3.6: Elevación usando la conservación del impulso

Si el arrastre es un arrastre, nuestra siguiente fuerza, que es la compañera para arrastrar, debería levantarnos el ánimo. Utilizando modelos de conservación y caja, estimaremos la potencia requerida para generar elevación. Hay dos casos principales: el vuelo volador —por ejemplo, un colibrí— y el vuelo hacia adelante. En comparación con el vuelo hacia adelante, el vuelo flotando tiene un parámetro menos (no hay velocidad de avance), así que comencemos con su análisis, para un ave de masa m.

3.6.1 Hovering: Colibríes

¿Cuánta potencia requiere un colibrí para volar?

El flotar exige poder porque un colibrí tiene peso: La Tierra, a través del campo gravitacional, abastece al colibrí de impulso descendente. Por lo tanto, la Tierra pierde impulso descendente o, de manera equivalente, adquiere impulso ascendente. (Así, la Tierra acelera hacia arriba hacia el colibrí, aunque muy, muy lentamente). Este flujo de impulso se puede rastrear con un modelo de caja. Dibujemos la caja alrededor del sistema Tierra-Colibrí e imaginemos el sistema como todo el universo. La caja contiene una cantidad fija (constante) de impulso descendente, por lo que el campo gravitacional puede transferir impulso descendente solo dentro de la caja. En particular, el campo transfiere impulso descendente de la Tierra al colibrí. Esta imagen es una forma elegante de decir que la Tierra ejerce una fuerza descendente sobre el colibrí, pero la forma elegante nos muestra lo que debe hacer el colibrí que se cierne para mantenerse en alto.

Si el colibrí mantiene este impulso a la baja, acumularía velocidad a la baja y se estrellaría contra el suelo. Afortunadamente, la caja tiene un constituyente más: el fluido (aire). El colibrí le da el impulso descendente al aire: Aleta sus alas y envía aire hacia abajo. El levantamiento, como arrastre, requiere un fluido. (El aire empuja hacia abajo sobre la Tierra, devolviendo el impulso descendente que la Tierra perdió a través del campo gravitacional. Así, la Tierra no acelera.)

¿Cuánta energía se requiere para enviar aire hacia abajo?

El poder es fuerza multiplicado por velocidad. La fuerza es la fuerza gravitacional mg que el colibrí está descargando al aire. Estimar la velocidad descendente del aire v _z requiere una reflexión cuidadosa sobre el flujo de impulso. El aire lleva el impulso descendente suministrado al colibrí. El suministro de impulso (una tasa de impulso o impulso por tiempo) es la fuerza mg: La fuerza es simplemente impulso por tiempo. Debido a que el flujo de impulso es impulso por tiempo por área,

\[mg = \textrm{momentum flux} \times \textrm{area}\]

Cuando estudiamos el flujo por primera vez, en la Sección 3.4.2, derivamos que

\[\textrm{flux of stuff} = \textrm{density of stuff} \times \textrm{flow speed}\]

Porque nuestras cosas son ímpetu, esta relación toma la forma particular

\[\textrm{momentum flux} = \textrm{momentum density} \times \textrm{flow speed}\]

Sustituyendo este flujo de impulso en\(mg = \textrm{momentum flux} \times \textrm{area}\),

\[mg = \textrm{momentum density} \times \textrm{flow speed} \times textrm{area}\]

La densidad de momento es impulso\(m_{air}v_{z}\) por volumen, así es\(\rho_{air}v_{z}\). La velocidad de flujo es vz. Por lo tanto,

\[mg = \rho_{air}v_{z} \times v_{z} \times area = \rho_{air}v^{2}_{z} \times area.\]

Para completar esta ecuación, de manera que nos dé la velocidad descendente v _z, necesitamos estimar el área. Es la zona sobre la que el colibrí dirige el aire hacia abajo. Es aproximadamente L ², donde L es la envergadura (punta de ala a punta de ala). A pesar de que las alas no llenan toda esa área, el área relevante sigue siendo L ², debido a que las alas perturban el aire en una región cuyo tamaño es comparable a su dimensión más larga. (Por esta razón, los aviones de alta eficiencia, como los planeadores, tienen alas muy largas).

Usando L ² como estimación para el área, obtenemos

\[mg \sim \rho_{air}v^{2}_{z}L^{2},\]

por lo que la velocidad descendente es

\[v_{z} \sim \sqrt{\frac{mg}{\rho_{air}L^{2}}}.\]

Con esta velocidad descendente y con la fuerza descendente mg, la potencia P (¡no debe confundirse con el impulso!) es

\[P = Fv_{z} \sim mg \sqrt{\frac{mg}{\rho_{air}L^{2}}}.\]

Estimemos este poder para un colibrí real: el colibrí Calliope, el ave más pequeña de América del Norte. Sus dos características relevantes son las siguientes:

\[\textrm{wingspan} L \approx 11cm,\]

\[\textrm{mass} m \approx 2.5 g.\]

Como primer paso para estimar la potencia de flotación, estimaremos la velocidad del aire a la baja usando nuestra fórmula para v _z. El resultado es que, para mantenerse en alto, el colibrí envía aire hacia abajo a aproximadamente 1.3 metros por segundo:

\[v_{z} \sim (\frac{\overbrace{2.5 \times 10^{-2} N}^{mg}}{\underbrace{1.2 \textrm{kg m}^{-3}}_{\rho_{air}} \times \underbrace{1.2 \times 10^{-2} m^{2}}_{L^{2}}})^{1/2} \approx 1.3 \textrm{m s}^{-1}.\]

El consumo de energía resultante es de aproximadamente 30 milivatios:

\[P \sim \underbrace{2.5 \times 10^{-2} \textrm{ N}}_{mg} \times \underbrace{1.3 \textrm{m s}^{-1}}_{v_{z}} \approx \underbrace{3 \times 10^{-2} \textrm{W}}_{30 mW}.\]

(Debido a que el metabolismo animal, al igual que un motor de automóvil, es solo alrededor del 25 por ciento eficiente, el colibrí necesita comer alimentos a una tasa correspondiente a 120 milivatios).

Esta potencia parece pequeña: Incluso una bombilla de linterna (incandescente), por ejemplo, requiere de algunos vatios. Sin embargo, como potencia por masa, se ve más significativo:

\[\frac{P}{m} \sim \frac{3 \times 10^{-2} W}{2.5 \times 10^{-3} kg} \approx 10 \frac{W}{kg}\]

En comparación, el ciclista campeón del mundo Lance Armstrong, con una de las mayores salidas de potencia humana, se midió para tener una potencia de salida de 7 vatios por kilogramo (Sección 1.7.2). Sin embargo, para un atleta de clase mundial sin mejorar químicamente, 5 vatios por kilogramo es un valor más típico. Según nuestras estimaciones, ¡los músculos del colibrí deberían ser el doble de poderosos que este valor humano de clase mundial! Incluso para un pájaro pequeño, rondar es un trabajo duro.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Fueling hovering

¿Cuánto néctar debe beber un colibrí, como fracción de su masa corporal, para que flote durante su jornada laboral (aproximadamente 8 horas)? En masa, el néctar es aproximadamente 50 por ciento de azúcar.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Human hovering

¿Cuánto poder tendría que apagar una persona para que se cierne aleteando los brazos?

3.6.2 Elevación en vuelo hacia adelante

Ahora que entendemos el mecanismo fundamental del levantamiento —desechar el impulso descendente dándolo al aire— estamos listos para estudiar el vuelo hacia adelante: el vuelo de un ave migratoria o de un avión. El vuelo hacia adelante es más complicado que flotar porque el vuelo hacia adelante tiene dos velocidades: la velocidad de avance del avión v y la componente descendente v _z de la velocidad del aire después de pasar alrededor del ala. En vuelo hacia adelante, v _z depende no sólo del peso y envergadura del avión, sino también de la velocidad de avance del avión.

Para mantenerse en lo alto, el avión, como el colibrí, debe desviar el aire hacia abajo.

El ala hace esta magia usando mecánica de fluidos complicada, pero no necesitamos investigarla. Todas las gimnasia están escondidas en la caja. Solo necesitamos la velocidad hacia abajo v _z requerida para mantener el avión en alto, y la potencia requerida para darle al aire tanta velocidad descendente. El poder es, como con rondando, mgv _z. Sin embargo, la velocidad descendente v _z no es lo mismo que en flotar.

Se determina por un diagrama de flujo de momento ligeramente diferente. Muestra el flujo de aire antes y después de que se encuentre con el ala.

Antes de que el aire llegue al ala (el tubo izquierdo), el aire tiene cero impulso descendente. Al igual que en el análisis del vuelo flotando, la Tierra suministra impulso descendente al avión, que lo pasa al aire. Este impulso descendente es arrastrado por el aire después del ala (el tubo derecho).

Al igual que con cualquier flujo, la tasa de transferencia del impulso a la baja es

\[\textrm{flux of downward momentum} \times \textrm{area}\]

Al igual que en el análisis del colibrí, esta tasa debe ser de mg, para que el avión permanezca en alto. El primer factor, el flujo de impulso descendente, es

\[\textrm{density of downward momentum} \times \textrm{flow speed}\]

Por lo tanto,

\[mg = \textrm{density of downward momentum} \times \textrm{flow speed} \times textrm{area}\]

Al igual que en el análisis del rondeo, la densidad del impulso a la baja es\(\rho v_{z}\).

En contraste con el análisis de flotar, donde la materia (impulso descendente) es transportada por el aire que se mueve hacia abajo, aquí la materia es transportada por aire que se mueve hacia la derecha. Así, donde la velocidad de flujo al flotar fue la velocidad del aire descendente v _z, en vuelo hacia adelante la velocidad del flujo es la velocidad de avance v.

Al igual que en el análisis de flotación, el área relevante es la envergadura cuadrada L ², debido a que las alas alteran el flujo de aire en una distancia comparable a su dimensión más larga, que es su envergadura. Se puede ver este efecto en una fotografía de la NASA de un avión volando a través de una nube de humo. El remolino gigante, conocido como vórtice de estela, tiene un diámetro comparable a la envergadura del avión. Los planos grandes pueden generar vórtices que voltean sobre planos pequeños. Así, al llegar a desembarcar, los aviones deben mantener la separación suficiente para dar tiempo a estos vórtices para que se disipen.

Con estas estimaciones, la ecuación para v _z se convierte

\[\underbrace{mg}_{\textrm{transfer rate}} \sim \underbrace{\rho_{air}v_{z}}_{\textrm{downward-momentum density}} \times \underbrace{v}_{\textrm{flow speed}} \times \underbrace{L^{2}}_{\textrm{area}}.\]

Ahora podemos resolver para la velocidad del aire descendente:

\[v_{z} \sim \frac{mg}{\rho_{air}vL^{2}}.\]

Ahora podemos estimar la potencia requerida para generar sustentación en vuelo de avance:

\[P= \underbrace{\textrm{force}}_{mg} \times \underbrace{\textrm{velocity}}_{v_{z}} \sim mg \times \frac{mg}{\rho_{air} vL^{2}} = \frac{(mg)^{2}}{\rho_{air}vL^{2}}.\]

Aquí hay una comparación de vuelo volador y vuelo hacia adelante.

	rondando	vuelo hacia adelante
área de deflexión	\(L^{2}\)	\(L^{2}\)
densidad de impulso hacia abajo	\(\rho_{air}v_{z}\)	\(rho_{air}v_{z}\)
velocidad de flujo	\(v_{z}\)	\(v\)
flujo de impulso descendente	\(\rho_{air}v_{z}^{2}\)	\(\rho_{air}v_{z}v\)
flujo de impulso descendente mg	\(\rho_{air}v^{2}_{z}L^{2}\)	\(rho_{air}v_{z}vL^{2}\)
velocidad descendente v z	\(\sqrt{mg/\rho_{air}L^{2}}\)	\(mg/\rho_{air}vL^{2}\)
potencia para generar elevación (mgv z)	\(mg\sqrt{mg/\rho_{air}L^{2}}\)	\((mg)^{2}/\rho_{air}vL^{2}\)

A diferencia de flotar, en vuelo hacia adelante la potencia contiene la velocidad de avance en el denominador, una ubicación que produciría tonterías para flotar, donde la velocidad de avance es cero.

Como hicimos para volar volando con el colibrí Calliope, apliquemos nuestro conocimiento del vuelo hacia adelante a un objeto real. El objeto será un jet jumbo Boeing 747-400, y estimaremos la potencia que requiere para despegar. A 747 tiene una envergadura L de aproximadamente 60 metros, y una masa máxima de despegue m de aproximadamente 4×10 ⁵ kilogramos (400 toneladas).

Estimaremos la potencia en dos pasos: el peso mg y luego la velocidad del aire descendente v _z. El peso es el paso fácil: Es solo 4 × 10 ⁶ newtons. La velocidad del aire hacia abajo v _z es\(mg/\rho_{air}vL^{2}\). La única cantidad desconocida es la velocidad de despegue v. Puedes estimarlo estimando la aceleración del avión mientras rodaba en la pista y estimando la duración de la aceleración. La última vez que volé en un 747, medí la aceleración suspendiendo mi llavero de una cuerda y estimando el ángulo\(theta\) que hizo con vertical (perpendicular al suelo). Entonces bronceado\(theta\) = a/g. Para pequeños\(\theta\), la relación se simplifica a\(a/g \approx \theta\). Encontré\(\theta \approx 0.2\), por lo que la aceleración fue de aproximadamente 0.2 g o 2 metros por segundo por segundo. Esta aceleración duró unos 40 segundos, dando una velocidad de despegue de\(v \approx 80\) metros por segundo (180 millas por hora).

La velocidad descendente resultante v _z es aproximadamente 12 metros por segundo:

\[v_{z} \sim \frac{\overbrace{4 \times 10^{6} \textrm{N}}^{mg}}{\underbrace{1.2 \textrm{kg m}^{-3}}_{\rho_{air}} \times \underbrace{80 \textrm{ m s}^{-1}}_{v} \times \underbrace{3.6 \times 10^{3} \textrm{ m}^{2}}_{L^{2}}} \approx 12 \textrm{ m s}^{-1}.\]

Entonces la potencia requerida para generar elevación es de aproximadamente 50 megavatios:

\[P \sim mgv_{z} \approx 4 \times 10^{6} N \times 12 ms^{-1} \approx 5 \times 10^{7} W.\]

Veamos si estas estimaciones son razonables. Según la documentación técnica del avión, los cuatro motores del 747-400 juntos pueden proporcionar aproximadamente 1 mega-Newton de empuje. Este empuje puede acelerar el avión, con una masa de 4×10 ⁵ kilogramos, a 2.5 metros por segundo. Este valor está en buena concordancia con mi estimación de 2 metros por segundo, hecho suspendiendo un llavero de una cuerda y convirtiéndolo en plomada.

Como otra comprobación: Al despegue, cuando v es aproximadamente 80 metros por segundo, el meganewton de empuje corresponde a una potencia de salida F _v de 80 megavatios. Esta salida es comparable a nuestra estimación de 50 megavatios para la potencia para levantar el avión del suelo. Después del despegue, los motores utilizan parte de su potencia para levantar el avión y algunos para acelerar el avión, debido a que el avión aún necesita alcanzar su velocidad de crucero de 250 metros por segundo.

La simetría y conservación hacen que incluso la dinámica de fluidos sea manejable