4.3: Serie Clásica de Fourier
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- Las señales pueden estar compuestas por una superposición de un número infinito de funciones sinusoidales y cosenales.
- Los coeficientes de la superposición dependen de la señal que se está representando y son equivalentes a conocer la función misma.
La serie clásica de Fourier derivada originalmente expresó una señal periódica (periodo T) en términos de senos y cosenos armónicamente relacionados.
\[s(t)=a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty }a_{k}\cos \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )+\sum_{k=1}^{\infty }b_{k}\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T}\right ) \nonumber \]
Las series complejas de Fourier y las series seno-coseno son idénticas, representando cada una el espectro de una señal. Los coeficientes de Fourier, a k y bk, expresan las partes real e imaginaria respectivamente del espectro, mientras que los coeficientes ck de la serie compleja de Fourier expresan el espectro como una magnitud y fase. Equiparando la serie clásica de Fourier con la serie compleja de Fourier, se hace necesario un factor extra de dos y un conjugado complejo para relacionar los coeficientes de Fourier en cada una.
\[c_{k}=\frac{1}{2}\left ( a_{k}-ib_{k} \right ) \nonumber \]
Derivar esta relación entre los coeficientes de las dos series de Fourier.
Solución
Escriba los coeficientes de la serie compleja de Fourier en forma cartesiana como:
\[c_{k}=A_{k}+iB_{k} \nonumber \]
Ahora sustituya en la expresión la serie compleja de Fourier.
\[\sum_{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{i\frac{2\pi kt}{T}}=\sum_{k=-\infty }^{\infty }\left ( A_{k}+iB_{k}\right ) e^{i\frac{2\pi kt}{T}} \nonumber \]
Simplificando cada término en la suma usando la fórmula de Euler,
\[\left ( A_{k}+iB_{k}\right ) e^{i\frac{2\pi kt}{T}}=\left ( A_{k}+iB_{k}\right )\left ( \cos \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )+i\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T}\right )\right ) \nonumber \]
\[\left ( A_{k}+iB_{k}\right ) e^{i\frac{2\pi kt}{T}}=A_{k}\cos \left ( \frac{2\pi kt}{T}\right )-B_{k} \sin \left ( \frac{2\pi kt}{T}\right )+i\left ( A_{k}\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T}\right )+B_{k} \cos \left ( \frac{2\pi kt}{T}\right )\right ) \nonumber \]
Ahora combinamos términos que tienen el mismo índice de frecuencia en magnitud. Debido a que la señal es de valor real, los coeficientes de la serie compleja de Fourier tienen simetría conjugada:
\[c_{-k}=\overline{c_{k}}\; or \; A_{-k}=\overline{A_{k}}\; and\; B_{-k}=\overline{B_{k}} \nonumber \]
Después de agregar los términos indexados positivos e indexados negativos, cada término de la serie de Fourier se convierte en:
\[2A_{k}\cos \left ( \frac{2\pi kt}{T}\right )-2B_{k} \sin \left ( \frac{2\pi kt}{T}\right ) \nonumber \]
Para obtener la serie clásica de Fourier, debemos tener:
\[2A_{k}=a_{k}\; and\; 2B_{k}=-b_{k} \nonumber \]
Al igual que con la serie compleja de Fourier, podemos encontrar los coeficientes de Fourier utilizando las propiedades de ortogonalidad de las sinusoides. Obsérvese que el coseno y el seno de las frecuencias armónicamente relacionadas, incluso la misma frecuencia, son ortogonales.
\[\forall k,l,k\in \mathbb{Z}l\in \mathbb{Z}:\left ( \int_{0}^{T}\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right ) \cos \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right )dt=0\right ) \nonumber \]
\[\int_{0}^{T}\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right ) \sin \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right )dt=\begin{cases} \frac{T}{2} & \text{ if } (k=l)\wedge (k\neq 0)\wedge (l\neq 0) \\ 0 & \text{ if } (k\neq l)\vee (k=0=l) \end{cases} \nonumber \]
\[\int_{0}^{T}\cos \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right ) \cos \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right )dt=\begin{cases} \frac{T}{2} & \text{ if } (k=l)\wedge (k\neq 0)\wedge (l\neq 0) \\ T & \text{ if } k=0=l \\ 0 & \text{ if } k\neq l \end{cases} \nonumber \]
Estas relaciones de ortogonalidad se derivan de las siguientes identidades trigonométricas importantes.
\[\sin (\alpha )\sin (\beta )=\frac{1}{2}\left ( \cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )\right ) \nonumber \]
\[\cos (\alpha )\cos (\beta )=\frac{1}{2}\left ( \cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\right ) \nonumber \]
\[\sin (\alpha )\cos (\beta )=\frac{1}{2}\left ( \sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\right ) \nonumber \]
Estas identidades permiten sustituir una suma de senos y/o cosenos por un producto de ellos. Cada término en la suma se puede integrar al notar una de las dos propiedades importantes de las sinusoides.
- La integral de una sinusoide sobre un número entero de periodos es igual a cero.
- La integral del cuadrado de una sinusoide de amplitud unitaria durante un periodo T es igual a T/2.
Para usar estos, multiplicemos, por ejemplo, la serie de Fourier para una señal por el coseno del l ésimo armónico:
\[\cos \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right ) \nonumber \]
e integrar.
La idea es que, debido a que la integración es lineal, la integración tamizará todos menos el término que involucra a l.
\[\int_{0}^{T}s(t)\cos \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right )dt=\int_{0}^{T}a_{0}\cos \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right )dt+\sum_{k=1}^{\infty }a_{k}\int_{0}^{T}\cos \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )\cos \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right )dt+\sum_{k=1}^{\infty }b_{k}\int_{0}^{T}\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )\cos \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right )dt \nonumber \]
El primer y tercer término son cero; en el segundo, el único término distinto de cero en la suma resulta cuando los índices k y l son iguales (pero no cero), en cuyo caso obtenemos:
\[\frac{a_{1}T}{2} \nonumber \]
\[If\; \; k=0=l\; \; a_{0}T\; is\; obtained \nonumber \]
En consecuencia,
\[\forall l,l\neq 0:\left ( a_{l}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T}s(t)\cos \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right )dt\right ) \nonumber \]
Todos los coeficientes de Fourier se pueden encontrar de manera similar.
\[a_{0}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T}s(t)dt \nonumber \]
\[\forall k,k\neq 0:\left ( a_{k}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T}s(t)\cos \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )dt\right ) \nonumber \]
\[b_{k}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T}s(t)\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )dt \nonumber \]
La expresión para un 0 se conoce como el valor promedio de s (t). ¿Por qué?
Solución
El promedio de un conjunto de números es la suma dividida por el número de términos. Visualización de la integración de la señal como límite de una suma de Riemann, la integral corresponde a la media.
¿Qué es la serie de Fourier para una onda cuadrada de amplitud unitaria?
Solución
Se encontró que los coeficientes complejos de la serie de Fourier vienen dados por
\[c_{k}=\frac{2}{i\pi k} \nonumber \]
Los coeficientes son imaginarios puros, lo que significa a k =0. Los coeficientes de los términos sinusoidales vienen dados por:
\[b_{k}=-\left ( 2\Im (c_{k}) \right ) \nonumber \]
de manera que:
\[b_{k}=\begin{cases} \frac{4}{\pi k} & \text{ if } k\; odd \\ 0 & \text{ if } k\; even \end{cases} \nonumber \]
Así, la serie de Fourier para la onda cuadrada es
\[sq(t)=\sum_{k\in \left \{ 1,3,... \right \}}\frac{4}{\pi k}\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right ) \nonumber \]
Encontremos la representación de la serie de Fourier para la sinusoide rectificada de media onda.
\[s(t)=\begin{cases} \sin \frac{2\pi t}{T} & \text{ if } 0\leq t\leq \frac{T}{2} \\ 0 & \text{ if } \frac{T}{2}\leq t< T \end{cases} \nonumber \]
Empezar con los términos sinusoidales en la serie; para encontrar b k debemos calcular la integral
\[b_{k}=\int_{0}^{\frac{T}{2}}\sin \left ( \frac{2\pi t}{T} \right ) \sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )dt \nonumber \]
El uso de nuestras identidades trigonométricas convierte nuestra integral de un producto de sinusoides en una suma de integrales de sinusoides individuales, que son mucho más fáciles de evaluar.
\[\int_{0}^{\frac{T}{2}}\sin \left ( \frac{2\pi t}{T} \right ) \sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{T}{2}}\cos \left ( \frac{2\pi (k-1)t}{T} \right ) -\cos \left ( \frac{2\pi (k+1)t}{T} \right )dt \nonumber \]
\[\int_{0}^{\frac{T}{2}}\sin \left ( \frac{2\pi t}{T} \right ) \sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )dt=\begin{cases} \frac{1}{2} & \text{ if } k=1 \\ 0 & \text{ if } otherwise \end{cases} \nonumber \]
Por lo tanto,
\[b_{1}=\frac{1}{2} \nonumber \]
\[b_{2}=b_{3}=...=0 \nonumber \]
A los términos coseno. El valor promedio, que corresponde a un 0, es igual a 1/π. El resto de los coeficientes coseno son fáciles de encontrar, pero dan el resultado complicado:
\[a_{k}=\begin{cases} -\left ( \frac{2}{\pi } \frac{1}{k^{2}-1}\right ) & \text{ if } k\in \left \{ 2,4,... \right \} \\ 0 & \text{ if } k\; odd \end{cases} \nonumber \]
Así, la serie de Fourier para la sinusoide rectificada de media onda tiene términos distintos de cero para los armónicos promedio, fundamental y par.