2.3: Estabilidad del sistema

La estabilidad es una característica deseada de cualquier sistema dinámico; se refiere a que el sistema se comporta bien y está en control bajo diversas condiciones de operación. La estabilidad puede ser categorizada de múltiples maneras, algunas de las cuales se discuten a continuación.

Estabilidad de salida rebotada de entrada (BIBO)

La estabilidad de entrada rebotada y salida (BIBO) implica que por cada entrada acotada,\(u(t)\, :\, \, |u(t)|<M_{1} <\infty ,\, \, \,\) la salida del sistema permanece delimitada, es decir,\(y(t)\, :\, \, |y(t)|<M_{2} <\infty\).

La salida del sistema en el dominio del tiempo se da en términos de la integral de convolución:\[y(t)=\int_0^\infty g(t-\tau) u(\tau) d\tau \]

donde\(g(t)\) está la respuesta al impulso del sistema. De ahí que una condición necesaria para la estabilidad de BIBO es que la respuesta de impulso se extingue con el tiempo, es decir,\( \lim_{t\to \infty } g(t)=0\).

La respuesta al impulso contiene los modos de respuesta natural del sistema y se da como:\[g (t)=\sum _{i=1}^{n} A_{i} e^{p_{i} t}\] donde\(p_i\) es un polo de la función de transferencia del sistema. De ahí que una condición necesaria para la estabilidad de BIBO es:\({\rm R}e\left[p_{i} \right]<0\).

Físicamente, la condición\({\rm R}e[p_{i} ]<0\) implica la presencia de amortiguación en el sistema, donde los términos de amortiguación en la función de transferencia indican disipación de energía residual con el tiempo.

Estabilidad Marginal

El eje imaginario en el plano complejo sirve como límite de estabilidad. Un sistema con polos en el plano abierto de la mitad izquierda (OLHP) es estable.

Si la función de transferencia del sistema tiene polos simples que se encuentran en el eje imaginario, se denomina marginalmente estable. La respuesta al impulso de tales sistemas no va a cero como\(t\to\infty\), sino que se mantiene acotada en el estado estacionario.

A modo de ejemplo, un simple oscilador armónico es descrito por la ODE:\(\ddot{y}+\omega _{n}^{2} y=0\), donde\(\omega _{n}\) representa la frecuencia natural y el sistema no tiene amortiguación. La función de transferencia del oscilador,\(G(s)=\frac{1}{s^{2} +\omega _{n}^{2} }\) tiene polos simples\(\left(p_{1,2}=\pm j{\omega }_n\right)\) en el\(j\omega\) eje.

La respuesta natural del oscilador armónico simple contiene el modo de respuesta:\(e^{j\omega_n t}=\cos\omega_n t+j\sin\omega_n t\). Su respuesta al impulso muestra oscilaciones persistentes a la frecuencia natural.

Estabilidad Interna

La noción de estabilidad interna requiere que todas las señales dentro de un sistema de control permanezcan limitadas por cada entrada acotada. Además, implica que todas las funciones de transferencia relevantes entre pares de entrada-salida en un sistema de control de retroalimentación son estables BIBO.

La estabilidad interna es una noción más fuerte que la estabilidad BIBO. Es así porque los modos internos de respuesta del sistema pueden incluir aquellos modos que no se reflejen en la función de transferencia de entrada-salida.

En el caso de modelos de sistemas lineales que involucran retroalimentación, se cumplen los requisitos de estabilidad interna si el polinomio característico de bucle cerrado es estable y cualquier cancelación polo-cero que aparezca en las ganancias de bucle se restringe al OLHP.

En particular, para un sistema de control de retroalimentación de entrada única y salida única (SISO), la ganancia de bucle incluye el producto de la planta y las funciones de transferencia del controlador.

Supongamos que la función de transferencia de planta es:\(G(s)=\frac{1}{s+1}\), y el controlador se da como:\(K(s)=K\left(\frac{s+1}{s+10}\right)\); then\(K(s)G(s)=\frac{K(s+1)}{(s+1)(s+10)}\),, que incluye una cancelación de polo-cero OLHP. Sin embargo, el polinomio característico de bucle cerrado:\(\Delta(s)=s+10+K\) tiene raíces estables para\(K>-10\). Por lo tanto, el sistema de bucle cerrado es internamente estable para\(K>-10\).

Estabilidad asintótica

Para un modelo general de sistema no lineal,\(\dot{x}\left(t\right)=f\left(x,u\right)\), estabilidad se refiere a la estabilidad de un punto de equilibrio\(\left(x_e,u_e\right)\) definido por:\(f\left(x_e,u_e\right)=0\).

En particular, se dice que el punto de equilibrio es estable si una trayectoria del sistema\(x\left(t\right)\),, que inicia en las proximidades de\(x_e\) permanece cerca de\(x_e\). Se dice que el punto de equilibrio es asintóticamente estable si una trayectoria del sistema\(x\left(t\right)\) que inicia en las proximidades de\(x_e\) converge a\(x_e\).

Para los modelos de sistemas lineales, definidos por:\(\dot x=Ax(t)+Bu(t)\), el origen\(x_e=0\) sirve como punto de equilibrio. En tales casos, la estabilidad asintótica requiere que los polos de la función de transferencia del sistema (equivalentemente, los valores propios de la matriz del sistema) se encuentren en el plano abierto de la mitad izquierda\({\rm R}e\left[p_{i} \right]<0\), o, y no haya cancelaciones RHP polo-cero.