9.3: Modelos de Inventario para Lean Manufacturing
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En un entorno de fabricación magra, el nivel de servicio suele ser un parámetro operativo especificado por la administración. El inventario se mantiene para coordinarse la producción y el envío, para protegerse contra la variación en la demanda y para protegerse contra la variación en la producción. Esto último podría deberse a la variación en los tiempos de envío del proveedor, variación en los tiempos de producción, tiempos de inactividad de producción y cualquier otra causa que haga incierta la finalización de la producción a tiempo.
Una idea muy importante es que el nivel de inventario objetivo necesario para lograr un nivel de servicio específico es una función de la varianza en el proceso que agrega artículos al inventario, producción, así como el proceso que elimina artículos del inventario, demanda del cliente. Si no hay variación en estos procesos, entonces no hay necesidad de inventario. Además, cuanto menor sea la variación, menos inventario se necesita. La variación podría ser aleatoria, como el número de unidades demandadas por día por los clientes, o estructural: el producto A se produce los lunes y miércoles y el producto B se produce los martes y jueves pero hay demanda de los clientes por cada producto cada día.
Vamos a confinar nuestra discusión a la siguiente situación de interés. El producto se envía al cliente temprano en la mañana del inventario y se reemplaza por una serie de producción durante el día. Tenga en cuenta que si el ciclo de producción se completa antes del siguiente tiempo de envío, la producción puede considerarse instantánea. Es decir, siempre y cuando el ciclo de producción se complete antes del siguiente envío, cuánto tiempo antes no es relevante.
Supongamos que la demanda es constante y la producción es completamente confiable. Si la demanda es de 100 unidades por día, entonces 100 unidades residen en el inventario hasta que se realiza un envío. Entonces el inventario es cero. El ciclo de producción es para 100 unidades, las cuales se colocan en el inventario al finalizar. Este ciclo se completa todos los días.
En la siguiente discusión se plantea cómo establecer el nivel de inventario objetivo para cumplir con un nivel de servicio preestablecido cuando la demanda es aleatoria, cuando la producción no es confiable y cuando ambas son verdaderas.
9.3.1 Demanda Aleatoria - Normalmente Distribuida
En la manufactura magra, se establece un inventario de búfer para proteger contra la variación aleatoria en la demanda de los clientes. Supongamos que la demanda diaria se distribuye normalmente con una media de\(\ \mu\) unidades y una desviación estándar de\(\ \sigma\) unidades. La capacidad de producción es tal que el inventario puede ser reemplazado de manera confiable cada día. La administración especifica un nivel de servicio de SL.
Consideremos la ecuación 9-8,
\ begin {align} P (X\ leq x)\ leq S L\ tag {9-8}\ end {align}
Esta ecuación dice que la probabilidad de que la variable aleatoria, X, demanda diaria, sea menor que el inventario objetivo, la constante x, debe ser SL. Resolviendo para el inventario objetivo, x, rinde la ecuación 9-9.
\ begin {align} x=\ mu+\ sigma^ {*} z_ {S L}\ tag {9-9}\ end {align}
Ejercicio
La demanda de los clientes se distribuye normalmente con una media de 100 unidades por día y una desviación estándar de 10 unidades. La producción es completamente confiable y reemplaza el inventario todos los días. Determinar el inventario objetivo para niveles de servicio de 90%, 95%, 99% y 99.9%.
Supongamos que la producción es confiable pero puede ocurrir solo cada dos días. La demanda de dos días sigue una distribución normal con una media de 2 *\(\ \mu\) unidades y una desviación estándar de\(\ \sqrt{2} * \sigma\) unidades. El nivel de inventario objetivo sigue siendo SL.
Considerar la probabilidad de inventario suficiente en el primero de los dos días. Dado que la cantidad de inventario es suficiente por dos días, asumiremos que la probabilidad de tener suficientes unidades en inventario el primer día para satisfacer la demanda de los clientes es muy cercana a 1.
Así, la probabilidad de inventario suficiente en el segundo día sólo tiene que ser suficiente para que el promedio de esta cantidad para el primer día y el segundo día sea SL. Así, la probabilidad de inventario suficiente al segundo día es SL2 = 1 - [(1 - SL) * 2].
Esto significa que el inventario objetivo para la reposición cada dos días viene dado por la ecuación 9-10.
\ begin {align} x 2=2^ {*}\ mu+\ sqrt {2}\ sigma^ {*} z_ {S L 2}\ tag {9-10}\ end {align}
Este enfoque puede generalizarse a n días entre producción, siempre y cuando n sea pequeño, una semana o menos. Esta condición se cumplirá en situaciones de producción magra.
Ejercicio
La demanda de los clientes se distribuye normalmente con una media de 100 unidades por día y una desviación estándar de 10 unidades. La producción es completamente confiable y reemplaza el inventario cada dos días. Determinar el inventario objetivo para niveles de servicio de 90%, 95%, 99% y 99.9%.
9.3.2 Demanda aleatoria - Discreta distribuida
En muchas situaciones de lean manufacturing, la demanda de los clientes por día se distribuye entre un número relativamente pequeño de lotes de unidades. Por ejemplo, un lote de unidades podría ser un palé o un tote.
Esta situación se puede modelar usando una distribución discreta. La forma general de una distribución discreta para esta situación es:
\ begin {align}\ suma p_ {i} =1\ tag {9-11}\ end {align}
donde i es el número de lotes demandados y p i es la probabilidad de que la demanda del cliente sea exactamente i lotes. El valor de i oscila entre 1 y n, la máxima demanda de los clientes. Si n es lo suficientemente pequeño, entonces un inventario objetivo de n lotes no es irrazonable y el nivel de servicio sería 1.
Supongamos que un inventario objetivo de n lotes es demasiado grande. Entonces el inventario objetivo, x, es el valor más pequeño de x para el cual la ecuación 9-12 es verdadera.
\ begin {align}\ suma_ {i=1} ^ {x} p_ {i}\ geq S L\ tag {9-12}\ end {align}
Ejercicio
La demanda diaria de los clientes se expresa en lotes de la siguiente manera:
(4, 20%), (5, 40%), (6, 30%), (7, 10%).
La producción es completamente confiable y reemplaza el inventario todos los días. Determinar el inventario objetivo para niveles de servicio de 90%, 95%, 99% y 99.9%.
Supongamos que la producción es confiable pero puede ocurrir solo cada dos días. La distribución de la demanda de dos días se determina convolucionando la distribución de la demanda de un día consigo misma. Convolving tiene que ver con considerar todas las combinaciones posibles de la demanda en el primer día y la demanda en el día dos. Se suman los montos de la demanda y se multiplican las probabilidades. Esto se muestra en la Tabla 9-3 para el ejemplo en el recuadro anterior.
El Cuadro 9-4 suma las probabilidades para los mismos valores de la demanda de dos días (día uno + día dos demanda). Por ejemplo, la probabilidad de que la demanda de dos días sea exactamente de 9 lotes es del 16%, (8% + 8%)
| Tabla 9-3: Posibles combinaciones de la demanda en el día uno y el día dos | |||||
| Demanda del Día Uno | Demanda del Día Dos | Demanda Día Uno + Día Dos | |||
| Demanda | Probabilidad | Demanda | Probabilidad | Demanda | Probabilidad |
| 4 | 20% | 4 | 20% | 8 | 4% |
| 5 | 40% | 4 | 20% | 9 | 8% |
| 6 | 30% | 4 | 20% | 10 | 6% |
| 7 | 10% | 4 | 20% | 11 | 2% |
| 4 | 20% | 5 | 40% | 9 | 8% |
| 5 | 40% | 5 | 40% | 10 | 16% |
| 6 | 30% | 5 | 40% | 11 | 12% |
| 7 | 10% | 5 | 40% | 12 | 4% |
| 4 | 20% | 6 | 30% | 10 | 6% |
| 5 | 40% | 6 | 30% | 11 | 12% |
| 6 | 30% | 6 | 30% | 12 | 9% |
| 7 | 10% | 6 | 30% | 13 | 3% |
| 4 | 20% | 7 | 10% | 11 | 2% |
| 5 | 40% | 7 | 10% | 12 | 4% |
| 6 | 30% | 7 | 10% | 13 | 3% |
| 7 | 10% | 7 | 10% | 14 | 1% |
| Cuadro 9-4: Distribución de la demanda en dos días | |
| Demanda | Probabilidad |
| 8 | 4% |
| 9 | 16% |
| 10 | 28% |
| 11 | 28% |
| 12 | 17% |
| 13 | 6% |
| 14 | 1% |
Ejercicio
La demanda diaria de los clientes se expresa en lotes de la siguiente manera:
(4, 20%), (5, 40%), (6, 30%), (7, 10%).
La producción es completamente confiable y reemplaza el inventario cada dos días. Determinar el inventario objetivo para niveles de servicio de 90%, 95%, 99% y 99.9%.
9.3.3 Producción no fiable - Discreta Distribuida
Supongamos que la producción no es confiable. Ese es el número de días para reemplazar el inventario es una variable aleatoria discreta. Supongamos además que la demanda es un valor constante.
Sea q j la probabilidad de tomar j días exactos para reemplazar el inventario. Entonces el número de días, d, de inventario que se debe conservar es el valor más pequeño de d que hace verdadera la ecuación 9-13.
\ begin {align}\ suma_ {j=1} ^ {d} q_ {j}\ geq S L\ tag {9-13}\ end {align}
Ejercicio
La demanda diaria de los clientes es de 10 lotes constantes.
El número de días para reponer el inventario se distribuye de la siguiente manera:
(1, 75%), (2, 15%), (3, 7%), (4, 3%).
Determinar el inventario objetivo para niveles de servicio de 90%, 95%, 99% y 99.9%.
9.3.4 Producción no fiable y Demanda Aleatoria - Ambos Discretos Distribuidos
Ahora considere la aplicación donde la producción no es confiable y la demanda es aleatoria. Tanto el número de días en los que se vuelve a suministrar el inventario como la demanda del cliente son variables aleatorias discretas. Tenga en cuenta que la cuestión de interés es: ¿Cuál es la distribución de la demanda en el tiempo que se tarda en reponer el inventario?
Considera la aplicación más simple: La producción tardará uno o dos días en reponer el inventario. Por lo tanto, es apropiado usar la demanda de un día para establecer el nivel de inventario con probabilidad q1 y es apropiado usar la demanda de dos días para establecer el nivel de inventario con probabilidad q2. Esto significa que se debe calcular la distribución combinada de la demanda y el número de días para reponer el inventario.
Esto se ilustrará con un ejemplo numérico. Supongamos que la demanda del cliente expresada en lotes es: (1, 40%), (2, 30%), (3, 20%), (4, 10%). El inventario puede ser reemplazado ya sea en un día con probabilidad 60% o dos días con probabilidad 40%.
- Compute la distribución de la demanda de dos días.
Unidades Probabilidad 2 16.00% 3 24.00% 4 25.00% 5 20.00% 6 10.00% 7 4.00% 8 1.00% 100.00% - Calcular las distribuciones condicionales de uno y dos días. La condición es que el inventario sea reemplazado en ese número de días. La distribución de la demanda se multiplica por la probabilidad de que el inventario sea sustituido en ese número de días.
Un día Demanda Unidades Probabilidad Condición Probabilidad Condicional 1 40% 60% 24.0% 2 30% 60% 18.0% 3 20% 60% 12.0% 4 10% 60% 6.0% 100% 60.0% Demanda de dos días Unidades Probabilidad Condición Probabilidad Condicional 2 16% 40% 6.4% 3 24% 40% 9.6% 4 25% 40% 10.0% 5 20% 40% 8.0% 6 10% 40% 4.0% 7 4% 40% 1.6% 8 1% 40% 0.4% 100% 40.0%
Tenga en cuenta que para un nivel de atención al cliente de 98%, seis unidades se mantendrían en inventario.
Ejercicio
La demanda diaria de los clientes se expresa en lotes de la siguiente manera:
(4, 20%), (5, 40%), (6, 30%), (7, 10%).
La producción es completamente no confiable se distribuye de la siguiente manera: (1, 80%), (2, 20%).
Determinar el inventario objetivo para niveles de servicio de 90%, 95%, 99% y 99.9%.
9.3.5 Cantidades de producción
Reemplazar inventario significa que el volumen de producción cada día es la misma variable aleatoria que la demanda de los clientes. Así, la cantidad a producir varía de un día a otro (o cada dos días a cada dos días). Esto puede causar problemas de capacidad y programación.
9.3.6 Demanda en Periodo de Tiempo Fijo
Supongamos que el número de unidades (lotes) demandadas en periodo de tiempo fijo, T, es de interés. Supongamos que el tiempo entre demandas se distribuye exponencialmente. Se deduce matemáticamente que el número de demandas en un periodo de tiempo T es Poisson distribuido:
\ begin {align} p (x) =\ frac {e^ {-m e a n} * m e a n^ {x}} {\ mathbf {x}!} ; x\ text {es un entero no negativo}\ tag {9-14}\ end {align}
donde x es el número de unidades demandadas y la media es el número promedio de unidades demandadas en el tiempo T. A menudo, la media debe calcularse multiplicando dos cantidades:
- El promedio de unidades demandadas por hora.
- El número de horas en T.
La función de Excel Poisson se puede utilizar para calcular probabilidades usando la ecuación 9-14.
Poisson (x, media, FALSO).
Un producto tiene una demanda media de 1.5 unidades por hora. Supongamos que la producción es constante con un tiempo takt de 40 minutos (= 60 minutos/1.5 unidades). ¿Cuál es la distribución de la demanda en el tiempo takt?
| Demanda por hora | 1.5 | |
| Horas en T | 0.666667 | |
| Demanda media en T | 1 | |
| X | Probabilidad | Acumulativo |
| 0 | 0.368 | 0.368 |
| 1 | 0.368 | 0.736 |
| 2 | 0.184 | 0.920 |
| 3 | 0.061 | 0.981 |
| 4 | 0.015 | 0.996 |
| 5 | 0.003 | 0.999 |
| 6 | 0.001 | 1.000 |
¿Cuántas unidades se necesitan en inventario para un nivel de servicio del 95% el tiempo de toma que es tal que la probabilidad de quedarse sin inventario antes de que se reemplace una unidad es del 5%?
9.3.7 Modelo de simulación de una situación de inventario
Considere un modelo de simulación y experimente para validar el nivel de servicio del 95% en el ejemplo anterior. La producción produce un artículo a inventario a una tasa constante de 1.5 unidades por hora, una unidad cada 40 minutos. Dado que la demanda está distribuida por Poisson se deduce que el tiempo entre demandas se distribuye exponencialmente con una media igual al tiempo takt de 40 minutos.
El modelo es el siguiente. Hay un proceso para demandas que toman artículos del inventario y un proceso para agregar artículos al inventario.
Las condiciones iniciales para cualquier experimento de simulación que involucre inventario deben incluir el nivel de inventario inicial que se establece en el valor de inventario objetivo. La determinación del valor de inventario objetivo se discutió en las secciones anteriores de este capítulo. Cada lenguaje de simulación tiene sus propios requisitos para establecer el valor inicial de las variables de estado tales como los niveles de inventario.
| Modelo de demanda y reposición de inventario | |
| Definir Llegadas: Proceso de \(\ \quad \quad\) Demanda \(\ \quad \quad\quad \quad\) Tiempo de la primera llegada: \(\ \quad \quad\quad \quad\) Tiempo entre llegadas: Proceso de \(\ \quad \quad\) reposición \(\ \quad \quad\quad \quad\)Hora de la primera llegada: \(\ \quad \quad\quad \quad\) Tiempo entre llegadas: |
0 Distribuido exponencialmente con una media de 40 minutos Número de llegadas: Infinito 0 Constante 40 minutos Número de llegadas: Infinito |
| Definir atributos: \(\ \quad \quad\) ArrivalTime |
//Tiempo de demanda |
| Definir variables de estado: \(\ \quad \quad\) CurrentInventory=3 |
//Número de inventario de artículos con un valor inicial de tres |
| Proceso de Demanda Comienzo \(\ \quad \quad\) ArrivalTime = Reloj \(\ \quad \quad\) Espera hasta CurrentInventario> 0 \(\ \quad \quad\) CurrentInventory— \(\ \quad \quad\)//Registrar Nivel de Servicio \(\ \quad \quad\)si ArrivalTime = Reloj entonces si \(\ \quad \quad\) no Fin |
//Esperar un artículo en el inventario //Eliminar un artículo del inventario tabular 100 en ServiceLevel tabular 0 en ServiceLevel |
| Proceso de Reposición Iniciar \(\ \quad \quad\) CurrentInventory++ fin |
//Agregar artículo al inventario |