6.1.1: Ecuaciones de propulsión de hélice

Figura 6.1: Esquema de hélice.

En la Figura 6.1 se muestra un esquema de un sistema de propulsión de hélice. Como notaría el lector, esta ilustración tiene fuertes similitudes con la ecuación de continuidad ilustrada en la Figura 3.3. La fuerza de empuje se genera debido al cambio de velocidad a medida que el aire se mueve a través de la hélice entre la entrada (0) y la salida (e). Como se estudió en el Capítulo 3, el flujo másico hacia el sistema de propulsión (considerado como un tubo de corriente) es una constante.

Los fundamentos de los vuelos de aviones propulsados se basan en las ecuaciones de movimiento de Newton y la conservación de energía e impulso:

Atendiendo al principio de conservación del momento, la fuerza o empuje es igual al flujo másico multiplicado por la diferencia entre las velocidades de salida y entrada, expresado como:

\[F = \dot{m} \cdot (u_e - u_0),\label{eq6.1.1}\]

donde\(u_0\) es la velocidad de entrada,\(u_e\) es la velocidad de salida, y\(\dot{m}\) es el flujo másico. La velocidad de salida es mayor que la velocidad de entrada porque el aire se acelera dentro de la hélice.

Atendiendo al principio de conservación de energía para sistemas ideales, la potencia de salida de la hélice es igual al flujo de energía cinética a través de la hélice. Esto se expresa de la siguiente manera:

\[P = \dot{m} \cdot (\dfrac{u_e^2}{2} - \dfrac{u_0^2}{2} = \dfrac{\dot{m}}{2} \cdot (u_e - u_0) \cdot (u_e + u_0).\label{eq6.1.2}\]

donde\(P\) denota la potencia de la hélice.

Como los sistemas reales no se comportan idealmente, la eficiencia de la hélice se puede definir como:

\[\eta_{prop} = \dfrac{F \cdot u_0}{P}.\label{eq6.1.3}\]

donde\(F \cdot u_0\) está el trabajo útil, y\(P\) se refiere a la potencia de entrada, es decir, la potencia que entra en el motor. En otras palabras, la eficiencia\(\eta\) es una relación entre la potencia de salida real generada para mover la aeronave y la potencia de entrada demandada por el motor para generarla. En un sistema ideal\(F \cdot u_0 = P\). En sistemas reales\(F \cdot u_0 < P\) debido a, por ejemplo, pérdidas mecánicas en transmisiones, etc.

Operando con la ecuación (\(\ref{eq6.1.1}\)) y la ecuación (\(\ref{eq6.1.2}\)) y sustituyendo en la ecuación (\(\ref{eq6.1.3}\)) produce:

\[\eta_{prop} = \dfrac{2 \cdot u_0}{u_e + u_0}.\]

Para obtener una alta eficiencia (\(\eta_{prop} \sim 1\)), se quiere tener\(u_e\) lo más cerca posible a\(u_0\). Sin embargo, al observar la ecuación (\(\ref{eq6.1.1}\)), a valores muy cercanos para las velocidades de entrada y entrada, se necesitaría un flujo másico mucho mayor para lograr un empuje deseado. Por lo tanto, hay encontrar un compromiso. Reescribir la ecuación (\(\ref{eq6.1.1}\)) como:

\[\dfrac{F}{\dot{m} u_0} = \dfrac{u_e}{u_0} - 1,\]

conduce a una relación para la eficiencia propulsora. Observe que\(u_e = u_0\), si, no hay empuje. Para valores más altos de empuje, la eficiencia disminuye drásticamente.

Además de la eficiencia de la hélice, otros efectos contribuyen a disminuir la eficiencia del sistema. Este es el caso de los efectos térmicos en el motor. La eficiencia térmica se puede definir como:

\[\eta_t = \dfrac{P}{\dot{m}_f \cdot Q},\]

donde\(P\) es la potencia,\(\dot{m} f\) es el flujo másico del combustible, y\(Q\) es el valor calorífico característico del combustible.

Finalmente, la eficiencia general se puede definir combinando ambos de la siguiente manera:

\[\eta_{overall} = \eta_t \cdot \eta_{prop} = \dfrac{F \cdot u_0}{\dot{m}_f \cdot Q}.\]