12.3: Resolución y Frecuencia de Muestreo

Quizás la fuente de error más obvia es la precisión de medición finita de los niveles de señal individuales. El problema principal aquí es uno de resolución. La resolución representa el cambio discernible más fino en la señal y a menudo se especifica en términos de varios bits, aunque también es posible una especificación de voltaje. Debido a que el nivel de señal se representa con un número binario, se deduce que se necesita un gran número de bits para lograr una resolución fina. Por ejemplo, si se usa una palabra de ocho bits, habrá 256 valores distintos disponibles. Si el valor máximo de pico a pico de la señal de entrada es de 1 V, resulta que cada paso de la palabra representa aproximadamente 3.9 mV (1 V/256). Bajo estas condiciones, sería imposible codificar perfectamente un valor de 14 mV. Los valores más cercanos disponibles serían el binario 11, que arroja 11.7 mV (3 veces 3.9 mV), y el binario 100, que arroja 15.6 mV (4 veces 3.9 mV). Obviamente, la redondez resultante crea algún error en la representación digital. Este error se puede reducir aumentando la resolución para que se puedan detectar pasos más finos. Si se utilizan 16 bits para el mismo rango de 1 V, se dispone de un total de 65.536 valores, con cada paso funcionando a 15.26\(\mu\) V. Ahora bien, aunque es posible que todavía no podamos representar exactamente el nivel de 14 mV, se garantiza que estamos dentro de\(\pm\) 7.63\(\mu\) V, en lugar de\(\pm\) 1.95 mV como en el Estuche de ocho bits. Debido a que los errores de redondeo tienden a ser aleatorios en magnitud y polaridad, este efecto puede verse como una fuente de ruido. En otras palabras, resoluciones más bajas (es decir, menos bits) producen señales más ruidosas. El número de bits requeridos para una aplicación particular puede variar desde menos de 6 para aplicaciones de video de alta velocidad hasta más de 20 para fines de medición o audio de alta calidad.

Es importante señalar que una vez que se elige el tamaño de la palabra digital y se fija la amplitud máxima, la señal de entrada debe permanecer dentro de límites específicos o se producirá una distorsión bruta. Por ejemplo, si una entrada pico de 1 V produce el valor numérico máximo, no hay forma de que la palabra digital pueda representar un nivel mayor que 1 V. Asimismo, si el tamaño del paso se establece en 1 mV, se pierde cualquier señal menor a 1 mV. Además, las señales de bajo nivel sufrirán una resolución reducida. Para obtener los mejores resultados, el pico de la señal debe producir el valor numérico máximo. Si el pico es significativamente menor, el resultado es similar a usar menos bits en la representación. Finalmente, aunque la resolución sea adecuada, se debe considerar la precisión absoluta de la conversión, como lo es en cualquier dispositivo de medición.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Un determinado sistema utiliza una palabra de 12 bits para representar la señal de entrada. Si la señal máxima de pico a pico se establece para 2 V, determine la resolución del sistema y su rango dinámico.

Una palabra de 12 bits significa que\(2^{12}\), o 4096, los niveles son posibles. Como estos niveles están igualmente espaciados en el rango de 2 V, cada paso es

\[ \text{ Step Size} = \frac{2 V}{4096} \\ \text{ Step Size} = 488 \mu V \nonumber \]

Por lo tanto, el sistema puede resolver cambios tan pequeños como 488\(\mu\) V.

El rango dinámico representa la relación entre el valor más grande posible y el más pequeño.

\[\text{ Dynamic Range} = \frac{2V}{488 \mu V} \\ \text{ Dynamic Range} = 4096 \\ \text{ Dynamic Range} = 20 \log_{10} 4096 \\ \text{ Dynamic Range} = 72dB \nonumber \]

En el problema anterior, tenga en cuenta que el rango de voltaje afecta el tamaño del paso, pero no afecta la resolución de bits. El número real de pasos discretos que pueden resolverse se establece por el número de bits disponibles. Puede notar que cada bit adicional agrega aproximadamente 6 dB de rango (una duplicación del voltaje). En consecuencia, el cálculo del rango dinámico puede simplificarse para

\[\text{Dynamic Range } \approx 6dB \times \text{ Number of Bits} \label{12.1} \]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Los discos compactos de audio utilizan una representación de 16 bits de la señal musical. Determinar el rango dinámico. Además, si el nivel máximo de salida es de 0.775 V pico, determine el tamaño del paso.

\[\text{Dynamic Range } \approx 6dB \times \text{ Number of Bits} \\ \text{Dynamic Range } \approx 6dB \times 16 \\ \text{Dynamic Range } \approx 96dB \nonumber \]

Para 16 bits, el número total de pasos es\(2^{16}\), o 65536. Suponiendo que la señal es bipolar, el rango total de la señal será de −0.775 V a +0.775 V, o 1.55 V.

\[\text{Step Size } = \frac{1.55 V}{65536} \\ \text{Step Size } = 23.65 \mu V \nonumber \]

En este punto, debemos considerar el efecto de la frecuencia de muestreo sobre la calidad de la señal. Debe ser intuitivamente obvio que las tasas de muestreo más altas permiten una mayor precisión de conversión general. Por supuesto, hay una compensación asociada con altas tasas de muestreo, y esa es la alta tasa de datos que lo acompaña. Es decir, se requerirán mayores recursos para almacenar y procesar el mayor volumen de información digital. La verdadera pregunta es, ¿qué tan rápida debe ser la frecuencia de muestreo, para una eficiencia óptima? El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon establece que se necesitan al menos dos muestras por ciclo para una conversión de señal adecuada. Si la señal no es una sinusoide, entonces se requieren al menos dos muestras por ciclo del componente de frecuencia más alta. Por ejemplo, si se necesita digitalizar un rango de señales de hasta 10 kHz, entonces se requiere una frecuencia de muestreo de al menos 20 kHz. Normalmente, se agrega cierta cantidad de “espacio para respirar” a esta cifra. Otra forma de ver esta relación es afirmar que el componente de frecuencia de entrada más alto no puede ser más de la mitad de la frecuencia de muestreo. Debido a que este es un parámetro tan importante, al valor de la mitad de la frecuencia de muestreo se le da el nombre de frecuencia Nyquist.

\[\text{Nyquist frequency } = \frac{f_s}{2} \label{12.2} \]

Si un componente de frecuencia de entrada es mayor que la frecuencia Nyquist, se produce una forma única de distorsión llamada distorsión de alias. El producto de distorsión resultante, llamado alias, es una nueva señal a una frecuencia que es igual a la diferencia entre las frecuencias de entrada y Nyquist. Normalmente, esta nueva señal no está relacionada armónicamente con la señal de entrada, y por lo tanto, se detecta fácilmente. El efecto de aliasing se muestra gráficamente en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): El efecto de aliasing (frecuencia de muestreo demasiado baja).

Aquí vemos una frecuencia de muestreo que es solo aproximadamente 1.5 veces la frecuencia de entrada, en lugar del factor requerido de 2 veces mínimo. En\(\PageIndex{2}\) la Figura los puntos de muestreo son redibujados y conectados de la manera más simple posible. Tenga en cuenta que el contorno resultante es el de una onda de menor frecuencia. Lo que notamos aquí es que los puntos de datos producidos en la Figura\(\PageIndex{1}\) son idénticos a los puntos producidos por una onda de entrada de menor frecuencia. Cuando estos puntos de datos se convierten de nuevo a forma analógica, el convertidor DA producirá esta onda de menor frecuencia. Por extraño que parezca, la forma de onda original ha desaparecido por completo; de ahí el término alias. Cualquier componente de señal que sea mayor que la frecuencia de Nyquist producirá alias.

Figura\(\PageIndex{2}\): Producción de alias.

Al considerar la posibilidad de distorsión de alias, vale la pena repetir que se deben investigar los componentes de la señal, no solo la frecuencia base. Por ejemplo, una onda cuadrada de 1 kHz tiene una fundamental de 1 kHz y una serie infinita de armónicos impares (3 kHz, 5 kHz, 7 kHz, 9 kHz, etc.). Si se utiliza una frecuencia de muestreo de 12 kHz para digitalizar esta señal, se verá una buena cantidad de distorsión de alias. En este ejemplo, la tasa de Nyquist es de 6 kHz. Todos los armónicos superiores a 6 kHz producirán un alias. Para evitar esto, la señal de entrada debe estar limitada en banda de frecuencia. Es decir, se debe usar un filtro de paso bajo para atenuar todos los componentes por encima de la frecuencia Nyquist antes de que tenga lugar la conversión AD. La cantidad de filtrado requerida depende de la resolución de la conversión y la intensidad relativa de las señales por encima de la banda. Debido a que los filtros no pueden rodar infinitamente rápido, como se indica en el Capítulo Once, las velocidades de muestreo normalmente se establecen más del doble de altas que el componente de entrada más alto que el componente De esta manera, la frecuencia Nyquist será algo mayor que la frecuencia de entrada máxima deseada. El filtro de paso bajo (a menudo denominado filtro anti-alias) utilizará este rango de frecuencia como su banda de transición. Aunque la atenuación en la banda de transición es menor que óptima, la distorsión de alias no será un problema. Esto se muestra gráficamente en la Figura\(\PageIndex{3}\). Como puede ver, los filtros de alta tasa de roll-off son deseables para atenuar las señales fuera de banda lo más rápido posible. Las tasas de enrollamiento de filtro muy rápidas significan que la frecuencia de muestreo solo necesita ser tan poco como 10% mayor que el mínimo teórico para mantener suficiente rechazo de alias.

Figura\(\PageIndex{3}\): Filtrado para eliminar los efectos de aliasing.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Supongamos que necesita digitalizar las señales telefónicas. Suponiendo que le gustaría mantener un rango dinámico de al menos 50 dB, con un límite de frecuencia superior de 3 kHz, determinar la frecuencia de muestreo mínima aceptable y el número de bits de requerido. La tasa mínima de Nyquist es igual a la frecuencia de entrada más alta deseada. En este caso, eso es 3 kHz. Debido a que la frecuencia de muestreo es el doble de la frecuencia de Nyquist, la frecuencia de muestreo debe ser de al menos 6 kHz. En realidad, si existen componentes de entrada superiores a 3 kHz, se necesitará un filtro anti-alias, y la frecuencia de muestreo tendrá que aumentarse algo. Debido a que el rango dinámico se establece por el número de bits utilizados, encontramos que

\[\text{Bits Required } = \frac{\text{Dynamic Range}}{6dB} \\ \text{Bits Required } = \frac{50dB}{6dB} \\\text{Bits Required } =9 \nonumber \]

Debido a que no podemos tener un bit fraccional, el valor se redondea hacia arriba. La especificación final del sistema es una velocidad mínima de 6 kHz con una resolución de 9 bits. Tenga en cuenta que esto representa una velocidad de datos de 9 bits por muestra por 6000 muestras por segundo, o 54000 bits por segundo (6750 bytes por segundo).