosa. Eso fue de interés para los filósofos que quisieron explicar la naturaleza de la referencia; sugiere que la referencia podría explicarse utilizando la noción de una expresión predicada compleja siendo cierta de una cosa. Esa es una sugerencia radical, y una que Russell desarrolló y defendió. Propuso que los únicos nombres eran los primitivos muy básicos “esto” y “aquello”. Todos los demás nombres de lenguaje natural podrían entonces analizarse en frases complejas como las anteriores. Este es un tema para la filosofía del lenguaje, y no lo vamos a considerar más aquí.

Otro beneficio de la traducción de Russell es que ilustra cómo contar con el cuantificador. Esto es de gran interés para nuestra lógica. Cualquier frase de la forma “solo hay una cosa que es Φ” puede traducirse:

x (Φ (x) ^ α y (Φ (y) → x = y))

La perspicacia de Russell es que si sólo una cosa es Φ, entonces cualquier cosa que resulte ser Φ debe ser la misma cosa.

Un poco de ingenio demuestra que podemos usar su perspicacia para decir, hay exactamente dos cosas que son Φ. Podría ser útil al principio separar “hay al menos dos” y “hay como máximo dos”. Estos son:

x y ((Φ (x) ^Φ (y)) ^ ¬ x = y)

f x f y f z (((Φ (x) ^Φ (y)) ^Φ (z)) → ((x = y v x = z) v y = z))

Dice la primera frase, existe una cosa x y una cosa y tal que x tiene propiedad Φ e y tiene propiedad Φ y x e y no son lo mismo. Esto afirma que hay al menos dos cosas que tienen propiedad Φ. La segunda frase dice para cualquier x, y, z, si cada uno tiene la propiedad Φ, que al menos uno de ellos es el mismo que el otro. Esto afirma que hay a lo sumo dos cosas que tienen propiedad Φ.

Combínalos con una conjunción, y tienes la aseveración al menos dos cosas son Φ, y a lo sumo dos cosas son Φ. Es decir, hay exactamente dos cosas que son Φ.

(x y ((Φ (x) ^Φ (y)) ^ ¬ x = y) ^ α x α y f z (((Φ (x) ^Φ (y)) ^Φ (z)) → (((x = y v x = z) v y = z)))

Eso es incómodo, pero demuestra que podemos expresar cualquier cantidad en particular usando nuestro lenguaje lógico existente. Podremos decir, por ejemplo, que hay exactamente 17 cosas que son Φ. Es bastante sorprendente pensar que no necesitamos números para poder expresar cantidades finitas particulares, y que nuestra lógica es lo suficientemente fuerte como para hacerlo.

15.6 Problemas

1. Para cada uno de los siguientes, describa si la relación es reflexiva, simétrica o transitiva. Si carece de alguna de estas propiedades, dar un ejemplo de dónde fallaría el inmueble para la relación. (Es decir, si dices que una relación no es simétrica, por ejemplo, entonces da un ejemplo de excepción). Asumir un dominio del discurso de los humanos.
   1. ... es el hermano de...
   2. ... es la madre de...
   3. ... es la misma nacionalidad que...
   4. ... es mayor que...
   5. ... está enamorada de...
2. Haz tu propia clave y luego traduce lo siguiente a nuestro lenguaje lógico. Debes usar una función en tu traducción de cada oración que tenga una función implícita.
   1. La madre de Ludwig es musical.
   2. Ludwig no es musical.
   3. La abuela paterna de Ludwig es musical, pero su abuela materna no lo es.
   4. El padre de Ludwig es más alto que su madre.
   5. La madre de Ludwig no es más alta que Ludwig, o su padre.
   6. La madre de Ludwig no es el padre de Ludwig.
   7. Alguien es la madre de Ludwig.
   8. Alguien es la madre de alguien.
   9. Todos tienen madre.
   10. Nadie es la madre de todos.
3. Proporcione su propia clave y traduzca lo siguiente a nuestra lógica. Esto requerirá múltiples cuantificadores.
   1. Todo el mundo es amigo de alguien.
   2. Alguien es amigo de alguien.
   3. Alguien es amigo de todos.
   4. Todo el mundo es amigo de todos.
   5. Nadie es amigo de todos.
4. Utilice la interpretación de Russell para traducir las siguientes expresiones. Haz tu propia llave.
   1. El Emperador de Nueva York es rotudo.
   2. El emperador de Nueva Jersey no es rotoso.
   3. El Emperador de Nueva York no es el Emperador de Nueva Jersey.
   4. No hay Emperador de Nueva York pero sí un Emperador de Nueva Jersey.
   5. Hay dos y sólo dos Emperadores de Nueva York.
5. Usa nuestra lógica para expresar el reclamo: exactamente tres cosas tienen propiedad F.