11.2: Principio de Entropía Máxima para Sistemas Físicos
- Page ID
- 82469
Según el modelo multiestatal motivado por la mecánica cuántica (ver Capítulo 10 de estas notas) hay un número finito (o infinito contable) de estados cuánticos del sistema. Vamos a utilizar\(i\) como índice sobre estos estados. Los estados tienen energía\(E_i\), y podrían tener otros atributos físicos también. Después de enumerar y describir estos estados, se puede utilizar el Principio de Entropía Máxima, como un paso separado, para estimar la probabilidad de que cada estado sea ocupado.
Denotamos la ocupación del estado\(i\) por el evento\(A_i\). El estado i tiene probabilidad\(p(A_i)\) de ser ocupado. Por simplicidad escribiremos esta probabilidad\(p(A_i)\) como\(p_i\). Utilizamos el Principio de Entropía Máxima para estimar la distribución de probabilidad\(p_i\) consistente con que la energía promedio\(E\) sea una cantidad conocida (por ejemplo, medida)\(\widetilde{E}\). Así
\(\begin{align*} \widetilde{E} &= \displaystyle \sum_{i} p_i E_i \tag{11.1} \\ 1 &= \displaystyle \sum_{i} p_i \tag{11.2} \end{align*}\)
La entropía es
\(S = k_B \displaystyle \sum_{i} p_i \ln \Big( \dfrac{1}{p_i} \Big) \tag{11.3}\)
donde\(k_B = 1.38 × 10^{−23}\) Joules per Kelvin y es conocida como la constante de Boltzmann.
La distribución de probabilidad que maximiza\(S\) sujeto a una restricción como la Ecuación 11.2 se presentó en el Capítulo 9, Ecuación 9.12. Esa fórmula fue para el caso donde la entropía se expresó en bits; la fórmula correspondiente para sistemas físicos, con entropía expresada en Julios por Kelvin, es la misma excepto por el uso de más\(e\) bien que 2:
\(p_i = e^{-\alpha}e^{-\beta E_i} \tag{11.4}\)
para que
\(\ln \Big( \dfrac {1}{p_i}\Big) = \alpha + \beta E_i \tag{11.5}\)
La suma de las probabilidades debe ser 1 y por lo tanto
\(\alpha = \ln \Big ( \displaystyle \sum_{i} e^{-\beta E_i} \Big) \tag{11.6}\)
Como se expresa en términos del Principio de Máxima Entropía, el objetivo es encontrar las diversas cantidades dadas la energía esperada\(E\). No obstante, salvo en las circunstancias más simples suele ser más fácil hacer cálculos al revés. Es decir, es más fácil de usar\(\beta\) como variable independiente, calcular\(\alpha\) en términos de ella, y luego encontrar la\(p_i\) entropía\(S\) y luego la energía\(E\).