7.1: Función Dirac delta (impulso)

Introducción

La función delta de Dirac\(δ(t − t_0)\) es una idealización matemática de un impulso o una ráfaga muy rápida de sustancia en\(t = t_0\). (Aquí estamos considerando el tiempo pero la función delta puede involucrar cualquier variable). La función delta se define adecuadamente a través de un proceso limitante. Una de esas definiciones es como un rectángulo delgado y alto, de ancho ε:

\[\delta\left(t-t_{0}\right)=\frac{1}{\epsilon}\nonumber \]

para

\[t_{0}-\frac{\epsilon}{2}<t<t_{0}+\frac{\epsilon}{2}\nonumber \]

y cero de lo contrario, en el límite que\(\epsilon \rightarrow 0\).

Entonces, tenemos

\[\int_{a}^{b} \delta\left(t-t_{0}\right) d t=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left[\epsilon \cdot\left(\frac{1}{\epsilon}\right)\right]=1\nonumber \]

siempre y cuando\(a < t_0 < b\). Cuando\(t_0\) está fuera del rango de\((a,b)\), entonces la integral es cero.

Asimismo, para cualquier función\(f(t)\) que sea continua y diferenciable (analítica) en\(t_0\),

\[\int_{a}^{b} \delta\left(t-t_{0}\right) f(t) d t=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\epsilon} \int_{t_{0}-\epsilon / 2}^{t_{0}+\epsilon / 2} f(t) d t\right]=f\left(t_{0}\right)\nonumber \]

donde la cantidad entre corchetes anteriores es solo el valor promedio de\(f(t)\) en el intervalo\(t_{0}-\frac{\epsilon}{2}<t<t_{0}+\frac{\epsilon}{2}\). Así, cuando\(\epsilon \rightarrow 0\), se convierte justo en el valor en\(t_0\). Por ejemplo:

\[\int_{0}^{\infty} \delta(t-2) t^{2} d t=2^{2}=4\nonumber \]

\[\int_{3}^{\infty} \delta(t-2) t^{2} d t=0\nonumber \]

Función Delta en el momento inicial

Nota: si uno de los límites de la integral coincide exactamente con\(t_0\), entonces el resultado generalmente se corta a la mitad:

\[\int_{t_{0}}^{b} \delta\left(t-t_{0}\right) f(t) d t=f\left(t_{0}\right) / 2\nonumber \]

para\(b > t_0\). Por ejemplo:

\[\int_{2}^{\infty} \delta(t-2) t^{2} d t=(1 / 2) 2^{2}=2\nonumber \]

Sin embargo, cuando pensamos en un impulso a un sistema en el momento inicial\(t_0\), entonces realmente consideramos que toda la función delta se agrega al sistema, es decir, el tiempo real es una cantidad infinitesimal más allá\(t_0\); es decir,\(t=t_{0}^{+}\). En ese caso

\[\int_{t_{0}}^{b} \delta\left(t-t_{0}^{+}\right) f(t) d t=f\left(t_{0}\right)\nonumber \]

Definición en términos de un gaussiano

Otra definición equivalente de las funciones delta son como una función gaussiana:

\[\delta\left(t-t_{0}\right)=\lim _{\sigma \rightarrow 0} \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\left(t-t_{0}\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}}\nonumber \]

Todas las propiedades funcionan para ser las mismas donde\(a=\sqrt{2} \sigma\) se usa.

Aplicaciones físicas

En Control, la función delta se utiliza una idealización de una perturbación muy rápida al sistema. Por ejemplo, si volcas un balde de agua en un tanque, entonces el “caudal” es esencialmente una función delta, una función de pico muy alto, pero con una integral neta (la cantidad total de agua en el cubo).

En mecánica, y ejemplo de la función delta es la fuerza al golpear un objeto con un martillo. Digamos que golpeas una bola de acero con un martillo. Se mueve con cierta velocidad representando el impulso total transferido por el martillo. En lugar de hablar de la fuerza x tiempo (la transferencia neta de impulso), se habla de un “impulso” que es el impulso neto transferido en un período de tiempo infinitesimalmente corto.

Relación con la función de paso

La función step,\(Θ(t − t_0)\), es la integral de la función delta o alternativamente, la función delta es la derivada de la función theta, donde\(Θ(t − t_0)\) se define en 1 para\(t > t_0\) y 0 para\(t < t_0\):

\[\delta\left(t-t_{0}\right)=(d / d t) \Theta\left(t-t_{0}\right)\nonumber \]

\[\int_{a}^{b} \delta\left(t-t_{0}\right) d t=\int_{a}^{b}(d / d t) \Theta\left(t-t_{0}\right) d t=\Theta\left(a-t_{0}\right)-\Theta\left(b-t_{0}\right)=1-0=1 \quad \text { for } a<t_{0}<b\nonumber \]

Aquí, la definición suave o gaussiana de la función delta corresponde a una representación suave de la\(Θ\) función como la integral de una función gaussiana o equivalentemente, la función de error.