11.3.3: Cantidades extensas e intensivas

Este modelo de partición conduce a una propiedad importante que pueden tener las cantidades físicas. Algunas cantidades físicas se llamarán “extensas” y otras “intensivas”.

Ya sea que el sistema esté aislado del entorno o esté interactuando con él, y cualesquiera que sean las distribuciones\(p_{s,i}\)\(p_{e,j}\) de probabilidad del sistema, del entorno y\(p_{t,i,j}\) de la combinación, las energías del estado del sistema y del estado ambiental se suman para formar la energía del estado total correspondiente (subíndices\(s\)\(e\), y sistema\(t\) medio, entorno y total):

\(E_{t,i,j} = E_{s,i} + E_{e,j} \tag{11.37}\)

La probabilidad de ocupación del estado total\(k\) es producto de las dos probabilidades de los dos estados asociados\(i\) y\(j\):

\(p_{t,i,j} = p_{s,i}p_{e,j} \tag{11.38}\)

Con estos antecedentes es fácil demostrar que el valor esperado de la energía total es la suma de los valores esperados de las energías del sistema y del entorno:

\ (\ begin {alinear*}
E_ {t} &=\ suma_ {i, j} E_ {t, i, j} p_ {t, i, j}\\
&=\ suma_ {i, j}\ left [E_ {s, i} +E_ {e, j}\ derecha] p_ {s, i} p_ {e, j}\\
&= suma _ {i}\ suma_ {j}\ izquierda [E_ {s, i} +E_ {e, j}\ derecha] p_ {s, i} p_ {e, j}\\
&=\ suma_ {i} p_ {s, i}\ sum_ {j} E_ {e, j} p_ {e, j} +\ suma_ {j} p_ {e, j}\ suma_ {i} E_ {s, i} p_ {s, i}\\
&=\ sum_ {j} E_ {e, j} p_ {e, j} +\ sum_ {i} E_ {s, i} p_ {s, i}\\
&=E_ e {} +E_ {s}\ etiqueta {11.39}
\ final {alinear*}\)

Este resultado sostiene si el sistema y el entorno están aislados o interactuando. Afirma que la energía del sistema y la energía del medio ambiente se suman para hacer la energía total. Es consecuencia de que la energía asociada a cada estado total es la suma de las energías asociadas con los estados del sistema y del entorno correspondientes.

Una cantidad con la propiedad de que su valor total es la suma de los valores para las dos (o más) partes se conoce como una cantidad extensa. La energía tiene esa propiedad, como se acaba de demostrar. La entropía también es extensa. Es decir,

\ (\ begin {align*}
S_ {t} &=\ suma_ {i, j} p_ {t, i, j}\ ln\ izquierda (\ frac {1} {p_ {t, i, j}}\ derecha)\\
&=\ sum_ {i, j} p_ {s, i} p_ {e, j}\ izquierda [\ ln\ izquierda (\ frac {1} {p_ {s, i}}\ derecha) +\ ln\ izquierda (\ frac {1} {p_ {e, j}}\ derecha)\ derecha]\\
&=\ suma_ {i}\ sum_ {j} p_ {s, i} p_ {e, j}\ izquierda [\ ln \ izquierda (\ frac {1} {p_ {s, i}}\ derecha) +\ ln\ izquierda (\ frac {1} {p_ {e, j}}\ derecha)\ derecha]\\
&=\ sum_ {i} p_ {s, i}\ sum_ {j} p_ {e, j}\ ln\ izquierda (\ frac {1} {p_ e, j}}\ derecha) +\ suma_ {j} p_ {e, j}\ suma_ {i} p_ {s, i}\ ln\ izquierda (\ frac {1} {p_ {s, i}}\ derecha)\\
&=\ sum_ {j} p_ {e, j}\ ln\ izquierda (\ frac {1} {p_ {e, j}\ derecha) +\ sum_ {i} p_ {s, i}\ ln\ izquierda (\ frac {1} {p_ {s, i}}\ derecha)\\
&=S_ {e} +S_ {s}\ tag {11.40}
\ end {align*}\)

Nuevamente este resultado sostiene si el sistema y el entorno están aislados o interactuando o no.

No todas las cantidades de interés son extensas. En particular,\(\alpha\) y no lo\(\beta\) son. Considerar\(\beta\). Este es un ejemplo de una cantidad para la que los valores asociados con el sistema, el entorno y la configuración total pueden o no estar relacionados. Si se aíslan el sistema y el entorno, de manera que se haga una aplicación separada del Principio de Entropía Máxima a cada uno, entonces no hay razón de por qué\(\beta _s\) y\(\beta _e\) estaría relacionado. Por otro lado, si el sistema y el entorno están interactuando para que estén intercambiando energía, puede que no se conozca la distribución de energía entre el sistema y el ambiente y, por lo tanto, el Principio de Entropía Máxima se puede aplicar solo a la combinación, no al sistema y al entorno por separado. Entonces, el mismo valor de\(\beta\) aplicaría en todas partes.

Cantidades\(\beta\) así son las mismas a lo largo de un sistema cuando se analizan en su conjunto se llaman intensivas.