13.6: Problemas

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13.1. El impulso generalizado se define como

\[\mathbb{M} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\frac{dV}{dr}\right)}.\nonumber \]

a) Encontrar el impulso generalizado para el sistema descrito por el Lagrangiano de la Ecuación 13.3.51.

b) El impulso generalizado no tiene las unidades de impulso. Identificar las unidades de este impulso generalizado.

(c) Escribir el hamiltoniano de la Ecuación 13.3.50 en función de\(r\)\(V\), y\(\mathbb{M}\) pero no en función de\(\frac{dV}{dr}\).

(d) Escribir el Lagrangiano de la Ecuación 13.3.51 en función de\(r\)\(V\), y\(\mathbb{M}\) pero no como una función de dV dr.

(e) Demostrar que los hamiltonianos y lagrangianos encontrados anteriormente satisfacen la ecuación\(H = \mathbb{M} \frac{dV}{dr} − \mathcal{L}\).

13.2. En el análisis de este capítulo, se eligió el camino generalizado como\(V\) y se eligió el potencial generalizado como\(\rho_{ch}\). La elección opuesta también es posible donde está el camino generalizado\(\rho_{ch}\) y el potencial generalizado está\(V\).

(a) Escribir el hamiltoniano de la Ecuación 13.3.50 como funciones de\(\rho_{ch}\) lugar de\(V\), por lo que tiene la forma\(H (r, \rho_{ch}, \frac{d\rho_{ch}}{dr})\).

b) Repetir lo anterior para el Lagrangiano de la Ecuación 13.3.51.

13.3. Verificar que\[y = \frac{144}{\mathrm{t}^3}\nonumber \] sea una solución de la ecuación de Thomas Fermi [46].

(Si bien esta solución satisface la ecuación de Thomas Fermi, no es útil para describir la energía de un átomo. En el\(\mathrm{t} \rightarrow 0\) límite, esta solución se acerca al infinito,\(y(0) \rightarrow \infty\). Sin embargo, en el\(\mathrm{t} \rightarrow 0\) límite, la solución debe acercarse a una constante\(y(0) \rightarrow 1\),, para describir correctamente el comportamiento físico de un átomo [180].)

13.4. El problema anterior discutido que\[y = \frac{144}{\mathrm{t}^3}\nonumber \] es una solución de la ecuación de Thomas Fermi. Demostrar que no\[y = \frac{72}{\mathrm{t}^3}\nonumber \] es una solución.

13.5. Demostrar que la ecuación de Thomas Fermi es no lineal.