1.2: Espacios vectoriales

Revisar la definición de un espacio vectorial: vectores, campo de escalares, adición vectorial (que debe ser asociativa y conmutativa), multiplicación escalar (con sus propias propiedades de asociatividad y distributividad), la existencia de un vector cero 0 tal que x + 0 = x para cada vector x, y las condiciones de normalización 0x = 0, 1x = x Usa la definición para entender que los primeros cuatro ejemplos siguientes son espacios vectoriales, mientras que el quinto y el sexto no son:

• \(\mathbf{R}^{n} \text { and } \mathbf{C}^{n}\)
• Funciones continuas reales f (t) en la línea real (\(\forall t\)), con definiciones obvias de adición vectorial (sumar las funciones puntualmente, f (t) + g (t)) y multiplicación escalar (escalar la función por una constante, af (t)).
• El conjunto de matrices m x n.
• El conjunto de soluciones y (t) de la oda LTI. \[y^{(1)}(t)+3 y(t)=0.\]
• El conjunto de puntos\(\left[\begin{array}{lll}x_{1} & x_{2} & x_{3}\end{array}\right]\) en la satisfacción\(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\), es decir, “vectores” desde el origen hasta la esfera unitaria.
• El conjunto de soluciones y (t) de la oda LTI\(y^{(1)}(t)+3 y(t)=\sin t\).

Un subespacio de un espacio vectorial es un subconjunto de vectores que a su vez forma un espacio vectorial. Para verificar que un conjunto es un subespacio, todo lo que necesitamos verificar es que el subconjunto esté cerrado bajo adición vectorial y bajo multiplicación escalar; intente probar esto. Dar ejemplos de subespacios del espacio vectorial ejemplos anteriores.

• Mostrar que el rango de cualquier matriz real n x m y el espacio nulo de cualquier matriz real m x n son subespacios de\(\mathbf{R}^{n}\).
• Mostrar que el conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto dado de vectores forma un subespacio (llamado el subespacio generado por estos vectores, también llamado su lapso lineal)
• Mostrar que la intersección de dos subespacios de un espacio vectorial es en sí mismo un subespacio.
• Mostrar que la unión de dos subespacios en general no es un subespacio. Determinar también bajo qué condición la unión de los subespacios será un subespacio.
• Mostrar que la suma directa (Minkowski o) de subespacios, que por definición comprende vectores que pueden escribirse como la suma de vectores dibujados de cada uno de los subespacios, es un subespacio.

Acostúmbrese a elaborar pequeños (en\(\mathbf{R}^{2}\) o\(\mathbf{R}^{3}\), por ejemplo) ejemplos concretos para usted, a medida que aborda problemas como los anteriores. Esto te ayudará a desarrollar una idea de lo que se está declarando, quizás sugiriendo una estrategia para una prueba de un reclamo, o sugiriendo un contraejemplo para desmentir un reclamo.

Revisar lo que significa que un conjunto de vectores sea (linealmente) dependiente o (linealmente) independiente. Un espacio es n- dimensional si cada conjunto de más de n vectores es dependiente, pero hay algún conjunto de n vectores que es independiente; cualquiera de tales conjuntos de n vectores independientes se denomina como base para el espacio.

• Mostrar que cualquier vector en un espacio n-dimensional puede escribirse como una combinación lineal única de los vectores en un conjunto base; por lo tanto, decimos que cualquier conjunto de bases abarca el espacio.
• Mostrar que una base para un subespacio siempre se puede aumentar para formar una base para todo el espacio.

Si un espacio tiene un conjunto de n vectores independientes para cada n no negativo, entonces el espacio se llama dimensión infinita.

• Mostrar que el conjunto de funciones f (t) =\(t^{n-1}\), n = 1,2,3,... forma una base para un espacio dimensional infinito. (Una ruta para probar esto usa una propiedad clave de las matrices de Vandermonde, que puede haber encontrado en alguna parte).

Normas

Las “longitudes” de los vectores se miden introduciendo la idea de una norma. Una norma para un espacio vectorial\(\mathcal{V}\) sobre el campo de números reales R o números complejos C se define como una función que mapea vectores x a números reales no negativos\(\|x\|\), y que satisface las siguientes propiedades:

1. Positividad:\(\|x\|>0\) para\(x \neq 0\)
2. Homogeneidad:\(\|a x\|=|a| \| x \mid\) para escalar\(a\)
3. Desigualdad triangular:\(\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|\) con\(\forall x, y \in \mathcal{V}\)

• Verificar que la norma euclidiana habitual en\(\mathbf{R}^{n}\) o\(\mathbf{C}^{n}\) (es decir,\(\sqrt{x^{\prime} x}\) con 'denotando el complejo conjugado de la transposición) satisfaga estas condiciones.
• Una matriz compleja Q se denomina hermitiana si Q' = Q; si Q es real, entonces esta condición simplemente establece que Q es simétrica. Verificar que siempre\(x^{\prime} Q x\) sea real, si Q es hermitiana. Una matriz se denomina definitiva positiva si\(x^{\prime} Q x\) es real y positiva para\(x \neq 0\). Verificar que\(\sqrt{x^{\prime} Q x}\) constituye una norma si Q es hermitiana y definitiva positiva.
• Verificar eso en\(\mathbf{R}^{n}\) ambos\(\|x\|_{1}=\sum_{1}^{n}\left|x_{i}\right|\) y\(\|x\|_{\infty}=\max _{i}\left|x_{i}\right|\) constituir normas. Estas son referidas como la 1-norma y\(\infty\) -norma respectivamente, mientras que los ejemplos de normas mencionadas anteriormente son todas las instancias de 2-normas (ponderadas o no ponderadas). Describir los conjuntos de vectores que tienen norma unitaria en cada uno de estos casos.
• El espacio de fucnciones continuas en el intervalo [0, 1] forma claramente un espacio vectorial. Una posible norma definida en este espacio es la\(\infty\) -norma definida como:

\[\|f\|_{\infty}=\sup _{t \in[0,1]} \mid f(t)\]

Esto mide el valor pico de la función en el intervalo [0, 1]. Otra norma es la norma 2 definida como:

\[\|f\|_{2}=\left(\int_{0}^{1}|f(t)|^{2} d t\right)^{\frac{1}{2}}\]

Verificar que estas medidas satisfagan las tres propiedades de la norma.

Producto interno

Los espacios vectoriales que son más útiles en la práctica son aquellos sobre los que se puede definir una noción de producto interno. Un producto interno es una función de dos vectores, generalmente denotados por < x, y > donde x e y son vectores, con las siguientes propiedades:

1. Simetría:\(\left\langle x, y>=\langle y, x\rangle^{\prime}\right.\)
2. Linealidad:\(\langle x, a y+b z>=a<x, y>+b<x, z>\) para todos los escalares\(a\) y\(b\)
3. Positividad:\(<x, x>\) es positivo para\(x \neq 0\)

• Verificar que\(\sqrt{\langle x, x\rangle}\) defina una norma.
• Verificar que\(x^{\prime} Q y\) constituye un producto interno si\(Q\) es hermitiano y definitivo positivo. El caso de\(Q = I\) corresponde al producto interior euclidiano habitual.
• Verificar que\[\int_{0}^{1} x(t) y(t) d t\] define un producto interno en el espacio de funciones continuas. En este caso, la norma generada a partir de este producto interno es la misma que la norma 2 definida anteriormente.
• Cauchy-Schwartz Desigualdad Verificar que para cualquier x e y en un espacio interno de producto\(|<x, y>| \leq\|x\| \| y \mid\) con igualdad si y solo si\(x=\alpha y\) para algún escalar\(\alpha\). (Pista: Expandir\(<x+\alpha y, x+\alpha y>\)).

Se dice que dos vectores x, y son ortogonales si\(\langle x, y>=0\); dos conjuntos de vectores\(\mathcal{X}\) y\(\mathcal{Y}\) se denominan ortogonales si cada vector en uno es ortogonal a cada vector en el otro. El complemento ortogonal de un conjunto de vectores\(\mathcal{X}\) es el conjunto de vectores ortogonales a\(\mathcal{X}\), y se denota por\(\mathcal{X}^{\perp}\).

• Mostrar que el complemento ortogonal de cualquier conjunto es un subespacio.