6.12: Relación señal/ruido de una señal modulada en amplitud

Objetivos de aprendizaje

• Aumentar el ancho de banda de una señal modulada en amplitud aumenta la relación señal/ruido.

Cuando consideramos la situación mucho más realista cuando tenemos un canal que introduce atenuación y ruido, podemos hacer uso de la naturaleza lineal del receptor recién descrita para derivar directamente la salida del receptor. La atenuación afecta la salida de la misma manera que la señal transmitida: Escala la señal de salida en la misma cantidad. El ruido blanco, por otro lado, debe filtrarse de la señal recibida antes de la demodulación. Por lo tanto, debemos insertar un filtro de paso de banda que tenga ancho de banda 2W y frecuencia central f _c: Este filtro no tiene ningún efecto sobre el componente relacionado con la señal recibida, pero elimina la potencia de ruido fuera de banda. Como se muestra en el espectro de señal de forma triangular, aplicamos receptor coherente a esta señal filtrada, con el resultado de que la salida demodulada contiene ruido que no se puede eliminar: Se encuentra en la misma banda espectral que la señal.

A medida que derivamos la relación señal/ruido en la señal demodulada, calculemos también la relación señal/ruido de la salida del filtro de paso de banda $$\overline{r}(t) \nonumber$$ El componente de señal de

$$\overline{r}(t)=\alpha A_{c}m(t)\cos (2\pi f_{c}t) \nonumber$$

Transformada de Fourier de esta señal es igual

$$\frac{\alpha A_{c}}{2}\left ( M(f+f_{c})+M(f-f_{c}) \right ) \nonumber$$

haciendo el espectro de potencia,

$$\frac{\alpha^{2} A_{c}^{2}}{4}\left ( (\left | M(f+f_{c})\right |)^{2}+(\left | M(f-f_{c})\right |)^{2} \right ) \nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Si calculas la magnitud al cuadrado de la primera ecuación, no obtienes la segunda a menos que hagas una suposición. ¿Qué es?

Solución

La clave aquí es que los dos espectros,

$$M(f-f_{c}),M(f+f_{c}) \nonumber$$

no se superponen porque hemos asumido que la frecuencia portadora f _c es mucho mayor que la frecuencia más alta de la señal. En consecuencia, el término

$$M(f-f_{c})M(f+f_{c}) \nonumber$$

normalmente obtenido en el cálculo de la magnitud-cuadrada es igual a cero.

Así, el poder total relacionado con la señal en

$$\overline{r}(t)=\frac{\alpha^{2} A_{c}^{2}}{2}power(m) \nonumber$$

La potencia de ruido es igual a la integral del espectro de potencia de ruido; debido a que el espectro de potencia es constante sobre la banda de transmisión, esta integral es igual a la amplitud de ruido N ₀ veces el ancho de banda del filtro 2W. La llamada relación señal/ruido recibida, la relación señal/ruido después del filtro de paso de banda frontal de rigeur y antes de la demodulación, es igual

$$SNR_{r}=\frac{\alpha^{2} A_{c}^{2}power(m)}{4N_{0}W} \nonumber$$

La señal demodulada

$$\widehat{m}(t)=\frac{\alpha A_{c}m(t)}{2}+n_{out}(t) \nonumber$$

Claramente, la potencia de la señal es igual

$$\frac{\alpha^{2} A_{c}^{2}power(m)}{4} \nonumber$$

Para determinar la potencia de ruido, debemos entender cómo afecta el demodulador coherente al ruido de paso de banda que se encuentra en $$\overline{r}(t) \nonumber$$ Debido a que nos preocupa el ruido, debemos lidiar con el espectro de potencia ya que no tenemos la transformada de Fourier disponible para nosotros. Dejando que P _ñ (f) denote el espectro de potencia del componente de $$\overline{r}(t) \nonumber$$ ruido, el espectro de potencia después de la multiplicación por la portadora tiene la forma

$$\frac{P_{\widetilde{n}}(f+f_{c})+P_{\widetilde{n}}(f-f_{c})}{4} \nonumber$$

El retraso y avance en la frecuencia aquí indicados da como resultado dos bandas de ruido espectral que caen en la región de baja frecuencia de la banda de paso del filtro de paso bajo. Por lo tanto, la potencia total de ruido en la salida de este filtro es igual a

$$2\cdot \frac{N_{0}}{2}\cdot W\cdot 2\cdot \frac{1}{4}=\frac{N_{0}W}{2} \nonumber$$

Por lo tanto, la relación señal/ruido de la salida del receptor es igual a

$$SNR_{\widehat{m}}=\frac{\alpha^{2} A_{c}^{2}power(m)}{2N_{0}W}=2SNR_{r} \nonumber$$

Analicemos los componentes de esta relación señal-ruido para apreciar mejor cómo los parámetros del canal y del transmisor afectan el rendimiento de las comunicaciones. Un mejor desempeño, medido por el SNR, ocurre a medida que aumenta.

• Más potencia del transmisor, aumentando A _c, aumenta la relación señal/ruido proporcionalmente.
• La frecuencia portadora f _c no tiene efecto sobre la SNR, pero hemos asumido que f _c >>W.
• El ancho de banda de señal W ingresa a la expresión señal-ruido en dos lugares: implícitamente a través de la potencia de la señal y explícitamente en el denominador de la expresión. Si el espectro de la señal tuviera una amplitud constante a medida que aumentamos el ancho de banda, la potencia de la señal aumentaría proporcionalmente. Por otro lado, nuestro transmisor impuso el criterio de que la amplitud de la señal era constante. La amplitud de la señal es esencialmente igual a la integral de la magnitud del espectro de la señal.

Nota

Este resultado no es exacto, pero sí sabemos que

$$m(0)=\int_{-\infty }^{\infty }M(f)df \nonumber$$

Hacer cumplir la especificación de amplitud de señal significa que a medida que aumenta el ancho de banda de la señal debemos disminuir la amplitud espectral, con el resultado de que la potencia de la señal permanece constante. Por lo tanto, aumentar el ancho de banda de la señal de hecho disminuye la relación señal/ruido de la salida del receptor.

• El aumento de la atenuación del canal, al alejar el receptor del transmisor, disminuye la relación señal/ruido como cuadrado. Por lo tanto, la relación señal/ruido disminuye a medida que la distancia al cuadrado entre el transmisor y el receptor.
• El ruido agregado por el canal afecta adversamente la relación señal/ruido.

En resumen, la modulación de amplitud proporciona un medio efectivo para enviar una señal de banda limitada de un lugar a otro. Para los canales alámbricos, el uso de banda base o modulación de amplitud hace poca diferencia en términos de relación señal/ruido. Para los canales inalámbricos, la modulación de amplitud es la única alternativa. El único parámetro AM que no afecta a la relación señal/ruido es la frecuencia portadora f _c: Podemos elegir cualquier valor que queramos siempre y cuando el transmisor y el receptor usen el mismo valor. Sin embargo, supongamos que alguien más quiere usar AM y elige la misma frecuencia portadora. Las dos transmisiones resultantes sumarán, y ambos receptores producirán la suma de las dos señales. Lo que claramente tenemos que hacer es hablar con la otra parte, y acordar usar frecuencias portadoras separadas. A medida que más y más usuarios desean usar la radio, necesitamos un foro para acordar las frecuencias portadoras y el ancho de banda de la señal. En la tierra, este foro es el gobierno. En Estados Unidos, la Comisión Federal de Comunicaciones (FCC) controla estrictamente el uso del espectro electromagnético para las comunicaciones. Se asignan bandas de frecuencia separadas para AM comercial, FM, teléfono celular (cuya versión analógica es AM), onda corta (también AM) y comunicaciones por satélite.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Supongamos que todos los usuarios aceptan usar el mismo ancho de banda de señal. ¿Qué tan cerca pueden estar las frecuencias portadoras evitando la diafonía de las comunicaciones? ¿Cuál es el ancho de banda de señal para AM comercial? ¿Cómo se compara este ancho de banda al ancho de banda de voz?

Solución

La separación es de 2W. El ancho de banda de la señal AM comercial es de 5 kHz El habla está bien contenida en este ancho de banda, ¡mucho mejor que en el teléfono!