4.4: Espectro de una señal

Objetivos de aprendizaje

• Esta es una visión general de cómo resolver problemas simples de ingeniería eléctrica.

Una señal periódica, como la sinusoide rectificada de media onda, consiste en una suma de sinusoides elementales. Una gráfica de los coeficientes de Fourier en función del índice de frecuencia, tal como se muestra en la Figura 4.4.1, muestra el espectro de la señal. La palabra “espectro” implica que la variable independiente, aquí k, corresponde de alguna manera a la frecuencia. Cada coeficiente está directamente relacionado con una sinusoide que tiene una frecuencia de K/t. Así, si rectificamos de media onda una sinusoide de 1 kHz, k=1 corresponde a 1 kHz, k= 2 a 2 kHz, etc.

Figura 4.4.1 Espectro de la serie de Fourier de una onda sinusoidal rectificada de media onda

El índice indica el múltiplo de la frecuencia fundamental a la que la señal tiene energía.

Un aspecto sutil, pero muy importante, del espectro de Fourier es su singularidad: Se puede encontrar inequívocamente el espectro a partir de la señal (descomposición) y la señal del espectro (composición). Así, cualquier aspecto de la señal se puede encontrar a partir del espectro y viceversa. La expresión de dominio de frecuencia de una señal es su espectro. Una señal periódica puede definirse ya sea en el dominio del tiempo (como una función) o en el dominio de la frecuencia (como un espectro).

Un aspecto fundamental para resolver problemas de ingeniería eléctrica es si el dominio del tiempo o la frecuencia proporciona la mayor comprensión de las propiedades de una señal y la forma más simple de manipularla. La propiedad de singularidad dice que cualquiera de los dominios puede proporcionar la respuesta correcta. Como ejemplo sencillo, supongamos que queremos conocer el valor máximo de la señal (periódica). Claramente el dominio del tiempo proporciona la respuesta directamente. Usar un enfoque de dominio de frecuencia requeriría que encontráramos el espectro, formemos la señal a partir del espectro y calculemos el máximo; ¡estamos de vuelta en el dominio del tiempo!

Otra característica de una señal es su potencia promedio. La potencia instantánea de una señal se define como su cuadrado. La potencia promedio es la media de la potencia instantánea en algún intervalo de tiempo. Para una señal periódica, el intervalo de tiempo natural es claramente su período; para las señales no periódicas, una mejor opción sería el tiempo completo o el tiempo desde el inicio. Para una señal periódica, la potencia promedio es el cuadrado de su valor de raíz cuadrática media (rms). Definimos el valor rms de una señal periódica para que sea:

\[rms(s)=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}s^{2}(t)dt} \nonumber \]

y así su potencia promedio es

\[power(s)=rms^{2}(s) \nonumber \]

\[power(s)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}s^{2}(t)dt \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Cuál es el valor rms de la sinusoide rectificada de media onda?

Solución

El valor rms de una sinusoide es igual a su amplitud dividido por:

\[\sqrt{22} \nonumber \]

Como una onda sinusoidal rectificada de media onda es cero durante la mitad del periodo, su valor rms es A/2 ya que la integral de la onda sinusoidal rectificada de media onda cuadrada equivale a la mitad de la de una sinusoide cuadrada.

Para encontrar la potencia promedio en el dominio de la frecuencia, necesitamos sustituir la representación espectral de la señal en esta expresión.

\[power(s)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left ( a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty }a_{k}\cos \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )+ \sum_{k=1}^{\infty }b_{k}\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )\right )^{2}dt \nonumber \]

El cuadrado dentro de la integral contendrá todos los productos posibles por pares. Sin embargo, las propiedades de ortogonalidad dicen que la mayoría de estos crossterms se integran a cero. Los supervivientes dejan una expresión bastante simple para el poder que buscamos.

\[power(s)= a_{0}^{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty }a_{k}^{2}+b_{k}^{2} \nonumber \]

Figura 4.4.2 Espectro de potencia de una sinusoide rectificada de media onda

Bien podría ser que calcular esta suma sea más fácil que integrar el cuadrado de la señal. Además, la contribución de cada término en la serie de Fourier hacia la representación de la señal se puede medir por su contribución a la potencia promedio de la señal. Así, la potencia contenida en una señal en su ^k-ésimo armónico es:

\[\frac{a_{k}^{2}+b_{k}^{2}}{2} \nonumber \]

El espectro de potencia, P _s (k) tal como se muestra en la Figura 4.4.2, traza la contribución de cada armónico a la potencia total.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

En audio de alta gama, la desviación de una onda sinusoidal del ideal se mide por la distorsión armónica total, que equivale a la potencia total en los armónicos superior a la primera en comparación con la potencia en lo fundamental. Encuentra una expresión para la distorsión armónica total para cualquier señal periódica. ¿Este cálculo se realiza más fácilmente en el dominio del tiempo o la frecuencia?

Solución

La distorsión armónica total es igual a:

\[\frac{\sum_{k=2}^{\infty }a_{k}^{2}+b_{k}^{2}}{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}} \nonumber \]

Claramente, esta cantidad se calcula más fácilmente en el dominio de la frecuencia. Sin embargo, el numerador es igual al cuadrado del valor rms de la señal menos la potencia en el promedio y la potencia en el primer armónico.

Colaborador

• ContribeeOpenStax