13.4: Derivar la ecuación de Thomas-Fermi

A medida que el electrón alrededor de un átomo se mueve, la energía se convierte entre la energía de la interacción Coulomb y la energía cinética del electrón. La acción es

\[\mathbb{S} = \left|\int\limits_{r_1}^{r_2} \mathcal{L}dr\right|. \nonumber \]

El camino que se encuentra en la naturaleza minimiza la acción.

\[\delta = \left|\int\limits_{r_1}^{r_2} \mathcal{L}dr\right| = 0 \nonumber \]

La integral es sobre la posición, no el tiempo. En el Capítulo 11, llamamos a esta idea el Principio de Menor Acción. La referencia [136, p. 52] llama a esta idea en este contexto el Segundo Teorema de Hohenberg-Kohn. Para encontrar el camino, configuramos y resolvemos la ecuación de Euler-Lagrange. La ecuación de Euler-Lagrange en el caso en que la variable independiente es un vector de la forma\(\overrightarrow{r} = r \hat{a}_r\) en lugar de un escalar (sin\(\phi\) dependencia\(\theta\) o con dependencia en cualquier lugar) viene dada por

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\text{path})} - \overrightarrow{\nabla} \cdot \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\frac{d(\text{path})}{dr}\right)}\right) \hat{a}_r = 0 \label{13.4.3} \]

Como se describió anteriormente, la trayectoria generalizada es voltaje\(V = V (r)\), y el potencial generalizado es la densidad de carga\(\rho_{ch} = \rho_{ch}(r)\). Como se discutió en el Capítulo 12, podríamos haber hecho la elección opuesta. De hecho, la elección opuesta puede parecer más lógica porque las palabras voltaje y potencial se utilizan a menudo como sinónimos. El mismo resultado se obtiene independientemente de la elección. Sin embargo, el álgebra es menos desordenado con esta elección, y esta elección es más consistente con la literatura.

A continuación, evalúe la ecuación de Euler-Lagrange, Ecuación\ ref {13.4.3}, usando el Lagrangiano de la Ecuación 13.3.51. La ecuación resultante es la ecuación de movimiento. Considera algunas de las piezas necesarias. La derivada de lo lagrangiano con respecto al camino es

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial V} = \frac{5}{2}c_0V^{3/2}. \nonumber \]

En el Capítulo 11, esta cantidad se definió como el potencial generalizado. Arriba, definimos\(\rho_{ch}\) como el potencial generalizado. Ambos\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial V}\) y\(\rho_{ch}\) cuentan con unidades\(\frac{C}{m^3}\). De acuerdo con la Ecuación 13.3.44,\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial V}\) se\(\rho_{ch}\) multiplica por una constante, y esa constante es cercana a una. Ya que\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial V}\) no es igual a\(\rho_{ch}\), nuestras ecuaciones no son completamente consistentes. Sin embargo, la diferencia es pequeña dados los supuestos extremos que se hacen en otros lugares. También necesitamos el impulso generalizado.

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\frac{dV}{dr}\right)} = \epsilon \frac{dV}{dr}. \nonumber \]

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\frac{dV}{dr}\right)} \hat{a}_r = \epsilon \overrightarrow{\nabla}V \nonumber \]

A continuación, ponga estas piezas en la ecuación de Euler-Lagrange.

\[\frac{5}{2}c_0V^{3/2} - \overrightarrow{\nabla} \cdot \left( \epsilon \overrightarrow{\nabla}V \right) = 0 \nonumber \]

Utilice la Ecuación 13.2.6.

\[\frac{5}{2}c_0V^{3/2} - \epsilon \nabla^2 V = 0 \nonumber \]

\[ \nabla^2 V = \frac{5}{2\epsilon}c_0V^{3/2} \label{13.4.9} \]

A continuación, siguiendo la obra original de Fermi [177], cambiar variables

\[V = \frac{-y}{r} \label{13.4.10} \]

donde\(y\) tiene las unidades\(V \cdot m\). El término laplaciano de la izquierda puede simplificarse usando la Ecuación 13.2.5.

\[ \nabla^2 V =\nabla^2 \left(\frac{-y}{r}\right) \nonumber \]

\[ \nabla^2 V = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left[r^2 \frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{-y}{r}\right)\right] \nonumber \]

\[ \nabla^2 V = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left[ r^2 \left( \frac{y}{r^2} - \frac{1}{r}\frac{\partial y}{\partial r} \right)\right] \nonumber \]

\[ \nabla^2 V = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( y - r\frac{\partial y}{\partial r} \right) \nonumber \]

\[ \nabla^2 V = \frac{1}{r^2} \left( \frac{\partial y}{\partial r} - \frac{\partial y}{\partial r} - r^2\frac{\partial^2 y}{\partial r^2}\right) \nonumber \]

\[ \nabla^2 V = -\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 y}{\partial r^2} \nonumber \]

La ecuación\ ref {13.4.9} ahora simplifica.

\[-\frac{1}{r} \frac{\partial^2 y}{\partial r^2} = \frac{-5}{2\epsilon}c_0\left(\frac{-y}{r}\right)^{3/2} \nonumber \]

\[\frac{-1}{r}\frac{d^2y}{dr^2} = \frac{-5}{2\epsilon}c_0 (-1)^{1/2}\left(\frac{y}{r}\right)^{3/2} \nonumber \]

\[\frac{d^2y}{dr^2} = c_1 r^{-1/2}y^{3/2} \label{13.4.19} \]

En la ecuación anterior, la constante es

\[c_1 = -\frac{5}{2\epsilon}c_0 (-1)^{1/2}. \nonumber \]

\[c_1 = \frac{-5}{2\epsilon}\left[\left(\frac{-5mq}{3\hbar^2}\right)^{3/2}\left(\frac{-q}{3\pi^2}\right)\right](-1)^{1/2} \nonumber \]

\[c_1 = \frac{5}{2\epsilon}\left[\left(\frac{5mq}{3\hbar^2}\right)^{3/2}\frac{q}{3\pi^2}\right] \nonumber \]

Para limpiar aún más la Ecuación\ ref {13.4.19}, elija

\[\mathrm{t} = c_1^{-2/3}r. \nonumber \]

La variable t aquí es el nombre de la variable independiente, y no representa el tiempo. Es una versión a escala de la posición\(r\).

\[\frac{d^2y}{d\mathrm{t}^2} = \mathrm{t}^{-1/2}y^{3/2} \label{13.4.24} \]

Ecuación La ecuación\ ref {13.4.24} se llama la ecuación de Thomas-Fermi. Hemos terminado la derivación. La ecuación de Thomas Fermi junto con las condiciones de límite adecuadas se pueden resolver para\(y(t)\). Dado que la ecuación es no lineal, es probable que se utilicen técnicas numéricas para resolverla. Una vez que\(y(t)\) se encuentra, las Ecuaciones 13.3.40 y la Ecuación\ ref {13.4.10} se pueden utilizar para encontrar\(V (r)\) y\(\rho_{ch}(r)\). A partir de esta ecuación de movimiento, podemos encontrar\(\rho_{ch}(r)\), donde, en promedio, es probable que los electrones se encuentren en función de la distancia desde el núcleo en coordenadas esféricas.