14.7: Problemas
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14.1. Tres transformaciones de simetría discreta comúnmente discutidas son:
Reversión de tiempo\(t \rightarrow \tilde{t} = (−1)^{\mathfrak{n}} t\) para entero\(\mathfrak{n}\)
Paridad\(y \rightarrow \tilde{y} = (−1)^{\mathfrak{n}} y\) para entero\(\mathfrak{n}\)
Conjugación de carga\(y \rightarrow \tilde{y} = y^*\)
Verificar que la ecuación de onda,\(\ddot{y} + \omega_0^2y = 0\), es invariante sobre cada una de estas transformaciones discretas.
14.2. Repita el problema anterior para la ecuación\(\ddot{y} + y^{-3} = 0\).
14.3. La ecuación de Thomas Fermi viene dada por\(\ddot{y} = y^{3/2}t^{-1/2}\).
a) Verificar que no sea invariante tras la transformación de simetría discreta de la inversión temporal,
\(t \rightarrow \tilde{t} = (−1)^{\mathfrak{n}} t\)para entero\(\mathfrak{n}\).
b) Verificar que no sea invariante tras la transformación de simetría discreta de la paridad,
\(y \rightarrow \tilde{y} = (−1)^{\mathfrak{n}} y\)para entero\(\mathfrak{n}\).
c) Verificar que es invariante en la transformación de simetría discreta
\(t \rightarrow \tilde{t} = (−1)^{\mathfrak{n}} t \quad \text{and} \quad y \rightarrow \tilde{y} = (−1)^{\mathfrak{n}} y\).
14.4. Encuentra la prolongación del generador infinitesimal
\[U = \xi \partial_t + \eta \partial_y \nonumber \]
actuando sobre el lagrangiano
\[\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{y}^2 + \frac{1}{3}ty^{2}. \nonumber \]
Escribe tu respuesta en términos de\(\xi\) y\(\eta\) pero no\(\eta^t\) o\(\eta^{tt}\).
14.5. Encuentra los generadores infinitesimales para la ecuación,\(\ddot{y} + y^{-3} = 0\). (Este problema se discute en [190].)
Respuesta:
\[U_1 = \partial_t \nonumber \]
\[U_2 = 2t\partial_t + y\partial_y \nonumber \]
\[U_3 = t^2\partial_t + ty\partial_y \nonumber \]
14.6. La ecuación\(\ddot{y} + y^{-3} = 0\) tiene los tres generadores infinitesimales enumerados en el problema anterior. Estos generadores infinitesimales forman un grupo. El conmutador se definió en la Sección 14.3.3, y el conmutador de cualquier par de estos generadores infinitesimales puede calcularse mediante
\[[U_a, U_b] = U_aU_b - U_bU_a. \nonumber \]
Usando la ecuación anterior, mostrar que el conmutador para cada uno de los tres pares de generadores infinitesimales da como resultado otro elemento del grupo.
14.7. Derivar los generadores infinitesimales para la ecuación de onda,\(\ddot{y} + \omega_0^2y = 0\). (Este problema se discute en [191].)
Respuesta:
\[U_1 = \partial_t \nonumber \]
\[U_2 = y\partial_y \nonumber \]
\[U_3 = \sin (\omega_0t)\partial_y \nonumber \]
\[U_4 = \cos (\omega_0t)\partial_y \nonumber \]
\[U_5 = \sin (2\omega_0t)\partial_t + \omega_0y \cos (2\omega_0t) \partial_y \nonumber \]
\[U_6 = \cos (2\omega_0t) \partial_t − \omega_0y \sin (2\omega_0t) \partial_y \nonumber \]
\[U_7 = y \cos (\omega_0t) \partial_t − \omega_0y 2 \sin (\omega_0t) \partial_y \nonumber \]
\[U_8 = y \sin (\omega_0t) \partial_t + \omega_0y 2 \cos (\omega_0t) \partial_y \nonumber \]
14.8. La ecuación de onda\(\ddot{y} + \omega_0^2y = 0\) tiene los ocho generadores infinitesimales enumerados en el problema anterior. El Lagrangiano correspondiente es
\[\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{y}^2 + \frac{1}{2}\omega_0^2y^{2}. \nonumber \]
Encuentra los invariantes correspondientes a los siguientes generadores infinitesimales.
a)\(U_1 = \partial_t \)
b)\(U_3 = \sin (\omega_0t)\partial_y \)
c)\(U_5 = \sin (2\omega_0t)\partial_t + \omega_0y \cos (2\omega_0t) \partial_y\)
14.9. En el Problema 11.8, encontramos la ecuación dada por\(\ddot{y} = g \sin y\) para constante\(g\).
(a) Mostrar que\(U = \partial_t \) es un generador infinitesimal de esta ecuación.
(b) Demostrar que no\(U = y\partial_y \) es un generador infinitesimal de esta ecuación.
14.10. El Lagrangiano
\[\mathcal{L} = \frac{1}{2}\dot{y}^2 + \frac{1}{2}y^{-2} \nonumber \]
corresponde a la ecuación de movimiento\(\ddot{y} + y^{-3} = 0\). Esta ecuación de movimiento tiene tres generadores infinitesimales:
\[U_1 = \partial_t \nonumber \]
\[U_2 = 2t\partial_t + y\partial_y \nonumber \]
\[U_3 = t^2\partial_t + ty\partial_y \nonumber \]
Usa el teorema de Noether para encontrar las invariantes que corresponden a cada uno de estos generadores infinitesimales. (Nos encontramos con este lagrangiano en el problema 11.3.)