1.6: Ejercicios

Ejercicio 1.1 Matrices particionadas

Supongamos

\ [A=\ left (\ begin {array} {ll}
A_ {1} & A_ {2}\\
0 & A_ {4}
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

con\(A_{1}\) y\(A_{4}\) cuadrado

(a) Escribir el determinante det A en términos de det\(A_{1}\) y det\(A_{4}\). (Pista: Escribe A como producto

\ [\ left (\ begin {array} {cc}
I & 0\\
0 & A_ {4}
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {cc}
A_ {1} & A_ {2}\\
0 & I
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

y utilizar el hecho de que el determinante del producto de dos matrices cuadradas es el producto de los determinantes individuales - los determinantes individuales son fáciles de evaluar en este caso).

b) Supongamos para esta parte que\(A_{1}\) y\(A_{4}\) son no singulares (es decir, cuadrados e invertibles). Ahora Encuentra\({A}^{-1}\). (Pista: Escribir AB = I y particionar B y I proporcionalmente con la partición de A.)

Ejercicio 1.2 Matrices particionadas

Supongamos

\ [A=\ left (\ begin {array} {ll}
A_ {1} & A_ {2}\\
A_ {3} & A_ {4}
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

donde\(A_{i}\) son matrices de dimensión conformable.

(a) Por qué se puede premultiplicar A para obtener la matriz

\ [\ left (\ begin {array} {ll}
A_ {3} & A_ {4}\\
A_ {1} & A_ {2}
\ end {array}\ right)? \ nonumber\]

b) Supongamos que no\(A_{1}\) es singular. ¿Por qué se puede premultiplicar A para obtener la matriz?

\ [\ left (\ begin {array} {ll}
A_ {1} & A_ {2}\\
0 & C
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

¿dónde\(C=A_{4}-A_{3} A_{1}^{-1} A_{2}\)?

(c) Supongamos que A es una matriz cuadrada. Utilizar el resultado en (b) -y el hecho mencionado en la pista al Problema 1 (a) - para obtener una expresión para det (A) en términos de determinantes que involucran únicamente a las submatrices\(A_{1}\),\(A_{2}\),\(A_{3}\),\(A_{4}\).

Ejercicio 1.3 Identidades matriciales

Demostrar las siguientes identidades matriciales muy útiles. Al probar identidades como estas, vea si puede obtener pruebas que hagan el menor número posible de suposiciones más allá de las implícitas en la declaración del problema. Por ejemplo, en (1) y (2) abajo, ni A ni B necesitan ser cuadrados, y en (3) ni B ni D necesitan ser cuadrados - así que ¡evite asumir que cualquiera de estas matrices es (cuadrada e) invertible!.

(a) det (I - AB) = det (I - BA), si A es p x q y B es q x p. (Pista: Evaluar los determinantes de

\ [\ left (\ begin {array} {cc}
I & A\\
B & I
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {cc}
I & -A\\
0 & I
\ end {array}\ right),\ quad\ left (\ begin {array} {cc}
I & -A\\
0 & I
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {cc}
I & A\\
B & I
\ end {array}\ right)\ nonumber\]

para obtener el resultado deseado). Una situación común en la que el resultado anterior es útil es cuando p > q; ¿por qué es así?

b) Demostrar que\(({I-AB})^{-1} A= A ({I-BA})^{-1}\)

(c) Demostrar eso\((A+B C D)^{-1}=A^{-1}-A^{-1} B\left(C^{-1}+D A^{-1} B\right)^{-1} D A^{-1}\). (Pista: Multiplica el lado derecho por A + BCD y reúne hábilmente términos.) Esta es quizás la más utilizada de las identidades matriciales, y es conocida por varios nombres: el lema de inversión matricial, el lema ABCD (!) , la fórmula de Woodbury, etc. Se redescubre de vez en cuando en diferentes formas. Su característica notable es que, si\({A}^{-1}\) se conoce, entonces la inversa de una modificación de A se expresa como una modificación de\({A}^{-1}\) que puede ser simple de calcular, por ejemplo, cuando C es de pequeñas dimensiones. Mostrar, por ejemplo, esa evaluación de\(({I-{ab}^T})^{-1}\), donde a y b son vectores de columna, solo requiere inversión de una cantidad escalar.

Ejercicio 1.4 Rango y Rango

Este es un problema de práctica en álgebra lineal (excepto que quizás solo haya visto dichos resultados declarados para el caso de matrices y vectores reales, en lugar de complejos, las extensiones son rutinarias).

Supongamos que\(A \in {C}^{m * n}\) (es decir, A es una matriz compleja de m x n) y\(B \in {C}^{n * p}\). Utilizaremos los símbolos\(\mathcal{R}(A)\) y\(\mathcal{N}(A)\) para denotar respectivamente el espacio de rango y el espacio nulo (o kernel) de la matriz A. Siguiendo la convención de Matlab, utilizamos el símbolo\(A^{\prime}\) para denotar la transposición del complejo conjugado de la matriz\(A;\mathcal{R}^{\perp}(A)\) denota el subespacio ortogonal al subespacio\(\mathcal{R}(A)\), es decir, el conjunto de vectores x tal que\(x^{\prime}y=0 ,\ \forall y \in \mathcal{R}(A)\), etc.

(a) Demostrar eso\(\mathcal{R}^{\perp}(A)= \mathcal{N}(A^{\prime})\) y\(\mathcal{N}^{\perp}(A)= \mathcal{R}(A^{\prime})\).

b) Demostrar que

\[\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-n \leq \operatorname{rank}(A B) \leq \min \{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}\nonumber\]

A este resultado se le conoce como la desigualdad de Sylvester.

Ejercicio 1.5 Matriz de Vandermonde

Una matriz con la siguiente estructura se denomina matriz de Vandermonde:

\ [\ left (\ begin {array} {ccccc}
1 &\ lambda_ {1} &\ lambda_ {1} ^ {2} &\ cdots &\ lambda_ {1} ^ {n-1}\\
1 &\ lambda_ {2} &\ lambda_ {2} ^ {2} &\ cdots &\ lambda_ {2} ^ {n-1}\
\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ cdots &\ vdots\\
1 &\ lambda_ {n} &\ lambda_ {n} ^ {2} &\ cdots &\ lambda_ {n} ^ {n-1}
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Esta matriz es claramente singular si los no\({\lambda}_{i}\) son todos distintos. Mostrar lo contrario, es decir, que si todos los n de los\({\lambda}_{i}\) son distintos, entonces la matriz es no singular. Una forma de hacer esto, ¡aunque no es la más fácil! - es demostrar por inducción que el determinante de la matriz de Vandermonde es

\[\prod_{i=1 ; j>i}^{i, j=n}\left(\lambda_{j}-\lambda_{i}\right)\nonumber\]

Busque primero un argumento más fácil.

Ejercicio 1.6 Derivadas de matriz

(a) Supongamos que A (t) y B (t) son matrices cuyas entradas son funciones diferenciables de t, y supongamos que el producto A (t) B (t) está bien definido. Demostrar que

\[\frac{d}{d t}(A(t) B(t))=\frac{d A(t)}{d t} B(t)+A(t) \frac{d B(t)}{d t}\nonumber\]

donde la derivada de una matriz es, por definición, la matriz de derivados, es decir, para obtener la derivada de una matriz, simplemente reemplazar cada entrada de la matriz por su derivada. (Nota: ¡El orden de las matrices en el resultado anterior es importante!).

(b) Utilizar el resultado de (a) para evaluar la derivada de la inversa de una matriz A (t), es decir, evaluar la derivada de\({A}^{-1}(t)\).

Ejercicio 1.7

Supongamos que T es una transformación lineal de X a sí mismo. Verificar que dos representaciones matriciales cualesquiera, A y B, de T estén relacionadas por una transformación no singular; es decir,\(A ={R}^{-1} B R\) para algunos R. Demostrar que como R varía sobre todas las matrices no singulares, obtenemos todas las representaciones posibles.

Ejercicio 1.8

Sea X el espacio vectorial de polinomios de orden menor o igual a M.

(a) Demostrar que el conjunto\(B=\left\{1, x, \ldots x^{M}\right\}\) es una base para este espacio vectorial.

b) Considerar la cartografía T de X a X definida como:

\[f(x)=T g(x)=\frac{d}{d x} g\tag{x}\]

1. Mostrar que T es lineal.
2. Derivar una representación matricial para T en términos de la base B.
3. ¿Cuáles son los valores propios de T.
4. Calcular un vector propio asociado con uno de los dieciocho valores.